广义拟P_内射模的性质

广义拟P_内射模的性质 广义拟 P2内射模的性质 1 2赵玉娥 , 陈正新 ( )1. 青岛大学 数学科学学院 , 山东 青岛 266071; 2. 福建师范大学 数学与计算机科学学院 , 福州 350007 摘要 : 把拟 A P2内射模的已有性质与拟 P2内射模的研究方法相结合 , 给出了拟 A P2内射模的 ) ( ) ( )(一些新性质. 设 M 是拟 A P2内射的右 R 2模 , 令 S = End M , 则 : 1 S 是右弱 C环; 2 R R 2 ( ) 又若对任意非空集合 X Α M , lX 由幂等元生成 , 且 S 是局部的左duo环 , 则 S是连续环.S S 关键词 : A P2内射环 ; 拟 A P2内射模 ; 拟 A GP2内射模 ; 自生成子 ( ) 文章编号 : 1671 25489 2009 02 20197 204 中图分类号 : O153. 3文献标识码 : A Som e Properties on Genera liza tion Qua si2P2in jective M odules 1 2ZHAO Yu2e, CH EN Zheng2xin ( 1. College of M a them a tics, Q ingdao U n iversity, Q ingdao 266071, S handong P rovince, Ch ina; )2. College of M a them a tics and C om pu ter S cience, Fu jian N orm a l U n iversity, Fuzhou 350007, Ch ina A b s tra c t: W e com b ined the known p rop e rtie s of qua si A P2in jec tive modu le s w ith the way of studying qua si P2in jec tive modu le s to give som e new p rop e rtie s on qua si A P2in jec tive modu le. Fo r examp le: Suppo se ( ) ) (( ) ( ) M S = End M is qua si A P2in jec tive, then: 1 S is a righ t weak ly Cring; 2 if fo r any nonemp ty se t R R 2 ( ) X Α M , lX is gene ra ted by an idempo ten t, and S is loca l, left duo, then Sis con tinu iou s. S S Ke y w o rd s: A P2in jec tive rings; qua si A P2in jec tive modu le; qua si A GP2in jec tive modu le; se lf2gene ra to r 1 引言 () 本文所有的环均指具有单位元的结合环 , 所有的模均指酉模. 令 S = End M , 对环 R 的子集 X , R ( ) ( ) ( ) ( ) l X = { r?RrX = 0 }和 r X = { r?RX r = 0 }分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 X 在 R 中的左 、右零化子 , Soc R 和 J R 分 [ 1 214 ] 别表示 R 的基座和 Jacob son根. 目前 , 内射环的一系列推广已引起研究者的广泛关注 . 文献 [ 3 ]提[ 4 26 ]() 出并研究了 A P2内射环 模 , 推广了 P2内射环. 之后 , 又有许多学者 研究了 A P2内射环 , P2内射模 [ 7 29 ] [ 10 211 ] 被推广到拟 P2内射模 . 基于此 , 本文把 GP2内射模推广到拟 GP2内射模 , 把 A P2内射模推广到 拟 A P2内射模 , 拟 GP2内射模和拟 A P2内射模的性质见文献 [ 10 213 ]. 本文研究广义内射模的性质 , 得 到了 : 如果 R 是可换的 、半素的 A P2内射环 , 则 R 是正则环. 假设 M 是具有自生成子的拟 A P2内射模 , R ( ) ( () ) 如果 R 的每个非零右理想都包含极小右理想 , 则 J S = lSoc M . 设 M 是拟 A P2内射的右 R 2模 , S R R ( )如果对任意非空集合 X Α M , lX 由幂等元生成 , 且 S 是局部的左 duo 环 , 则 S满足 C条件. 如设 S S 1 ? [ 3 ] Q = F, 其中 F= Z, 令 R 是由 3 2 F和 1生成的 Q 的子环 , 则 R是拟 A P2内射的 .i i 4 i i Q R ?i = 1 定义 1. 1 如果 R 的每个右理想都是 R 的某个直和项的本质理想 , 则称 R满足 C条件; 如果同R 1 构于 R 直和项的右理想也是 R 的直和项 , 则称 R满足 C条件 ; 如果 R同时满足 C条件和 C条件 ,R 2 R 1 2 收稿日期 : 2008 204 206. ( ) 作者简介 : 赵玉娥 1977 ,, 女 , 汉族 , 硕士 , 讲师 , 从事环与代数表示论的研究 , E2m a il: b lueskyyu2004 @ yahoo. com. cn. ( ) 通讯作者 : 陈正新 1975 ,, 男 , 汉族 , 博士 , 副教授 , 从事环与代数表示论的研究 , E2m ail: czxing@ 163. com. ()基金项目 : 国家自然科学基金 批准号 : 10671161 和青岛大学科研基金. () 吉 林 大 学 学 报 理 学 版 198 第 47卷 则称 R是右连续环. R ()() 定义 1. 2如果每个左 右 理想都是理想 , 则环 R 称为左 右 duo环. 定义 1. 3如果对于任意 R 的非零右理想 I和 J , 有 I?J ?0, 则称 R是一致的.R 定义 1. 4如果 M 生成它的所有子模 , 则模 M 称为自生成子. 2 主要结果 [ 14 ] ( ) 引理 2. 1设 R 是右 A P2内射环 , 即对任意 0 ?a ?R , 存在 R 的左理想 X , 使得 lr a = a ( )R a 3 X. 设 f是 aR ?R 的任意右 R 2同态 , 则存在 r?R , x ?X , 使得 f a = ra + x. aa 定理 2. 1 如果 R 是可换的、半素的 A P2内射环 , 则 R 是正则环. 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 证明 : 对任意的 a ?R , 因为 R 是半素的 , 所以 r aΑ r a . 定义 f:aR ?aR , 使得 f ar= a r, 2 2 2 2 ( ) ( ) 由于 R 是 A P2内射的 , 故由引理 2. 1 知 , 存在 r?R , 使得 a = f a= ra+ x, 其中 lr a= R a3 X2 , a2 2 2 2 2 2 ( ) = a ra = 0, a 而 x ?X, 所以 , + ax, ax = 1 - a ra ?X?R a = a ra . 又因为 R 是可换的 , 所以2 2 a aa2 2 2 2 ) ( ) ( ) ( ) ( ra = 0, 从而 1 - ra ?r a Α r a , 于是 a 1 - ra = 0, 即 a = a ra, 故 a 是正则元 , a = a ra, a 1 - R 是正则环. [ 12 ] Δ 引理 2. 2 假设 M 是具有自生成子的拟 A P2内射模 , 定义 = { s?S Ke r s是 M 的本质子模 } ,R ( ) Δ则有 J S =. 定理 2. 2 假设 M 是具有自生成子的拟 A P2内射模 , 如果 R 的每个非零右理想都包含极小右理 R ( ( () ) ) 想 , 则 J S = lSoc M .S R ( ) Δ( ) () 证明 : 由引理 2. 2, J S =, 所以对任意 x ?J S , 有 Ke r x 是 M 的本质子模 , 从而 Soc M ΑR () ( ) ( () ) ( () () ) Ke r x, 故有 x Soc M = 0, 因此 J S Α lSoc M . 又对任意 s ? lSoc M , sSoc M = 0,R S R S R R () () Soc M Α Ke r s, 对任意的 0 ?K?M , 假设 L 是 K的极小右子模 , Soc M ?K?0, 从而 Ke r s?K?R R R ( () ) Δ ( ) ( ) 0, 所以 Ke r s是 M 的本质子模 , 故 s?= J S . 因此 , J S = lSoc M .R S R ( ) 定理 2. 3 设 M 是拟 A P2内射的右 R 2模 , 如果对任意非空集合 X Α M , lX 由幂等元生成 , 且 SR S 是局部的左 duo环 , 则 S满足 C条件.S 1 证明 : 只需要证明 S是一致的.S 对于任意 0 ?I?S, 0 ?J ?S, 取 0 ?a ?I, 0 ?b?J , 则 aS Α I, bS Α J. 假设 aS ?bS = 0, 则有直和S S φ + bsasaS 3 bS. 令 : aS 3 bS ?S ,as, Π s, s?S. 如果 as+ bs= 0, 则 as= - bs?aS ?bS = 0, 1 21 1 2 1 2 1 2 φφ 因此 的定义有意义 , 并且易知 是右 S 2模同态. ( ) ( ) 由于 M 是拟 A P2内射的 , 对任意 a ?S , 有 lKe r a = S a 3 X, X?S. 又由条件知 , lKe r a =R S a a S S 2 S e, e = e?S , 且 a = ae, 即有 S e = S a 3 X. 于是 , 存在 s?S , x ?X, 使得 e = sa + x, a = ae = asa + ax, aa ( ) 1 - asa = ax ?S a ?X= 0, 因此 a = asa.a 对于 t = a + b?aS 3 bS , 同理存在 y ?S , 使得 t = ty t, 从而 φ( ) φ( ) φ( ) φ( ) φ( ) ( ) a = a + b= t= ty t= ty t = ty a + b, φ( ) ( φ( ) ) φ( ) () 由 ty ?aS 3 bS 知 , ty ?S , 于是 1 - ty a =ty b?aS ?bS 因为 S 是左 duo环 , 又由于 S 是 φ( )( )φ局部环 , 所以 1 - ty 可逆或者 ty 可逆 , 即 a = 0 或者 b = 0, 矛盾. 故 aS ?bS = 0, 从而 I?J ? 0, 所以 S是一致的 , 从而满足 C条件. S 1 [ 12 ] 如果 M 是拟 A P2内射模 , 则 S 满足 C 条件. 因此 , 在定理 2. 3 的条件下 , 实际得到 注 2. 12 R S 了 S是连续环.S n 定义 2. 1 如果对任意 0 ?a ?S , 都存在正整数 n, 使得 a?0, 并且存在 S 的左理想 X n, 使得a n n ( ( ) ) lKe r a = S a 3 Xn , 则模 M 称为拟 A GP2内射模. S a R ( ) 定理 2. 4 设 M 是右拟 A GP2内射模 , 如果对任意非空集合 X Α M , lX 由幂等元生成 , 则 S 是R S π 2正则环. n 证明 : 对任意 0 ?a ?S , 由于 R 是拟 A GP2内射的 , 故存在正整数 n, 使得 a?0, 并且存在 S 的左? 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. , 等 : 广义拟 P2内射模的性质 赵玉娥 199 第 2期 n n n 2 n n ( ( ( ( ) ) ) ) 理想 X, 使得 lKe r a = S a 3 X, 由 lKe r a = S e, e = e ?S , 并且 a = a e, 可知 n n a S a S n n ( ( ) ) S e = lKe r a = S a 3 X, 于是 , 存在 s?S ,x ?X, 使得n n S a a n n n n n n n n n n ( ) ? X= 0, e = sa + x, a = a e = a sa + a x, a x = 1 - a sa ? S an a n n n π 因此 a= asa, 所以 S 是 2正则环. 2[ 15 ] n n 定义 2. 2如果对任意 0 ?a ?R , 都存在正整数 n, 使得 a?0, 并且如果 aR eR , e= e?R , n 则 aR 也是 R 的直和项 , 则环 R 称为右弱 C 环.2 定理 2. 5 设 M 是拟 A GP2内射的右 R 2模 , 则 S 是右弱 C环. R 2 n 证明 : 对任意 0 ?a ?S , 由于 M 是拟 A GP2内射的右 R 2模 , 故存在正整数 n, 使得 a ?0, 并且存 R n n n 2 ( ( ) ) S 2同构 , 其中 e f: a S ?eS 是在 S 的左理想 Xn , 使得 lKe r a = S a 3 Xn. 现设= e ?S. 令a S a n n - 1n 2( ) ) ( f abes = f a= es, = ab, s, b ?S , 则有 esb = e. 设g = bes, 则 = besbes = bes = g. 因为fg n n n n n n n ( ) ( ) ) ( ) ( 易 见 Ke r aΑ Ke r g , 于 是f abes = es = f a, 所 以 ag = abes = a,从 而S a Α S g, n n n = S a 3( ) ( ( ) )X, 从 而 有g = da + x, 其 中 d ? D , x ? X, 于 是g ?lKe r g Α lKe r a n n a a S S 2 n n n n n n n n n n n n n n n ( ) a = a g = a da + a x, a x = 1 - a d a ?S a ?X = 0, 即 a = a da , 令 w = a d, 则 w = a da d = n a n n n a d = w , 且 a S = w S , 因此 a S 是 S 的直和项 , 即 S 是右弱 C环. 2 推论 2. 1设 M 是拟 A P2内射的右 R 2模 , 则 S 是右弱 C环. R 2 () 推论 2. 2 设 R 是右 A GP2内射 A P2内射 环 , 则 R 是右弱 C环.2 ( ) Δ 定理 2. 6 设 M 是有自生成子拟 A GP2内射模 , 则 J S =.R ( ) Δ 证明 : 设 a ?J S , 要证明 a ?. 否则 , 存在 0 ?m ?M , 使得 Ke r a ?m R = 0, 既然 M 是一个自生 () 成子 , 则有 m R = s M , 其中 I Α S , 因此 , 存在 s ? I, 使得 as ?0. 因为 Ke r a ?m R = 0, 所以 ? s?In n ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) Ke r as= Ke r a . 又由于 M 是拟 A GP2内射模 , 故存在正整数 n, 使得 as?0, 且 lKe r as= R S n n n - 1n - 1 ) ( n( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) S as3 X . 令 as= x, s as= y. 假设 t?Ke r x, 则 x t= 0, 即 asast= 0, 于是( ) as n - 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ast?Ke r as= Ke r s. 因此 ,有y t= 0, t ?Ke r y; 从而Ke r x = Ke r y. y ? l Ke r y =S n n n - 1 n ) ( ) ( ( ) ( ) α( ) ( ) ααlKe r x = lKe r as= S as3 X n , 于是 y = zx +, 其中 ?X n , 即 s as= z as+, ( ) ( ) S S asas- 1n - 1( ) α) ( ) α( ) ( ) α ( 1 - za y =, 又因为 a ?J S , za 是拟正则的 , 因此 y = 1 - za , ay = as= a 1 - za ?n ( ) n S as?X= 0, 矛盾.( ) as ( ) ( ) ΔΔ 反之 , 对任意 b ?. 如果对任意 c ?S , 由于 Ke r b Α Ke r cb, 从而 cb ?. 显然 , Ke r cb ?( ) ( ) Ke r 1 - cb= 0, 所以 Ke r 1 - cb= 0, 令 u = 1 - cb, 因为 M 是拟 A GP2内射模 , 所以存在正整数 n, 使R n n n n n n n n) ( α l Ke r u= S u3 X 得 u?0, 且= S. 于是 , 有 g + x = 1, g =u?S u,x ?X, 故 u= ug + ux,n n S u u n n n n n n n n n n n n 2 α( α) u x = u - u g = u - u u = 1 - u u ?S u ?Xn = 0, 因此 u = u g, S g = S u . 既然 g - g = - gx ? u n 2 β( ) () g = g. 令 u =g, 如果 g ?1, 1 - g ?0, 则存在 m ?M , 使得 1 - g m ?0, 既然S u ?Xn = 0, 故 u ( )( ) () ( ) Ke r cb是 M 的本质子模 , 则存在 0 ?r?R , 使得 0 ? 1 - g m r?Ke r cb, 于是 ( ) ( ) () ( ) () ( ) () β( ) () 1 - cb1 - g m r = 1 - g m r = u 1 - g m r = g 1 - g m r = 0,( ) () ( ) 但 1 - g m r?0, 矛盾 , 因此g = 1. 进一步 , u 是左可逆的 , 所以 b?J S .[ 12 ] ( ) Δ 推论 2. 3设 M 是有自生成子拟 A P2内射模 , 则 J S =.R 定理 2. 7 设 M 是有自生成子的拟 A GP2内射模. 如果 S 是半素的 , 则 S 的每个极大核都是 M 的 R 一个直和项. 证明 : 设 L 是一个极大核 , 则存在 0 ?a ?S , 使得 L = Ke r a.首先 , 对任意 0 ?y ?S a, 因为2 ΔKe r a Α Ke r y, 所以有 Ke r a = Ke r y. 假设 S= S a ?, 可断言 S= 0. 如果存在 x ?S, 使得 x ?0, 则 0 00 2 2() ( )Δ Ke r a = Ke r x = Ke r x. 于是 , x M ?Ke r x = 0, 这与 x ?= J S 矛盾. 因此 , 对任意 x ?S , = 0. 又x 0 2 () () 对任意 0 ?x, y ?S, Ke r x = Ke r y = Ke r a, 因此 x M Α Ke r x = Ke r y, yx M = 0, 即 yx = 0, 故 S= 0, 0 0 又因为 S 是半素的 , 所以 S= 0. 因此 Ke r a 不是 M 的本质子模 , 故存在 M 的一个非零子模 I, 使得0 () Ke r a 3 I是 M 的本质子模. 既然 M 是自生成子 , 故可取 0 ? m ? I, m R = f M , 其中 T Α S. 因此 , ? f?T ? 1994-2013 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. () 吉 林 大 学 学 报 理 学 版 200 第 47卷 n ( ) n, 使得 ab ?0, 并且存在 b ? T, 使得 ab ?0, 由于 M 是拟 A GP2内射模 , 所以存在正整数 R n n n n - 1 n - 1 n ( ( ) ( )( ) ( ( ) ) ( ( ) ) ( )lKe r ab) = S abKe r b abΑ Ke r ab 3 X n.易见 Ke r ab= Ke r b ab, 事实上 ,( ) S ab n n - 1 n - 1 ( ) () ( ) () ( ( ) ) 显然 , 如果 abm = 0, 则 b abm ?Im b ?Ke r a Α m R ?Ke r a = 0, 因此 m ?Ke r b ab. n - 1 n - 1 n n ( ) ( ( ) ) ) ( ) ) ( ( ( ) 于是 b ab?l Ke r b ab= l Ke r ab= S ab3 X, 从而对某个 c?S , x ?Xn, 有n( ) ( ) S S ab ab n - 1 n n n n n n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n( ) b ab= c ab+ x, 故 ab= ac ab+ ax, 1 - acab= ax ?S ab?X= 0, 从而 ab-( ) ab n n - 1 n n - 1 ( ) ( ) () ( ) ( ) ( ) () ac ab= 0, 于是 b abM ?Ke r a - aca . 另一方面 , 因为 ab ?0, 所以 b ab M | 2 ( ) Ke r a, 因此 Ke r a < Ke r a - aca , 由于 a - aca ?S a, 所以 a = aca, 令 d = ca, 则 d= d, 且 L = Ke r a = 2( ) Ke r d = 1 - d M = eM , 其中 e = 1 - d, 显然 e= e. [ 12 ] 推论 2. 4设 M 是有自生成子的拟 A P2内射模. 如果 S 是半素的 , 则 S 的每个极大核都是 MR 的一个直和项. 参 考 文 献 ( ) [ 1 ] Roge r Y C M. C 2In jec tivity and C 2P ro jec tivity [ J ]. H iro sh im a M a th J , 2007, 37 3: 3852395. L I Tian2tian, DU X ian2neng. Som e D iscu ssion s of GPP R ing and GP2In jec tive Modu le [ J ]. Co llege M a them a tic s, 2007 , [ 2 ] ( ) (( ) 23 1 : 107 2109. 李甜甜 , 杜先能. 关于 GPP 环和 GP2内射模的若干讨论 [ J ]. 大学数学 , 2007 , 23 1: )107 2109. ( ) Page S S, ZHOU Yi2q iang. Gene ra liza tion s of P rinc ip a lly In jec tive R ings [ J ]. J A lgeb ra, 1998, 206 2: 7062721. [ 3 ] X IAO Guang2sh . i A P2In jec tive R ings and R egu la r R ings [ J ]. Jou rna l of A nhu i No rm a l U n ive rsity: N a tu ra l Sc ience s, [ 4 ] ( ) (( ) 2000, 23 4: 3992400. 肖光世. A P2内射环与正则环 [ J ]. 安徽师范大学学报 : 自然科学版 , 2000, 23 4: )399 2400. X IAO Guang2sh i, Y IN X iao2b in, TON G W en2ting. A No te on A P2In jec tive R ings [ J ]. 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