矩阵等价相似合同的关系
等价指的是两个矩阵的秩一样。
合同指的是两个矩阵的正定性一样,也就是说,两个矩阵对应的特征值符号一样。
相似是指两个矩阵特征值一样。
相似必等价,合同必等价。
1.等价矩阵:同型矩阵A,B的秩相等,那么A,B等价,即是随意两个秩相等的同型矩阵通过初等变换都可以相互转化相等与另一个。
2.相似矩阵的定义是:存在可逆矩阵P,使得P--1AP=B,则称B是A的相似矩阵。
原因:A与B相似有一个必要条件就是A与B的特征值相同,即|B-aE|=|A-aE|
所以|B-aE|=|P--1||A-aE||P|,所以|B-aE|=|P--1AP-aP--1EP|,即|B-aE|=|P--1AP-aE|所以B=P--1AP
3.合同矩阵定义:若存在可逆矩阵C,使得C T AC=B,即A与B合同。对于合同矩阵要从二次型说起,二次型为:f=X T AX。可通过X=CY变换,即把X=CY带入,
于是f=(CY)T A(CY)=Y T[C T AC]Y,其中令C T AC=B,即A与B合同。
首先相似不一定合同,合同也不一定相似,但是如果相似或者合同则必然等价,而等价却不能反推出相似或者合同,原因是前者只能是对方阵,而后者则只需要同型。相似合同和等价都具有反身性。对称性和传递性,合同和相似能推出等价是因为他们的秩相等。
而对于矩阵A只有当他是实对称矩阵时,存在C T AC=C--1AC,即这个时候矩阵合同和相似可以等价,这个时候C是正交矩阵,然而当C 不是正交矩阵时,则只能满足其中一个条件,或者说如果P--1AP=B,即A与B相似,但如果P不是正交矩阵,则不能称A与B合同,如果P T AP=B,即A与B合同,但是PP T≠I,则一样不能推出相似。
相似必合同,合同必等价。
等价就是矩阵拥有相同的r。
矩阵合同,C T AC=B,矩阵乘以可逆矩阵他的r不变, r(B)=r(C T AC)=r(AC)=r(A),等价。同理两矩阵相似一定等价。矩阵相似一定合同,因为两矩阵相似,有相同的特征多项式和特征根,就一定有相同的r,惯性系数一定相同,可以化成相同的
标准
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形,矩阵合同的充要条件是有相同的r和规范形(A、B都有其对应的对角形矩阵,结合定义即可推出),标准形相等规范形一定相等,所以相似一定合同。
三种矩阵的比较:等价,A=PBQ; 相似,A=PBP--1; 合同,A=P T BP。
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