圆系方程问题再探讨

圆系方程问题再探讨 江苏省丹阳高级中学（212300）史建军 1.问题背景 文\[1\]及文\[2\]讨论了⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0及⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0无公共点时，方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0的意义，但均没有指明方程 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示何种曲线。 本文试图通过对方程x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0及x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ，从而阐明：当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2相交（以下简称“相交圆系”）时，上述方程一定表示圆；当直线l与⊙M及⊙C1与⊙C2不相交（以下简称“非相交圆系”）时，上述方程可能表示何种曲线。 2.探究一：“相交圆系”方程一定表示圆吗？ 定理1若直线l:Ax+By+C=0和⊙M:x2+y2+Dx+Ey+F=0相交，则经过两交点的圆系方程： x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0一定表示圆。 证明:∵x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0, ∴x2+y2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0, ∴(x+D+λA2)2+(y+E+λB2)2 =(D+λA)2+(E+λB)2－4(F+λC)4, 判断上式是否表示圆，只需验证 T=(D+λA)2+(E+λB)2－4(F+λC)0是否成立，∵⊙M与直线l相交，故有 －AD2－BE2+CA2+B2D2+E2－4F2,化简得 (A2+B2)(D2+E2－4F)|AD+BE－2C|, ∴(AD+BE－2C)2(A2+B2)(D2+E2－4F), ∵T=(D+λA)2+(E+λB)2－4(F+λC) =D2+E2－4F+2λ(DA+BE－2C)+λ2(A2+B2), ∵直线l为定直线，⊙M为定圆， ∴A,B,C,D,E,F均为常数， ∴T=f(λ)可视为关于λ的二次函数, Δ=4\[(DA+BE－2C)2－(A2+B2)(D2+E2－4F)\]0,∴T=f(λ)0恒成立， 又圆心坐标满足：－E+λB2+E2－D+λA2+D2·(－AB)=－1, ∴x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示圆心在过M且与直线l垂直的直线上的圆。 定理2若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 ⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相交，则经过两交点的圆系方程：x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2 +y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠－1)一定表示圆。 证明：∵x2+y2+D1x+E1y+F1 +λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0, ∴(1+λ)x2+(1+λ)y2+(D1+λD2)x +(E1+λE2)y+F1+λF2=0, ∴x2+y2+D1+λD21+λx+E1+λE21+λy+F1+λF21+λ=0, ∴x+D1+λD22(1+λ)2+y+E1+λE22(1+λ)2 = (D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2)4(1+λ)2, 判断上式是否表示圆，只需验证： T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2)0是否成立， ∵⊙C1与⊙C2相交， ∴|O1O2|r1+r2， ∴D21+E21－4F12+D22+E22－4F22 (D12－D22)2+(E12－E22)2, 平方得D21+E21－4F1·D22+E22－4F2 2F1+2F2－D1D2－E1E2。 又∵|O1O2||r1－r2|，故有 ∴D21+E21－4F12－D22+E22－4F22 (D12－D22)2+(E12－E22)2, 平方得 －D21+E21－4F1·D22+E22－4F2 2F1+2F2－D1D2－E1E2,∴|2F1+2F2－D1D2－E1E2|D21+E21－4F1·D22+E22－4F2。 ∴T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2) =(D21+E21－4F1)+λ2(D22+E22－4F2) +2λ(D1D2+E1E2－2F1－2F2)。 ∵⊙C1和⊙C2为定圆，故在上式中因D1,E1,F1,D2,E2,F2均为常数， ∴T=f(λ)可视为关于λ的二次函数, ∵Δ=4\[(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2－(D21+E21－4F1)(D22+E22－4F2)\]0, ∴T=f(λ)0恒成立， 又圆心坐标为(－D1+λD22(1+λ), －E1+λE22(1+λ))，即 (－D12+λ(－D22)1+λ, －E12+λ(－E22)1+λ)。 故方程x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0表示圆心在直线C1C2上的圆。 3。探究二：“非相交圆系”方程可能表示圆吗？ 3。1直线和圆不相交 定理3若直线l:Ax+By+C=0与⊙M:x2+y2+Dx+Ey+F=0相离，则方程 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0可能表示圆,点,或不表示任何图形。 证明：∵x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0，∴x2+y2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0，∵直线l和⊙M相离,∴－AD2－BE2+CA2+B2D2+E2－4F2， 平方得(A2+B2)(D2+E2－4F)(AD+BE－2C)2, ∵T=(D+λA)2+(E+λB)2－4(F+λC) =(A2+B2)λ2+2λ(DA+BE－2C)+D2+E2－4F。 ∵A,B,C,D,E,F均为常数， ∴T=0可视为关于λ的二次方程。 Δ=4\[(DA+BE－2C)2－(A2+B2)(D2+E2－4F)\]0∴λ1,2=－2(DA+BE－2C)±Δ2(A2+B2)。 当λ=－2(DA+BE－2C)±Δ2(A2+B2)时，T=0，方程表示过M且与l垂直的直线上的点； 当λ－2(DA+BE－2C)+Δ2(A2+B2)或 λ－2(DA+BE－2C)－Δ2(A2+B2)时，T0,方程表示圆心在过M且与l垂直的直线上的圆； 当－2(DA+BE－2C)－Δ2(A2+B2)λ －2(DA+BE－2C)+Δ2(A2+B2)时，T0,方程不表示任何图形。 定理4若直线l:Ax+By+C=0与⊙M:x2+y2 +Dx+Ey+F=0相切，则方程 x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ≠－1)可能表示圆或点。 证明：∵x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0， ∴x2+y2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0， ∵直线l和⊙M相切, ∴－AD2－BE2+CA2+B2=D2+E2－4F2， 平方得(A2+B2)(D2+E2－4F)=(AD+BE－2C)2, ∵T=(D+λA)2+(E+λB)2－4(F+λC) =(A2+B2)λ2+2λ(DA+BE－2C)+D2+E2－4F。 ∵A,B,C,D,E,F均为常数， ∴T=0可视为关于λ的二次方程。 Δ=4\[(DA+BE－2C)2－(A2+B2)(D2+E2－4F)\]=0∴λ1=λ2=－DA+BE－2CA2+B2， 当λ= －DA+BE－2CA2+B2时，T=0，方程表示直线l与 ⊙M的切点； 当λ≠－DA+BE－2CA2+B2时，T0，方程表示圆心在过M且与l垂直的直线上的圆。 3.2两个圆不相交 定理5若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 ⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0相离，则方程 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y +F2)=0(λ≠－1)可能表示圆、点或不表示任何图形。 证明：∵⊙C1和⊙C2相离，∴|C1C2|r1+r2， ∴D21+E21－4F12+D22+E22－4F22 (D12－D22)2+(E12－E22)2, 平方得 D21+E21－4F1·D22+E22－4F2 2F1+2F2－D1D2－E1E2。∵x2+y2+D1x+E1y+F1 +λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0, ∴(1+λ)x2+(1+λ)y2+(D1+λD2)x+(E1+λE2)y+F1+λF2=0, ∵T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2) =(D21+E21－4F1)+λ2(D22+E22－4F2) +2λ(D1D2+E1E2－2F1－2F2), ∴T=0可视为关于λ的二次方程。 ∵Δ=4\[(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2－(D21+E21－4F1)(D22+E22－4F2)\]0, ∴λ1,2=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)±Δ2(D22+E22－4F2)。 当λ=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)±Δ2(D22+E22－4F2)时， T=0，方程表示直线C1C2上的点； 当λ－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)+Δ2(D22+E22－4F2)或 λ－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)－Δ2(D22+E22－4F2)时， T0,方程表示圆心在直线C1C2上的圆； 当－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)－Δ2(D22+E22－4F2)λ －2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)+Δ2(D22+E22－4F2)时， T0,方程不表示任何图形。 定理6若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0外切，则方程 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠－1)可能表示圆或点。 证明：∵⊙C1和⊙C2外切，∴|C1C2|=r1+r2， ∴D21+E21－4F12+D22+E22－4F22 = (D12－D22)2+(E12－E22)2 ，平方得 D21+E21－4F1·D22+E22－4F2 =2F1+2F2－D1D2－E1E2。 ∵T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2) =(D21+E21－4F1)+λ2(D22+E22－4F2) +2λ(D1D2+E1E2－2F1－2F2),∴T=0可视为关于λ的二次方程。 ∵Δ=4\[(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2－(D21+E21－4F1)(D22+E22－4F2)\]=0, ∴λ1=λ2=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2(D22+E22－4F2) = D21+E21－4F1D22+E22－4F2。 当λ=D21+E21－4F1D22+E22－4F2时，T=0，方程表示两圆的切点； 当λ≠D21+E21－4F1D22+E22－4F2时，T0，方程表示圆心在直线C1C2上且过两圆切点的圆。 定理7若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0内切，则方程： x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y +F2)=0(λ≠－1)可能表示圆或点。 证明：∵⊙C1和⊙C2内切，∴|C1C2|=|r1－r2|， ∴D21+E21－4F12－D22+E22－4F22 =(D12－D22)2+(E12－E22)2 ，平方得 －D21+E21－4F1·D22+E22－4F2 =2F1+2F2－D1D2－E1E2。 ∵T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2) =(D21+E21－4F1)+λ2(D22+E22－4F2) +2λ(D1D2+E1E2－2F1－2F2)。 ∴T=0可视为关于λ的二次方程。 ∵Δ=4\[(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2－(D21+E21－4F1)(D22+E22－4F2)\]=0, ∴λ1=λ2=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2(D22+E22－4F2) =－D21+E21－4F1D22+E22－4F2。 当λ=－D21+E21－4F1D22+E22－4F2时，T=0，方程表示两圆的切点； 当λ≠－D21+E21－4F1D22+E22－4F2时，T0，方程表示圆心在直线C1C2上且过两圆切点的圆。 定理8若⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0内含，则方程 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠－1)可能表示圆,点,或不表示任何图形。 证明：∵⊙C1和⊙C2内切，∴|C1C2||r1－r2|， ∴D21+E21－4F12－D22+E22－4F22 (D12－D22)2+(E12－E22)2， 平方得 D21+E21－4F1·D22+E22－4F2 D1D2+E1E2－2F1－2F2。 ∵T=(D1+λD2)2+(E1+λE2)2－4(1+λ)(F1+λF2) =(D21+E21－4F1)+λ2(D22+E22－4F2) +2λ(D1D2+E1E2－2F1－2F2), ∴T=0可视为关于λ的二次方程。 ∵Δ=4\[(D1D2+E1E2－2F1－2F2)2－(D21+E21－4F1)(D22+E22－4F2)\]0, ∴λ1,2=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)±Δ2(D22+E22－4F2)。 当λ=－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)±Δ2(D22+E22－4F2)时， T=0，方程表示直线C1C2上的点； 当λ－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)+Δ2(D22+E22－4F2)或 λ－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)－Δ2(D22+E22－4F2)时， T0,方程表示圆心在直线C1C2上的圆； 当－2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)－Δ2(D22+E22－4F2)λ －2(D1D2+E1E2－2F1－2F2)+Δ2(D22+E22－4F2)时， T0,方程不表示任何图形。 4.探究三：圆系方程中的圆有何共同特点？ 定理9已知直线l:Ax+By+C=0与⊙M:x2+y2 +Dx+Ey+F=0，若方程：x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0表示圆（记作⊙N），则⊙N与⊙M:x2+y2+Dx+Ey+F=0有共同的根轴 Ax+By+C=0。 证明：∵x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0， ∴x2+y2+(D+λA)x+(E+λB)y+F+λC=0。 ∵A,B不同时为0，故⊙N与⊙M为非同心圆， ∴⊙N与⊙M的根轴方程为： \[x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)\]－\[x2+y2+Dx+Ey+F\]=0，即Ax+By+C=0。 定理10已知⊙C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0和 ⊙C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若方程 x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y +F2)=0(λ≠－1)表示圆(记作⊙N)，则⊙N与 ⊙C1,⊙C2均有共同的根轴 (D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0。 证明：∵x2+y2+D1x+E1y+F1 +λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0, ∴(1+λ)x2+(1+λ)y2+(D1+λD2)x +(E1+λE2)y+F1+λF2=0, ∴x2+y2+D1+λD21+λx+E1+λE21+λy+F1+λF21+λ=0。 与⊙C1的根轴方程为(D1+λD21+λ－D1)x +(E1+λE21+λ－E1)y+F1+λF21+λ－F1=0, 化简即得(D1－D2)x+(E1－E2)y+F1－F2=0。 同理可证与⊙C2有共同的根轴。 参考文献 \[1\]刘薇，陆丽滨。两圆无交点，圆系为何意。中学教研\[J\]。2010,1。 \[2\]姚华鹏。解析交点圆系方程的几何意义。中学教研\[J\]。2011,4。 1