【精品】欧式空间

【精品】欧式空间 第八章 欧式空间 基础训练 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 1. 证明，在一个欧氏空间里，对任意的向量，，以下等式成立: 2222(1) ; ,，,，,,,,2,，2, 1122(2) ， ,. ,，,,,,,44 [提示:根据向量内积的定义及向量模的定义易证.] 42. 在欧氏空间R中，求一个单位向量与 ,,(1, 1, 0, 0)，,,(1, 1, ,1, ,1)，,,(1, ,1, 1, ,1) 123 都正交. 1111,,解:=. ,,,,,,,,2222,, 3. 设a, a, …, a是n个实数，证明: 12n n222a,n(a，a，？，a). ,i12n,i1 证明: 令,=(1,1, …,1), =(|a|,|a|,…, |a|) 12n n222，a,, =,|,|?| |=. n(a，a，？，a)， ,i12ni,1 4. 试证，欧氏空间中两个向量, 正交的充分必要条件是:对任意的实 数t，都有 |,，t,| , |,|. 2，，，，证明: ,+t,,+t=,, +2t,, +t, ，，，， 必要性: 设,与正交, 对任意的实数t ,则 2，，，，,+t,,+t=,, +t, ?,, ，，，， 所以 |,，t,| , |,|. 充分性: 当=0时,结论成立. 1 ,,，,，当?0时,取t=,则 ,02, 2,,，,，，，,+t,,+t=,, ,. 由已知 ，， 0 0 2, ，， ,+t,,+t?,, ，， 0 0 2,,，,，，故 =0, 所以,, = 0. 即,, 正交. ， 2, 45. 在欧氏空间R中，求基{, , , }的度量矩阵，其中 1234 ,(1, 1, 1, 1), ,(1, 1, 1, 0), ,(1, 1, 0, 0), ,(1, 0, 0, 0) . 1234 4321,,,,3321,, 解: 度量矩阵为. ,,2221,,,,1111,, 36. 在欧氏空间R中，已知基,(1, 1, 1), ,(1, 1, 0), ,(1, 0, 0)的123 度量矩阵为 201,,,,B, 01,2,, ,,1,23,, 求基,(1, 0, 0), ,(0, 1, 0), ,(0, 0, 1)的度量矩阵. 123 3,53,,,, 解: 度量矩阵为 . ,58,4,, ,,3,43,, 7. 证明 11111111,,,,,,， ,, ,,,,,,,,,,,,1222222222,,,, 11111111,,,,,,,,,,,，,,,,,,, ,,,,3422222222,,,, 4是欧氏空间R的一个规范正交基. T [提示:令u=(, , , ),计算uu即可.] 1234 8. 设{, , }是欧氏空间V的一个基, ,,，, 且基{, 1231121 2 , }的度量矩阵是 23 1,12,,,,A,. ,12,1,, ,,2,16,, (1)证明,是一个单位向量; 1 (2)求k,使,与 1 ,,，，k1123 正交. ，，，证明: (1) , =1, , =,1, , =2 ，，，1 11 22 2 ，，，，,, ,=, +2, +, =1 ，，，，1 11 11 22 2所以,一个单位向量. 1 ,1 (2)k=. 9. 证明，如果{, ,…,}是欧氏空间V的一个规范正交基，n阶实12n 方阵A,(a)是正交矩阵，令 ij (, ,…,),(, ,…,)A, 12n12n那么{, ,…,}是V的规范正交基. 12n n1,当i,j时,，aa 证明:,== . ， ij,,kikj0,当i,j时k,1, 10. 设A是n阶正交矩阵，证明: (1)若detA,1，则,1是的一个特征根; (2)若n是奇数，且detA,1，则1是A的一个特征根. T证明:(1)det(,I,A) = det(,A A,A) T = detA?det(,A,A) = detA?det(,I,A) =,det(,I,A) 所以det(,I,A)=0,即,1是的一个特征根. T (2)= det(A A,A) T = detA?det(A,A) 3 n = detA?(-1)?det(I,A) =,det(I,A) 所以det(I,A)=0, 即1是A的一个特征根. 10. 证明，n维欧氏空间V的两个正交变换的乘积是一个正交变换;一个正交变换的逆变换还是一个正交变换. [提示: 根据正交矩阵的乘积是正交矩阵, 正交矩阵 的逆矩阵是正交矩阵,结论易证.] 11. 证明，两个对称变换的和还是对称变换. 两个对称变换的乘积是不是对称变换,找出两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件. 证明: 两个对称变换的和还是对称变换易证. 两个对称变换的乘积不一定 22是.例如:令, 是R的一个规范正交基,分别取R 的两个对称线性变换1 2 ,使得 ,,, 10,,,(, ) ， ,,,(,,,)1 212,,00,, 01,,,(, ) ， ,,,(,,,)1 212,,10,, 可以验证不是对称变换. ,, 两个对称变换的乘积是对称变换的一个充要条件是它们可换. 12. 设是n维欧氏空间V的一个线性变换，证明，如果满足下列三个条件中的任意两个，那么它必然满足第三个:(1)是正交变换;(2)是变换; 2(3),(是恒等变换). [提示:根据是正交变换当且仅当在一个规范正交基下的矩阵是正交矩阵, 是对称变换当且仅当在一个规范正交基下的矩阵是对称矩阵, 结论易证.] 13. 设是n维欧氏空间V的线性变换，若对于任意, V, 有(), ,,, ()，则说是斜对称的. 证明 (1) 斜对称变换关于V的任意规范正交基的矩阵都是斜对称实矩阵; (2) 若线性变换关于V的某一规范正交基的矩阵是斜对称的，则是斜 4 对称线性变换. [提示:证明过程与第八章第三节定理8.3.2(p.349)的证明过程完全类似.] 14. 设是欧氏空间V到V ,的一个同构映射，证明，如果{,, ,, …, ,}12n是V的一个规范正交基，则{,(,), ,(,), …, ,(,)}是V ,的一个规范正交基. 12n 证明:由(p.253) 定理5.5.3可知, {(), (), …, ()}是V ,的一个基. ,,,,,,12n 由欧氏空间同构映射的定义可知, 1,当i,j时,，，,(,), ,(,)=,, ,= , ，，ij ij,0,当i,j时, 所以结论成立. 15. 设是n维欧氏空间V的一个正交变换. 证明，如果V的一个子空间W ,W在之下不变，那么W的正交补也在之下不变. 证明:因为正交变换是可逆线性变换,由(p.331)习题七的第13题的结论得: ,V= . ,(w),,(w) ,,w,w因为,且是正交变换,所以. ,(w),,(w) ,(w),(w)由已知条件知,,且可逆,因而 ,w,w ,,,w从而 ,即. w,,(w),,(w) 16. 设{,,,}是欧氏空间V的一个规范正交基，W,L (,, ,),其123412中 ,,，，,,2,，. 1132124 (1)求W的一个规范正交基; ,(2)求W的一个规范正交基. 解:取,=, ,=,将,, ,,,,,先正交化,然后规范化后得V的一个规范32431234 正交基: 11,，,,, 11322 1111,, ,,,,,，,212342222 5 1311,，,,,，,,, 3123423232323 116,, ,,，,，,4134366 ,则{,,,}和{,,,}分别是W与W的一个规范正交基. 1234 17. 求齐次线性方程组 2x，x,x，x,0,1234. ,x，x,x,0123, ,的解空间W的一个规范正交基，并求W. 解: 经计算,得空间W的一个基础解系为 ,11,,,,,,,,10,,,,=,= 12,,,,01,,,,,,,,1,1,,,, 00,,,,,,,,00,,,,4将, 扩充为R的一个基, , =,= 121234,,,,10,,,,,,,,01,,,, 将,, ,, ,, ,规范正交化后得W的一个规范正交基 12.34 11,,,,,,,,,,1,,1,,1510,,,,,,,,3,,22,,,,2,,,1,,,,,,01510,, =, =, =, = ,,1234,,,,3,,320,,,,,,0,,1,,1510,,,,1,,,,,11,,,,,,2,,,3,,,,,,1510,,,, ,,那么{,,,}和{,,,}分别是W与W的一个规范正交基且W=,(,,,). 123434 418. 已知R的子空间W的一个基 ,,(1, ,1, 1, ,1)，,,(0, 1, 1, 0) 12 求向量 ,,(1, ,3, 1, ,3) 6 在W上的内射影. ,解:易求得W的一个基 ,=(1,0,0,1), ,=(,2, ,1,1,0) 34 4则,, ,, ,, ,是R的一个基. 1234 ,(2,) +(,3+0) ,,,,,1234所以,在W上的内射映为2,,, . 12 T19. 对于下列对称矩阵A，各求出一个正交矩阵U，使得UAU是对角形式: 112,817,84,,,,,,,,(1) A,，(2) A,. 2210,817,4,,,, ,,,,,81054,411,,,, 221,,,,3339,,,,,,212T,,解:(1) U,,,,UAU,18,,,,333,,,9,,122,,,,,333,, 112,,,,32189,,,,,,112,,T (2) U,,,,UAU,9,,,,3218,,,,27,,41,,0,,,318,, 7 8