------------------------------------------作者xxxx------------------------------------------日期xxxx考研数学《概率论与数理统计》知识点
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【精品文档】【精品文档】【精品文档】【精品文档】【精品文档】【精品文档】第一章概率论的基本概念定义：随机试验E的每个结果样本点组成样本空间S，S的子集为E的随机事件，单个样本点为基本事件．事件关系：1．AB，A发生必导致B发生．2．AB和事件，A，B至少一个发生，AB发生．3．AB记AB积事件，A，B同时发生，AB发生．4．A－B差事件，A发生，B不发生，A－B发生．5．AB=Ø，A与B互不相容(互斥)，A与B不能同时发生，基本事件两两互不相容．6．AB=S且AB=Ø，A与B互为逆事件或对立事件，A与B中必有且仅有一个发生，记B=．事件运算：交换律、结合律、分配率略．德摩根律：，．概率：概率就是n趋向无穷时的频率，记P(A)．概率性质:1．P(Ø)=0．2．(有限可加性)P(A1A2…An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)，Ai互不相容．3．若AB，则P(B－A)=P(B)－P(A)．4．对任意事件A，有．5．P(AB)=P(A)+P(B)－P(AB)．古典概型：即等可能概型，满足：1．S包含有限个元素．2．每个基本事件发生的可能性相同．等概公式：．超几何分布：，其中．条件概率：．乘法定理：．全概率公式：，其中为S的划分．贝叶斯公式：，或．独立性：满足P(AB)=P(A)P(B)，则A，B相互独立，简称A，B独立．定理一：A，B独立，则．P(B|A)=P(B)．定理二：A，B独立，则A与，与，与也相互独立．随机变量及其分布(0—1)分布：，k=0，1（0
zα}=α，0<α<1，则称点zα为标准正态分布的上α分位点．常用上ɑ分位点：Y服从自由度为1的χ2分布：设X密度函数fX(x)，，若Y=X2，则若设X~N(0，1)，则有定理：设X密度函数fX(x)，设g(x)处处可导且恒有g′(x)>0(或g′(x)<0)，则Y=g(X)是连续型随机变量，且有h(y)是g(x)的反函数；=1\*GB3\*MERGEFORMAT①若，则α=min{g(−∞)，g(+∞)}，β=max{g(−∞)，g(+∞)}；=2\*GB3\*MERGEFORMAT②若fX(x)在[a，b]外等于零，g(x)在[a，b]上单调，则α=min{g(a)，g(b)}，β=max{g(a)，g(b)}．应用：Y=aX+b~N(aμ+b，(|a|σ)2)．多维随机变量及其分布二维随机变量的分布函数：分布函数(联合分布函数)：，记作：．．F（x，y）性质：1．F（x，y）是x和y的不减函数，即x2>x1时，F（x2，y）≥F（x1，y）；y2>y1时，F（x，y2）≥F（x，y1）．2．0≤F（x，y）≤1且F（−∞，y）=0，F（x，−∞）=0，F（−∞，−∞）=0，F（+∞，+∞）=1．3．F（x+0，y）=F（x，y），F（x，y+0）=F（x，y），即F（x，y）关于x右连续，关于y也右连续．4．对于任意的(x1，y1)，(x2，y2)，x2>x1，y2>y1，有P{x10有或，．定义：Y1，Y2，…，Yn，…是一个随机变量序列，a是一个常数．若对任意ε>0，有则称序列Y1，Y2，…，Yn，…依概率收敛于a．记伯努利大数定理：~对任意ε>0有或．其中fA是n次独立重复实验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率．中心极限定理定理一：设X1,X2,…,Xn,…相互独立并服从同一分布，且E(Xk)=μ，D(Xk)=σ2>0，则n→∞时有近似的N(0，1)或~N(0，1)或~N(μ，)．定理二：设X1,X2,…,Xn,…相互独立且E(Xk)=μk，D(Xk)=σk2>0，若存在δ>0使n→∞时，，则~N(0，1)，记．定理三：设，则n→∞时，(0，1)，．第六章样本及抽样分布定义：总体：全部值；个体：一个值；容量：个体数；有限总体：容量有限；无限总体：容量无限．定义：样本：X1,X2,…,Xn相互独立并服从同一分布F的随机变量，称从F得到的容量为n的简单随机样本．频率直方图：图形：以横坐标小区间为宽，纵坐标为高的跨越横轴的几个小矩形．横坐标：数据区间（大区间下限比最小数据值稍小，上限比最大数据值稍大；小区间：均分大区间，组距Δ=大区间/小区间个数；小区间界限：精度比数据高一位）．图形特点：外轮廓接近于总体的概率密度曲线．纵坐标：频率/组距（总长度：<1/Δ；小区间长度：频率/组距）．定义：样本p分位数：记xp，有1．样本xi中有np个值≤xp．2．样本中有n(1－p)个值≥xp．箱线图：xp选择：记．分位数x，记为Q2或M，称为样本中位数．分位数x，记为Q1，称为第一四分位数．分位数x，记为Q3，称为第三四分位数．图形：minQ1MQ3max图形特点：M为数据中心，区间[min，Q1]，[Q1，M]，[M，Q3]，[Q3，max]数据个数各占1/4，区间越短数据密集．四分位数间距：记IQR=Q3－Q1；若数据XQ3IQR，就认为X是疑似异常值．抽样分布：样本平均值：样本方差：样本标准差：样本k阶(原点)矩：，k≥1样本k阶中心矩：，k≥2经验分布函数：，．
表
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示F的一个样本X1,X2,…,Xn中不大于x的随机变量的个数．自由度为n的χ2分布：记χ2~χ2（n），，其中X1,X2,…,Xn是来自总体N(0，1)的样本．E(χ2)=n，D(χ2)=2n．χ12+χ22~χ2（n1+n2）．．χ2分布的分位点：对于0<α<1，满足，则称为的上α分位点．当n充分大时(n>40)，，其中是标准正态分布的上α分位点．自由度为n的t分布：记t~t(n)，，其中X~N(0，1)，Y~χ2(n)，X，Y相互独立．h(t)图形关于t=0对称；当n充分大时，t分布近似于N(0，1)分布．t分布的分位点：对于0<α<1，满足，则称为的上α分位点．由h(t)对称性可知t1－α(n)=－tα(n)．当n>45时，tα(n)≈zα，zα是标准正态分布的上α分位点．自由度为(n1，n2)的F分布：记F~F(n1，n2)，，其中U~χ2(n1)，V~χ2(n2)，X，Y相互独立．1/F~F(n2，n1)F分布的分位点：对于0<α<1，满足，则称为的上α分位点．重要性质：F1－α(n1，n2)=1/Fα(n1，n2)．定理一：设X1,X2,…,Xn是来自N(μ，σ2)的样本，则有，其中是样本均值．定理二：设X1,X2,…,Xn是来自N(μ，σ2)的样本，样本均值和样本方差分别记为，，则有1．；2．与相互独立．定理三：设X1,X2,…,Xn是来自N(μ，σ2)的样本，样本均值和样本方差分别记为，，则有．定理四：设X1,X2,…,Xn1与Y1,Y2,…,Yn2分别是来自N(μ1，σ12)和N(μ2，σ22)的样本，且相互独立．设这两个样本的样本均值和样本方差分别记为，，，，则有1．．2．当σ12=σ22=σ2时，，其中，．第七章参数估计定义：估计量：，估计值：，统称为估计．矩估计法：令=()(k为未知数个数)联立方程组，求出估计．设总体X均值μ及方差σ2都存在，则有，．最大似然估计法：似然函数：离散：或连续：，化简可去掉与θ无关的因式项．即为最大值，可由方程或求得．当多个未知参数θ1，θ1，…，θk时：可由方程组或（）求得．最大似然估计的不变性：若u=u(θ)有单值反函数θ=θ(u)，则有，其中为最大似然估计．截尾样本取样：定时截尾样本：抽样n件产品，固定时间段t0内
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产品个体失效时间(0≤t1≤t2≤…≤tm≤t0)和失效产品数量．定数截尾样本：抽样n件产品，固定失效产品数量数量m记录产品个体失效时间(0≤t1≤t2≤…≤tm)．结尾样本最大似然估计：定数截尾样本：设产品寿命服从指数分布X~e（θ），θ即产品平均寿命．产品ti时失效概率P{t=ti}≈f(ti)dti，寿命超过tm的概率，则，化简得，由得：，其中s(tm)=t1+t2+…+tm+(n－m)tm，称为实验总时间．定时截尾样本：与定数结尾样本讨论类似有s(t0)=t1+t2+…+tm+(n－m)t0，，，．无偏性：估计量的存在且，则称是的无偏估计量．有效性：与都是的无偏估计量，若，则较有效．相合性：设的估计量，若对于任意有，则称是的相合估计量．置信区间：，和分别为置信下限和置信上限，则是的一个置信水平为置信区间，称为置信水平，．正态样本置信区间：设X1，X2，…，Xn是来自总体X~N(μ，σ2)的样本，则有μ的置信区间：枢轴量WW分布a，b不等式置信水平置信区间其中zα/2为上α分位点θ置信区间的求解：1．先求枢轴量：即函数W=W(X1，X2，…，Xn；θ)，且函数W的分布不依赖未知参数．如上讨论标注2．对于给定置信水平，定出两常数a，b使P{a50时，若令，，，则有置信区间(，）．单侧置信区间：若或，称(，)或(，)是θ的置信水平为的单侧置信区间．正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限（置信水平为）待估其他枢轴量W的分布置信区间单侧置信限一个正态总体μσ2已知，μσ2未知，σ2μ未知，两个正态总体μ1－μ2σ12，σ22已知μ1－μ2σ12=σ22=σ2未知σ12/σ22μ1，μ2未知，单个总体X~N(μ，σ2)，两个总体X~N(μ1，σ12)，Y~N(μ2，σ22)．第八章假设实验定义：H0：原假设或零假设，为理想结果假设；H1：备择假设，原假设被拒绝后可供选择的假设．第Ⅰ类错误：H0实际为真时，却拒绝H0．第Ⅱ类错误：H0实际为假时，却接受H0．显著性检验：只对犯第第Ⅰ类错误的概率加以控制，而不考虑第Ⅱ类错误的概率的检验．P{当H0为真拒绝H0}≤α，α称为显著水平．拒绝域：取值拒绝H0．临界点：拒绝域边界．双边假设检验：H0：θ=θ0，H1：θ≠θ0．右边检验：H0：θ≤θ0，H1：θ>θ0．左边检验：H0：θ≥θ0，H1：θ<θ0．正态总体均值、方差的检验法(显著性水平为α)原假设H0备择假设H1检验统计量拒绝域1σ2已知μ≤μ0μ>μ0z≥zαμ≥μ0μ<μ0z≤－zαμ=μ0μ≠μ0|z|≥zα/22σ2未知μ≤μ0μ>μ0t≥tα(n－1)μ≥μ0μ<μ0t≤－tα(n－1)μ=μ0μ≠μ0|t|≥tα/2(n－1)3σ1，σ2已知μ1－μ2≤δμ1－μ2>δz≥zαμ1－μ2≥δμ1－μ2<δz≤－zαμ1－μ2=δμ1－μ2≠δ|z|≥zα/24σ12=σ22=σ2未知μ1－μ2≤δμ1－μ2>δt≥tα(n1+n2－2)μ1－μ2≥δμ1－μ2<δt≤－tα(n1+n2－2)μ1－μ2=δμ1－μ2≠δ|t|≥tα/2(n1+n2－2)5μ未知σ2≤σ02σ2>σ02χ2≥χα2(n－1)σ2≥σ02σ2<σ02χ2≤χ21－α(n－1)σ2=σ02σ2≠σ02χ2≥χ2α/2(n－1)或χ2≤χ21－α/2(n－1)6μ1，μ2未知σ12≤σ22σ12>σ22F≥Fα(n1－1，n2－1)σ12≥σ22σ12<σ22F≤F1－α(n1－1，n2－1)σ12=σ22σ12≠σ22F≥Fα/2(n1－1，n2－1)或F≤F1－α/2(n1－1，n2－1)7成对数据μD≤0μD>0t≥tα(n－1)μD≥0μD<0t≤－tα(n－1)μD=0μD≠0|t|≥tα－2(n－1)检验方法选择：主要是逐对比较法（成对数据）跟两个正态总体均值差的检验的区别，如上表即7跟3、4的区别，成对数据指两样本X和Y之间存在一一对应关系，而3和4一般指X和Y相互对立，但针对同一实体．关系：置信区间与假设检验之间的关系：未知参数的置信水平为1－α的置信区间与显著水平为α的接受域相同．定义：施行特征函数(OC函数)：β(θ)=Pθ(接受H0)．功效函数：1－β(θ)．功效：当θ*∈H1时，1－β(θ*)的值．
浙公网安备 33021202002483