中考数学总复习

第28讲　圆的有关性质第29讲　直线和圆的位置关系第30讲圆与圆的位置关系第31讲与圆有关的计算.第28讲┃圆的有关性.第28讲┃考点聚焦线段弦连接圆上任意两点的________叫做弦直径经过圆心的弦叫做直径弧圆上任意两点间的部分叫做弧优弧大于半圆的弧叫做优弧劣弧小于半圆的弧叫做劣弧.考点2确定圆的条件及相关概念第28讲┃考点聚焦垂直平分线确定圆的条件不在同一直线的三个点确定一个圆三角形的外心三角形三边________的交点，即三角形外接圆的圆心防错提醒锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在直角三角形的斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部.考点3圆的对称性第28讲┃考点聚焦圆既是一个轴对称图形又是一个________对称图形，圆还具有旋转不变性．中心.考点4垂径定理及其推论第28讲┃考点聚焦平分弦垂径定理垂直于弦的直径______，并且平分弦所对的两条弧推论(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2)弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3)平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧总结简言之，对于①过圆心；②垂直弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧中的任意两条结论成立，那么其他的结论也成立.考点5圆心角、弧、弦之间的关系第28讲┃考点聚焦弧弦定理在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的______相等，所对的______相等推论在同圆或等圆中，如果两个圆心角﹑两条弧或两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也分别相等.考点6圆周角第28讲┃考点聚焦相等一半相等直角直径直角圆周角定义顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角圆周角定理在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角________，都等于该弧所对的圆心角的________推论1在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧______推论2半圆(或直径)所对的圆周角是______；90°的圆周角所对的弦是______推论3如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是________三角形.考点7圆内接多边形第28讲┃考点聚焦对角互补圆内接四边形如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形．这个圆叫做这个多边形的外接圆圆内接四边形的性质圆内接四边形的______.考点9反证法第28讲┃考点聚焦定义不直接从命题的已知得出结论，而是假设命题的结论不成立，由此经过推理得出矛盾，由矛盾断定所作假设不正确，从而得到原命题成立，这种方法叫做反证法步骤(1)假设命题的结论不正确，即提出与命题结论相反的假设(2)从假设的结论出发，推出矛盾(3)由矛盾的结果说明假设不成立，从而肯定原命题的结论正确.第28讲┃归类示例►　类型之一　确定圆的条件命题角度：1.确定圆的圆心、半径；2.三角形的外接圆圆心的性质．10或8例1[2012·资阳]直角三角形的两边长分别为16和12，则此三角形的外接圆半径是________．.第28讲┃归类示例.第28讲┃归类示例(1)过不在同一条直线上的三个点作圆时，只需由两条线段的垂直平分线确定圆心即可，没有必要作出第三条线段的垂直平分线．事实上，三条垂直平分线交于同一点．(2)直角三角形的外接圆是以斜边为直径的圆．.►　类型之二　垂径定理及其推论命题角度：1.垂径定理的应用；2.垂径定理的推论的应用．第28讲┃归类示例例2[2012·南通]如图28－1，⊙O的半径为17cm，弦AB∥CD，AB＝30cm，CD＝16cm，圆心O位于AB，CD的上方，求AB和CD的距离．图28－1.第28讲┃归类示例[解析]过圆心O作弦AB的垂线，垂足为E，易证它也与弦CD垂直，设垂足为F，由垂径定理知AE＝BE，CF＝DF，根据勾股定理可求OE，OF的长，进而可求出AB和CD的距离．.第28讲┃归类示例.                          垂径定理及其推论是证明两线段相等，两条弧相等及两直线垂直的重要依据之一，在有关弦长、弦心距的计算中常常需要作垂直于弦的线段，构造直角三角形．第28讲┃归类示例.►类型之三圆心角、弧、弦之间的关系例3[2011·济宁]如图28－2，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD、CD.(1)求证：BD＝CD；(2)请判断B、E、C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由．第28讲┃归类示例命题角度：在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦之间的关系．图28－2.第28讲┃归类示例　[解析](1)根据垂径定理和同圆或等圆中等弧对等弦证明；(2)利用同弧所对的圆周角相等和等腰三角形的判定证明DB＝DE＝DC.解：(1)证明：∵AD为直径，AD⊥BC，∴BD＝CD.∴BD＝CD.(2)B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上.理由：由(1)知：BD＝CD，∴∠BAD＝∠CBD.∵∠DBE＝∠CBD＋∠CBE，∠DEB＝∠BAD＋∠ABE，∠CBE＝∠ABE，∴∠DBE＝∠DEB.∴DB＝DE.由(1)知：BD＝CD，∴DB＝DE＝DC.∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上..                          圆心角、弧、弦之间关系巧记．同圆或等圆中，有些关系要搞清：等弧对的弦相等，圆心角相等对弧等，等弦所对圆心角相等，反之亦成立．第28讲┃归类示例.►类型之四圆周角定理及推论D命题角度：1.利用圆心角与圆周角的关系求圆周角或圆心角的度数；2.直径所对的圆周角或圆周角为直角的圆的相关计算．第28讲┃归类示例例4[2012·湘潭]如图28－3，在⊙O中，弦AB∥CD，若∠ABC＝40°，则∠BOD＝(　　)A.20°B.40°C.50°D.80°图28－3.[解析]先根据弦AB∥CD得出∠ABC＝∠BCD＝40°，再根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，即可得出∠BOD＝2∠BCD＝2×40°＝80°.第28讲┃归类示例.圆周角定理及其推论建立了圆心角、弦、弧、圆周角之间的关系，最终实现了圆中的角(圆心角和圆周角)的转化．第28讲┃归类示例.►类型之五与圆有关的开放性问题命题角度：1.给定一个圆，自由探索结论并说明理由；2.给定一个圆，添加条件并说明理由．第28讲┃归类示例例5[2012·湘潭]如图28－4，在⊙O上位于直径AB的异侧有定点C和动点P，AC＝0.5AB，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B两点重合)，过点C作直线PB的垂线CD交PB于D点．图28－4.(1)如图①，求证：△PCD∽△ABC；(2)当点P运动到什么位置时，△PCD≌△ABC？请在图②中画出△PCD，并说明理由；(3)如图③，当点P运动到CP⊥AB时，求∠BCD的度数．第28讲┃归类示例.第28讲┃归类示例　[解析](1)由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可得∠ACB＝90°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A＝∠P.(2)由△PCD∽△ABC，可知当PC＝AB时，△PCD≌△ABC，利用相似比等于1的相似三角形全等；(3)由∠ACB＝90°，AC＝0.5AB，可求得∠ABC的度数，利用同弧所对的圆周角相等得∠P＝∠A＝60°，通过证△PCB为等边三角形，由CD⊥PB，即可求出∠BCD的度数.第28讲┃归类示例解：(1)证明：∵AB为直径，∴∠ACB＝∠D＝90°.又∵∠CAB＝∠DPC，∴△PCD∽△ABC.(2)如图，当点P运动到PC为直径时，△PCD≌△ABC.理由如下：∵PC为直径，∴∠PBC＝90°，则此时D与B重合，∴PC＝AB，CD＝BC，故△PCD≌△ABC.(3)∵AC＝0.5AB，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝30°，∠CAB＝60°.∴∠CPB＝∠CAB＝60°.∵PC⊥AB，∴∠PCB＝90°－∠ABC＝60°，∴△PBC为等边三角形．又CD⊥PB，∴∠BCD＝30°..圆是一个特殊的封闭图形，它具有一些特殊的性质，在给定一个圆之后，可以得到不同类型的结论．与圆有关的探究性问题是近年 中考 中考数学全套课件中考心理辅导讲座中考语文病句辨析修改中考语文古诗文必背中考单选题精选 中的常见类型，由于此类试题新颖、灵活又不难，广泛而又有科学尺度考查了数学创新意识和创新能力，所以此类问题成为中考的热点之一．在解决这些问题的时候，要把握准圆的性质的应用．第28讲┃归类示例.►类型之六尺规作图命题角度：能正确地按要求进行尺规作图第28讲┃归类示例例6[2012·鞍山]如图28－5，某社区有一矩形广场ABCD，在边AB上的M点和边BC上的N点分别有一棵景观树，为了进一步美化环境，社区欲在BD上(点B除外)选一点P再种一棵景观树，使得∠MPN＝90°，请在图中利用尺规作图画出点P的位置(要求：不写已知、求证、作法和结论，保留作图痕迹)．图28－5[解析]先作出MN的中点，再以MN为直径作圆与BD相交于点P..解：如下图所示，连结MN，作出MN的垂直平分线，交MN于E，以E为圆心，EM的长为半径画圆与BD交于点P(标出点P)．如图所示，点P就是所求作的点．第28讲┃归类示例.第28讲┃归类示例变式题[2010·泰州]如图28－6，已知△ABC，利用直尺和圆规，根据下列要求作图(保留作图痕迹，不要求写作法)，并根据要求填空：(1)作∠ABC的平分线BD交AC于点D；(2)作线段BD的垂直平分线交AB于点E，交BC于点F.由以上作图可得：线段EF与线段BD的关系为____________．图28－6互相垂直平分.解：(1)作图如下图．(2)作图如下图；互相垂直平分第28讲┃归类示例.中考需要掌握的尺规作图部分有如下的要求：①完成以下基本作图：作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角，作角的平分线，作线段的垂直平分线．②利用基本作图作三角形：已知三边作三角形；已知两边及其夹角作三角形；已知两角及其夹边作三角形；已知底边及底边上的高作等腰三角形．③探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆．④了解尺规作图的步骤，对于尺规作图题，会写已知、求作和作法(不要求证明)．我们在掌握这些方法的基础上，还应该会解一些新颖的作图题，进一步培养形象思维能力．第28讲┃归类示例.►类型之七反证法命题角度：1．反例的作用，利用反例可以证明一个命题是错误的；2．反证法的含义．第28讲┃归类示例例7[2012·包头]已知下列命题：①若a≤0，则|a|＝－a；②若ma2>na2，则m>n；③两组对角分别相等的四边形是平行四边形；④垂直于弦的直径平分弦．其中原命题与逆命题均为真命题的个数是(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个B.[解析]四个命题的原命题均为真命题，①的逆命题为：若|a|＝－a，则a≤0，是真命题；②的逆命题为：若m>n，则ma2>na2，是假命题，当a＝0时，结论就不成立；③的逆命题是平行四边形的两组对角分别相等，是真命题；④的逆命题是：平分弦的直径垂直于弦，是假命题，当这条弦为直径时，结论不一定成立．综上可知原命题和逆命题均为真命题的是①③，故 答案 八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案 为B.第28讲┃归类示例.第28讲┃归类示例变式题[2012·攀枝花]下列四个命题：①等边三角形是中心对称图形；②在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等；③三角形有且只有一个外接圆；④垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧．其中真命题的个数有(　　)A．1个B．2个C．3个D．4个B.[解析]等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，即①是假命题；如图，∠C和∠D不相等，即②是假命题；三角形有且只有一个外接圆，外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，即③是真命题；垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧，即④是真命题．故选B.第28讲┃归类示例.第29讲┃直线和圆的位置关系.第29讲┃考点聚焦考点1点和圆的位置关系dr如果圆的半径是r，点到圆心的距离是d，那么点在圆外⇔________点在圆上⇔________点在圆内⇔________.第29讲┃考点聚焦考点2直线和圆的位置关系dr设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么(1)直线l和⊙O相交⇔________(2)直线l和⊙O相切⇔________(3)直线l和⊙O相离⇔________.第29讲┃考点聚焦考点3圆的切线垂直于切点圆心唯一半径垂直于切线的性质圆的切线________过切点的半径推论(1)经过圆心且垂直于切线的直线必过________；(2)经过切点且垂直于切线的直线必过________切线的判定(1)和圆有________公共点的直线是圆的切线(2)如果圆心到一条直线的距离等于圆的________，那么这条直线是圆的切线(3)经过半径的外端并且________这条半径的直线是圆的切线常添辅助线连接圆心和切点.考点4切线长及切线长定理第29讲┃考点聚焦相等平分切线长在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长________，圆心和这一点的连线________两条切线的夹角基本图形如图所示，点P是⊙O外一点，PA、PB切⊙O于点A、B，AB交PO于点C，则有如下结论：(1)PA＝PB；(2)∠APO＝∠BPO＝∠OAC＝∠OBC，∠AOP＝∠BOP＝∠CAP＝∠CBP.考点5三角形的内切圆第29讲┃考点聚焦三条角平分线距离三角形的内切圆与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形叫圆的外切三角形三角形的内心三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心．它是三角形______________的交点，三角形的内心到三边的________相等.第29讲┃考点聚焦.第29讲┃归类示例►　类型之一　点和圆的位置关系命题角度：点和圆的位置关系2例1[2012·广元]在同一平面上，⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则⊙O的半径为________cm.[解析]画图得：⊙O外一点P到⊙O上一点的距离最长为6cm，最短为2cm，则直径为4cm，∴半径为2cm..第29讲┃归类示例准确理解题意解题，必要时画出图形进行观察．.第29讲┃归类示例►　类型之二　直线和圆的位置关系的判定命题角度：1.定义法判定直线和圆的位置关系；2.d、r比较法判定直线和圆的位置关系．D例2[2012·无锡]已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是(　　)A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交.第29讲┃归类示例[解析]分OP垂直于直线l，OP不垂于直线l两种情况讨论．当OP垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d＝2＝r，⊙O与l相切；当OP不垂直于直线l时，即圆心O到直线l的距离d<2＝r，⊙O与直线l相交．故直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．.第29讲┃归类示例在判断直线与圆的位置关系的时候可以根据定义法，也可以利用圆心到直线的距离与圆的半径的大小关系进行比较，在判断其关系时要结合题目的已知条件选择正确的方法．.►　类型之三　圆的切线的性质命题角度：1.已知圆的切线得出结论；2.利用圆的切线的性质进行有关的计算或证明．第29讲┃归类示例例3[2012·扬州]如图29－1，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，AD垂直于过点C的切线，垂足为D.(1)求证：AC平分∠BAD；(2)若AC＝2√5，CD＝2，求⊙O的直径．图29－1.第29讲┃归类示例.第29讲┃归类示例.                          “圆的切线垂直于过切点的半径”，所以连接切点和圆心构造垂直或直角三角形是进行有关证明和计算的常用方法．第29讲┃归类示例.►类型之四圆的切线的判定方法例4[2011·淮安]如图29－2，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB＝∠B＝30°.(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？(2)连接CD，若CD＝5，求AB的长．第29讲┃归类示例命题角度：1.利用圆心到一条直线的距离等于圆的半径，判定这条直线是圆的切线；2.利用一条直线经过半径的外端，且垂直于这条半径，判定这条直线是圆的切线．图29－2.第29讲┃归类示例　　[解析](1)连接OD，因为OA＝OD，所以∠ODA＝∠A＝30°.又因为∠ADB＝180°－∠A－∠B＝120°，所以∠ODB＝90°，即BD是⊙O的切线；(2)思路一：因为AC是直径，所以∠ADC＝90°，由于∠A＝30°，利用直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以AC＝2CD＝10，∠CDB＝∠ADB－∠ADC＝30°＝∠B，所以BC＝CD＝5，所以AB＝AC＋BC＝15；思路二：AC是直径，所以∠ADC＝90°，∠A＝30°，求出∠DOB＝60°，进一步得到△ODC是等边三角形，然后把AB分成三条线段的和来求，具体类似思路一．.第29讲┃归类示例解：(1)直线BD与⊙O相切．理由如下：如图，连接OD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠DAB＝∠B＝30°，∴∠ODB＝180°－∠ODA－∠DAB－∠B＝180°－30°－30°－30°＝90°，即OD⊥BD，∴直线BD与⊙O相切．.第29讲┃归类示例(2)由(1)知，∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA＋∠DAB＝60°.又∵OC＝OD，∴△DOC是等边三角形，∴OA＝OD＝CD＝5.又∵∠B＝30°，∠ODB＝90°，∴OB＝2OD＝10.∴AB＝OA＋OB＝5＋10＝15..                          在涉及切线问题时，常连接过切点的半径，要想证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线．如果已知直线过圆上某一点，则作出过这一点的半径，证明直线垂直于半径；如果直线与圆的公共点没有确定，则应过圆心作直线的垂线，证明圆心到直线的距离等于半径．第29讲┃归类示例.►类型之五切线长定理的运用命题角度：1.利用切线长定理计算；2.利用切线长定理证明．第29讲┃归类示例例5[2012·绵阳]如图29－3，PA、PB分别切⊙O于A、B两点，连接PO、AB相交于D，C是⊙O上一点，∠C＝60°.(1)求∠APB的大小；(2)若PO＝20cm，求△AOB的面积．图29－3.　[解析](1)由切线的性质，即可得OA⊥PA，OB⊥PB，又由圆周角定理，求得∠AOB的度数，继而求得∠APB的大小；(2)由切线长定理，可求得∠APO的度数，继而求得∠AOP的度数，易得PO是AB的垂直平分线，然后利用三角 函 关于工期滞后的函关于工程严重滞后的函关于工程进度滞后的回复函关于征求同志党风廉政意见的函关于征求廉洁自律情况的复函 数的性质，求得AD与OD的长．第29讲┃归类示例.第29讲┃归类示例.(1)利用过圆外一点作圆的两条切线，这两条切线的长相等，是解题的基本方法．(2)利用方程思想求切线长常与勾股定理，切线长定理，圆的半径相等紧密相连．第29讲┃归类示例.►类型之六三角形的内切圆命题角度：1.三角形的内切圆的定义；2.求三角形的内切圆的半径．第29讲┃归类示例例6[2012·玉林]如图29－5，Rt△ABC的内切圆⊙O与两直角边AB，BC分别相切于点D，E，过劣弧DE(不包括端点D，E)上任一点P作⊙O的切线MN，与AB，BC分别交于点M，N，若⊙O的半径为r，则Rt△MBN的周长为(　　)图29－5C.第29讲┃归类示例　[解析]连接OD、OE，则∠ODB＝∠DBE＝∠OEB＝90°，推出四边形ODBE是正方形，得出BD＝BE＝OD＝OE＝r.根据切线长定理得出MP＝DM，NP＝NE,Rt△MBN的周长为：MB＋NB＋MN＝MB＋BN＋NE＋DM＝BD＋BE＝r＋r＝2r，故选C..解三角形内切圆问题，主要是切线长定理的运用．解决此类问题，常转化到直角三角形中，利用勾股定理或直角三角形的性质及三角函数等解决．第29讲┃归类示例.第30讲┃圆与圆的位置关系.第30讲┃考点聚焦考点1圆和圆的位置关系d>R＋rd＝R＋r　　R－rr)，圆心之间的距离为d，那么⊙O1和⊙O2外离⇔________外切⇔________相交⇔________内切⇔________两圆内含⇔________.第30讲┃考点聚焦考点2相交两圆的性质性质(1)相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦(2)两圆相交时的图形是轴对称图形点拨解有关两圆相交问题时，常常要作出连心线，公共弦，或者连接交点与圆心，从而把两圆的半径，公共弦长的一半，圆心距等集中在同一个三角形中，利用三角形的知识加以解决.考点3相切两圆的性质第30讲┃考点聚焦切点相切两圆的性质如果两圆相切，那么两圆的连心线经过________两圆相切时的图形是轴对称图形，通过两圆圆心的连线(连心线)是它的对称轴.第30讲┃归类示例►　类型之一　圆和圆的位置关系的判别命题角度：1.根据两圆的公共点的个数确定；2.根据两圆的圆心距与半径的数量关系确定．D例1[2012·上海]如果两圆的半径长分别为6和2，圆心距为3，那么这两圆的关系是(　　)A．外离B．相切C．相交D．内含[解析]∵两个圆的半径分别为6和2，圆心距为3，又∵6－2＝4，4＞3，∴这两个圆的位置关系是内含．.►　类型之二　和相交两圆有关的计算命题角度：1.相交两圆的连心线与两圆的公共弦的关系；2.和勾股定理有关的计算．第30讲┃归类示例例2[2012·宜宾]如图30－1，⊙O1、⊙O2相交于P、Q两点，其中⊙O1的半径r1＝2,⊙O2的半径r2＝√2，过点Q作CD⊥PQ，分别交⊙O1和⊙O2于点C、D，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB分别交⊙O1和⊙O2于点A、B，连接AP、BP、AC、DB，且AC与DB的延长线交于点E.图30－1.第30讲┃归类示例.第30讲┃归类示例.►类型之三和相切两圆有关的计算例3(1)计算：如图30－2①，直径为a的三等圆⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切，切点分别为A、B、C，求O1A的长(用含a的代数式表示)；第30讲┃归类示例命题角度：1.相切两圆的性质；2.两圆相切的简单应用．图30－2①.第30讲┃归类示例图30－2(2)探索：若干个直径为a的圆圈分别按如图30－2②所示的方案一和如图30－2③所示的方案二的方式排放，探索并求出这两种方案中n层圆圈的高度hn和h′n(用含n、a的代数式表示)；.第30讲┃归类示例(3)应用：现有长方体集装箱，其内空长为5米，宽为3.1米，高为3.1米．用这样的集装箱装运长为5米，底面直径(横截面的外圆直径)为0.1米的圆柱形钢管，你认为采用(2)中的哪种方案在该集装箱中装运钢管数最多？并求出一个这样的集装箱最多能装运多少根钢管？(√3≈1.73).第30讲┃归类示例.第30讲┃归类示例.第31讲┃与圆有关的计算.第31讲┃考点聚焦考点1正多边形和圆中心　半径　中心角　边心距　正多边形和圆的关系正多边形和圆的关系非常密切，只要把一个圆分成相等的一些弧，就可以作出这个圆的内接正多边形，这个圆叫做这个正多边形的外接圆正多边形和圆的有关概念一个正多边形外接圆的圆心叫做这个正多边形的________正多边形外接圆的半径叫做正多边形的________正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的________正多边形的中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的________.第31讲┃考点聚焦.第31讲┃考点聚焦考点2圆的周长与弧长公式2πR圆的周长若圆的半径是R，则圆的周长C＝________弧长公式若一条弧所对的圆心角是n°，半径是R，则弧长l＝________.在应用公式时，n和180不再写单位.考点3扇形的面积公式第31讲┃考点聚焦扇形面积(1)S扇形＝______(n是圆心角度数，R是半径)；(2)S扇形＝______(l是弧长，R是半径)弓形面积S弓形＝S扇形±S△.考点4圆锥的侧面积与全面积第31讲┃考点聚焦图形.第31讲┃考点聚焦半径母线周长πra圆锥简介(1)h是圆锥的高；(2)a是圆锥的母线，其长为侧面展开后所得扇形的________；(3)r是底面半径；(4)圆锥的侧面展开图是半径等于________长，弧长等于圆锥底面________的扇形圆锥的侧面积S侧＝________圆锥的全面积S全＝S侧＋S底＝πra＋πr2.第31讲┃归类示例►　类型之一　正多边形和圆命题角度：1.正多边形和圆有关的概念；2.正多边形的有关计算．A例1[2012·安徽]为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图31－1所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为(　　)A．2a2B．3a2C．4a2D．5a2.第31讲┃归类示例.                          圆的内接正n边形（n≥3）的每条边所对的圆心角都相等，为第31讲┃归类示例.►　类型之二　计算弧长命题角度：1．已知圆心角和半径求弧长；2．利用转化思想求弧长．第31讲┃归类示例例2[2012·广安]如图31－2，Rt△ABC的边BC位于直线l上，AC＝√3，∠ACB＝90°，∠A＝30°，若Rt△ABC由现在的位置向右无滑动翻转，当点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长为________(结果用含π的式子表示)．图31－2.第31讲┃归类示例　[解析]根据含30°角的直角三角形三边的关系得到BC＝1，AB＝2BC＝2，∠ABC＝60°.点A先是以B点为旋转中心，顺时针旋转120°到A1，再以点C1为旋转中心，顺时针旋转90°到A2，然后根据弧长公式计算两段弧长，从而得到点A第3次落在直线l上时，点A所经过的路线的长．.第31讲┃归类示例.►类型之三　计算扇形面积例3[2012·泰州]如图31－3，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点A、B、C在小正方形的顶点上．将△ABC向下平移4个单位、再向右平移3个单位得到△A1B1C1，然后将△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°得到△A1B2C2.(1)在网格中画出△A1B1C1和△A1B2C2；(2)计算线段AC在变换到A1C2的过程中扫过区域的面积(重叠部分不重复计算).第31讲┃归类示例命题角度：1.已知扇形的半径和圆心角，求扇形的面积；2.已知扇形的弧长和半径，求扇形的面积．.第31讲┃归类示例图31－3　[解析](1)根据图形平移及旋转的性质画出△A1B1C1及△A1B2C2即可；(2)将△ABC向下平移4个单位，AC所扫过的面积是以4为底，以2为高的平行四边形的面积；再向右平移3个单位，AC所扫过的面积是从3为底，以2为高的平行四边形的面积；当△A1B1C1绕点A1顺时针旋转90°到△A1B2C2时，A1C1所扫过的面积是以A1为圆心，以2为半径，圆心角为90°的扇形的面积，再减去重叠部分的面积．.第31讲┃归类示例.第31讲┃归类示例.第31讲┃归类示例.                          求不规则图形的面积，常转化为易解决问题的基本图形，然后求出各图形的面积，通过面积的和差求出结果．第31讲┃归类示例.►类型之四和圆锥的侧面展开图有关的问题命题角度：1.圆锥的母线长、底面半径等计算；2.圆锥的侧面展开图的相关计算．第31讲┃归类示例例4[2012·无锡]已知圆锥的底面半径为3cm，母线长为5cm，则圆锥的侧面积是(　　)A．20cm2B．20πcm2C．15cm2D．15πcm2D[解析]∵圆锥的侧面积S＝πra,r＝3cm，a＝5cm，∴S＝15π(cm2)，故选D..►类型之五用化归思想解决生活中的实际问题命题角度：1.用化归思想解决生活中的实际问题；2.综合利用所学知识解决实际问题．第31讲┃归类示例例5[2012·山西]如图31－6是某公园的一角，∠AOB＝90°，弧AB的半径OA长是6米，C是OA的中点，点D在弧AB上，CD∥OB，则图中休闲区(阴影部分)的面积是(　　)图31－6C.第31讲┃归类示例.第31讲┃归类示例.第31讲┃回归教材用“转化思想”求图形的面积教材母题　江苏科技版九上P146例2如图31－6，正三角形ABC边长为a，分别以A、B、C为圆心，0.5a的半径的圆两两相切于点O1、O2、O3，求O1O2、O2O3、O3O1围成的图形面积S(图中阴影部分)．图31－6.第31讲┃回归教材.第31讲┃回归教材[点析]不规则图形的面积通常是转化成规则图形的面积的和差关系求解．.[2012·绵阳]如图31－7，正方形的边长为2，以各边为直径在正方形内画半圆，则图中阴影部分的面积为________．(结果保留两位有效数字，参考数据：π≈3.14)第31讲┃回归教材图31－77.