浙江大学99-10年研究生数学分析试题

浙 江 大 学 一九九九年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 分析 一、求极限 ( 1lim ln n n n n n→+∞ − ) ． 二、在 xy平面上求一点，使它到三条直线 0,0 == yx 及 0162 =−+ yx 的距离的平方和 最小． 三、计算二重积分 ，其中 由曲线 所围城的区域． ∫∫ D xydxdy D yxyx +=+ 22 四、设 在 时连续，)(xf 0>x 3)1( =f ，并且 1 1 1 ( ) ( ) ( ) xy y x f t dt x f t dt y f t dt= +∫ ∫ ∫ ， )0,0( >> yx ，试求函数 ． )(xf 五、设函数 连续，若有数列),()( batf 在 )),(,(, bayxayax nnnn ∈→→ 使 lim ( )nn f x A→∞ = 及 浙江大学 10 年数学分析试题 第 1 页，共 11 页 lim ( )nn f y→∞ = B，则对 ,A B之间的任意数μ ，可找到数列 ，使得nz → a lim ( )nn f x μ→∞ = ． 六、设 ，令0 1, 1,2,ka k≤ < = ",n ka 1 n n k s = = ∑ ． 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 不等式 n n n k k k sn ns a a −≥−∑=1 1 ． 七、设函数 在f n abvafffba nnvn −=+=> δδ ),(,0],[ 记上连续，且 ，试证明： 1 2 1lim exp{ ln ( ) } b n n n nn an f f f f x d b a→∞ = − ∫" x ．并利用上述等式证明下式： rdxrxr ln2)cos21ln( 2 1 2 0 2 =+−∫ ππ )1( >r ． 八、从调和级数 "" +++++ n 1 3 1 2 11 中去掉所有在分母的十进表示中含数码 9 的项， 证明由此所得余下的级数必定是收敛的． 浙 江 大 学 二〇〇〇年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 一、（10 分） （1）求极限 1 0 (1 )lim x x e x x→ − + ． （2）设 2 10 1, , , 2,3, , lim2 n n n nn x xx a x b x n x− − →∞ −= = = = " 求 ． 二、（10 分） （1）设 K ab afbfKf b a =− −= + − → → )()(lim,)0( 0 0 试证明‘ ． （2）设 ( )f x 在 上连续，[ , ]a b ( )f x′′ 在 内存在，试证明存在( , )a b ( , )a bξ ∈ ，使得 )( 4 )() 2 (2)()(bf 2 ξfabbafaf ′′−=+−+ ． 三、（15 分） （1）求数项级数∑∞ =1 2n n n 的和 ． S （2）试证明 ∑∞ = = 1 1)( n xn xs 在 (1, )+∞ 上的连续函数． 四、（15 分） （1）设方程组 ，确定了可微函数 ，试求⎩⎨ ⎧ =+ =+++ 0sinsin 0 vyux vuyx ⎩⎨ ⎧ = = ),( ),( yxvv yxuu y v x vdu ∂ ∂ ∂ ∂ ,, ． （2）设 2cos( )( ) d y y x yF y x x = ∫ ，求 )1(F ′ ． 五、（30 分） （1）计算定积分 20 sin 1 cos x xI dx x π= +∫ ． （2）求以曲面 为顶，以平面22 yxez −−= 0=z 为底，以柱面 为侧面的曲顶柱 体的体积V ． 122 =+ yx （3）设 表示半球面∑+ )1(1 2222 ≤+−−= yxyxz 的上侧，求第二类曲面积分 ∫∫∑ ++−++= + dxdyyzxdzdxzyxdydzzyxJ 222 )2()2()( ． 六、（20 分） （1）将函数 xxf =)( )( ππ ≤≤− x 展开成 级数． Fourier （2）求级数∑∞ =1 2 1 n n 的和． （3）计算广义积分 1 0 ln(1 )x dx x −∫ ． 浙江大学 10 年数学分析试题 第 2 页，共 11 页 浙 江 大 学 二〇〇一年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 一、（30 分） （1）用“ δε − 语言”证明 22 1 1lim 3 2 3n n n n n→∞ − + 3 =+ − ． （2）求极限 tan 2 1 lim(2 ) x x x π → − ． （3）设 1 0 1'(ln ) 1 x f x x x < ≤⎧= ⎨ >⎩ ，且 (0) 0f = ，求 ( )f x ． 二、（10 分）设 是可微函数，求 ，其中( )y y x= '(0)y 2 sin 7x yy ye e x x= − + − ． 三、（10 分）在极坐标变换 cos , sinx r y rθ θ= = 之下，变换方程 2 2 2 2 ( , ) z z f x y x y ∂ ∂+ =∂ ∂ ． 四、（20 分） （1）求由半径为a的球面与顶点在球心，顶角为2α 的圆锥面所围成区域的体积． （2）求曲面积分 2 2 2( ) ( ) ( ) S I y x dydz z y dzdx x z dxdy= − + − + −∫∫ ，其中 是曲面 S 2 22 (1z x y z= − − ≤ ≤ 2)的上侧． 五、（15 分）设二元函数 ( , )f x y 在正方形区域[0,1] [0,1]× 上连续．记 ． [0,1]J = （1）试比较 inf sup ( , ) y J x J f x y ∈ ∈ 与 supinf ( , ) x J y J f x y ∈ ∈ 的大小并证明之； （2）给出一个使等式 inf sup ( , ) supinf ( , ) y J x J x J y J f x y f x y ∈ ∈ ∈ ∈ = 成立的充分条件并证明之． 六、（15 分）设 ( )f x 是在[ 1 上可积且在,1]− 0x = 处连续的函数，记 (1 ) 0 1 ( ) 1 0 n n nx x x x e x ϕ ⎧ − ≤⎪= ⎨ − ≤ ≤⎪⎩ ≤ ，证明： 1 1 lim ( ) ( ) (0) 2 nn n f x x dx fϕ−→∞ =∫ ． 浙江大学 10 年数学分析试题 第 3 页，共 11 页 浙 江 大 学 二〇〇二年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 一、（30 分） （1）用“ δε − 语言”证明 0 3 )1)(2(lim 1 =− −− → x xx x ． （2）给出一个一元函数 ，在有理点都不连续，在无理点都连续，并证明之． f （3）设 为二元函数，在 附近有定义，试讨论“ 在 处可 微”与“ 在 附近关于 ),( yxf ),( 00 yx ),( yxf ),( 00 yx ),( yxf ),( 00 yx x、 y 的偏导数都存在”之间的关系，必要 时，请给出反例． 二、（30 分） （1）设 1 2)( + += x xxf ，数列{ 由如下递推公式定义： }nx 10 =x ， ，)(1 nn xfx =+ ( 0,1, 2,n )= " ，求证： 2lim =∞→ nn x ． （2）求 2 1coslim x x x ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ∞→ ． （3）求 ， ( 0 ，)0()(nf ,1, 2,n = ") 0)0( =f ， 2 1 )( xexf −= （当 0≠x 时）． （4）求不定积分 dxx∫ + 21 ． （5）证明： ∑∞ = = 1 1)( n xn xς 在 ),1( ∞ 上连续可微． 三、（20 分） （1）求第一型曲面积分 ∫∫ =++ −++ = 2222 222 )(Rzyx hzyx dSI ，其中 ． Rh ≠ （2）设 为三个实数，证明：方程 的根不超过三个． , ,a b c cbxaxe x ++= 2 四、（20 分）设 ，求证： xxxxf nn coscoscos)( 2 +++= " （1）对任意自然数n，方程 1)( =xfn 在[0, )3 π 内有且仅有一个正根． （2）设 ∈nx [0, )3 π 是 的根，则1)( =xfn lim 3nn x π →∞ = ． 浙江大学 10 年数学分析试题 第 4 页，共 11 页 浙 江 大 学 二〇〇三年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 一、（15 分）叙述数列的柯西（Cauchy）收敛原理，并证明之． 二、（15 分）设 ( )f x 在[ , 上一致连续，]a +∞ ( )xϕ 在[ , ]a +∞ 上连续，且 lim[ ( ) ( )] 0 x f x xϕ →∞ − = ． 证明： ( )xϕ 在[ , 上一致连续． ]a +∞ 三、（15 分）设 ( )f x 在[ , 上有二阶连续导数，且 ，当]a +∞ ( ) 0, '( ) 0f a f a> < x a> 时 ''( ) 0f x ≤ ．证明：在[ , 内，方程]a +∞ ( ) 0f x = 有且只有一个实根． 四、（20 分）设 ( )f x 连续， 1 0 ( ) ( )dx f xt tϕ = ∫ ，且 0 ( )limx f x Ax→ = （常数），求 '( )xϕ ，并讨 论 '( )xϕ 在 处的连续性． 0x = 五、（10 分）定义 为 ( )nP x 21 d ( 1)( ) 2 ! d n n n n n xP x n x −= ， 1, 2,n = " 0 ( ) 1P x = ． 证明： 1 1 0 ( ) ( )d 2 2 1 m k m k P x P x x m k m − ≠⎧⎪= ⎨ =⎪ +⎩ ∫ ． 六、（10 分）给出 Riemann 积分 ( )db a f x x∫ 的定义，并确定实数 的范围使下列极限收敛s 1 0 1lim ( ) n s n i i n n − →∞ = ∑ ． 七、（20 分）证明： （1）函数项级数 1 2 1 ( 1)n n n x −∞ = − +∑ 在 上一致收敛，但是对任意( ,−∞ ∞) )( ,x∈ −∞ ∞ 非绝对收敛； （2）函数项级数 2 2 1 (1 )nn x x ∞ = +∑ 对任意 ( ,x )∈ −∞ ∞ 都绝对收敛，但在 ( , )−∞ ∞ 上非一致收敛． 八、（45 分）计算 （1）（15 分） 1 00 1 max ln d s s t t ≤ ≤ −∫ ； （2）（15 分） 2 D 3 d d 3 x x y y xy+∫∫ ，其中 为平面曲线D 2 21, 3, , 3xy xy y x y x= = = = 所围成的有界 闭区域． （3）（15 分） 1 ( , , )d x y z f x y z S + + = ∫∫ ，其中 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 ( , , ) 0 1 x y z x y z f x y z x y z ⎧ − − − + + ≤= ⎨ + + >⎩ ． 浙江大学 10 年数学分析试题 第 5 页，共 11 页 浙 江 大 学 二〇〇四年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 一、（15 分）设函数 ( )f x 在区间 X 上有定义．试证明： ( )f x 在 X 上一致连续的充要条 件是对区间 X 上任意的两数列{ '}nx 与{ '}mx ，当 lim( ' ') 0n mn x x→∞ − = 时，有 lim( ( ') ( ')) 0n mn f x f x→∞ − = ． 二、（15 分）设函数 ( )f x 在区间 ( 1,1)− 内具有直到三阶的连续导数，且 (0) 0f = ， 0 '( )lim 0 x f x x→ = ．试证明： 2 1( ) n nf n ∞ = ∑ 绝对收敛． 三、（15 分）设函数 ( )f x 在区间[ , 上可微，且]a b ( )f x 在a点的左导数 ，在 点的右导数 ， '( ) 0f a+ < b '( ) 0f b− < ( ) ( )f a f b c= = ．证明： '( )f x 在 内至少有两个零点．( , )a b 四、（15 分）设函数 ( )f x 在区间[ , 上 Riemann 可积，且 ．试证明：存 在闭区间[ , ]a b ( )d 0 b a f x x <∫ ] [ , ]a bα β ⊂ 使得当 [ , ]x α β∈ 时， ( ) 0f x < ． 五、（15 分）证明：若一族开区间{ }aI 覆盖了闭区间[0 ，则必存在一正数,1] 0δ > ，使 得[0 中任何两点,1] ', ''x x 满足 ' ''x x δ− < 时，这两点必属于某个开区间 { }I Iβ α∈ ． 六、（10 分）用球面坐标 sin cos , sin sin , cosx r y r z rθ ϕ θ ϕ= = = θ 变换方程 2 2 2 2 2 2 0 u u u x y z ∂ ∂ ∂+ + =∂ ∂ ∂ ． 七、（15 分）计算： 2 20 sin d 1 cos x x x x π +∫ ． 八、（15 分）求 在条件2 2u x y z= + + 2 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + = 下的最大最小值，其中 ．0a b c> > > 九、（15 分）利用公式 2 0 1 2 dxye x x x π ∞ −= >∫ ( )0 计算积分 2 0 0 1 sinsin( )d d 2 xx x x x +∞ +∞=∫ ∫ 的值．（并说明计算过程中每一步的合理性） 十、（20 分）（1）设Ω为 3R 中光滑区域，∂Ω为其边界，函数 在 上有连续二 阶导数．证明： ,u v Ω+∂Ω ( )d d d ( )dv uu v v u x y z u v S n nΩ ∂Ω ∂ ∂Δ − Δ = −∂ ∂∫∫∫ ∫∫ ．其中 n∂∂ 为沿边界∂Ω外 法线方向的导数， 为边界上的面积元，dS 2 2 2 2 2 2x y z ∂ ∂ ∂Δ = + +∂ ∂ ∂ ． （2） 的坐标为 ( ,3P R∈ , )ξ η ζ ，函数 2 2( , , ) (( ) ( ) ( ) )r x y z x y z 2ξ η ζ= − + − + − 证明： 1 0 r Δ = 在 3 \{ }R P 上成立． （3）设 ( , )B P δ 是以 为中心P δ 为半径的球， ( , )B P δ∂ 为其边界．若在 ( , )B P δ 上 满足 ，则 u 0uΔ = 2 ( , ) 1( ) d 4 B P u P u S δπδ ∂ = ∫∫ ． 浙江大学 10 年数学分析试题 第 6 页，共 11 页 浙 江 大 学 二〇〇五年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 一、计算定积分： ． 2 0 sinxe x π∫ dx 二、假设 ( )f x 在[0 上黎曼可积，,1] 1 0 3( ) 2 f x dx =∫ ，求 1 1lim 4ln[1 ( )] n n i if n n→∞ = +∑ ． 三、设 是实数， 且 ．试确定 ，使得, ,a b c 1b > − 0c ≠ , ,a b c 30 sinlim ln(1 )x x b ax x c t dt t → − =+∫ ． 四、 ( )f x 在[ , 上连续，]a b [ , ]x a b∀ ∈ 都可找到 [ , ]y a b∈ ，使得 1| ( ) | | ( ) 2 |f y f≤ x ． 求证： [ , ]a bξ∃ ∈ 使得 ( ) 0f ξ = ． 五、（1）设 ( )f x 在[ , 上连续，且)a +∞ ( ) a f x dx +∞∫ 收敛． 证明：存在数列{ } ，使得[ , )nx a⊂ +∞ nx 满足 lim nn x→∞ = +∞且 li ． m ( ) 0nn f x→∞ = （2）设 ( )f x 在[ , 上连续， ，且)a +∞ ( ) 0f x ≥ ( ) a f x dx +∞∫ 收敛． 试问：是否必有 ，为什么？ lim ( ) 0nn f x→∞ = 六、设 ( )f x 在[0 上具有二阶连续导数，且已知, )+∞ 0 (0, ) sup | ( ) | x M f x ∈ +∞ = 和 2 (0, ) sup | "( ) | x M f x ∈ +∞ = 都是有限数，求证： （1） 0 2 2'( ) 2 M tf x M t ≤ + 对任何的 , (0,t x )∈ +∞ 都成立． （2）若 1 (0, ) sup | '( ) | x M f x ∈ +∞ = 也是有限数，则 1 02 2M M M≤ ． 七、设 ( )f x 在任何有限区间上黎曼可积，且 | ( ) |f x dx+∞−∞∫ 收敛． 证明： li ． m ( )sin 0 n f x nxdx +∞ −∞→∞ =∫ 八、（1）将arctan x展开为幂级数，并求其收敛半径． （2）利用（1）证明： 4 4 ( 1) 44 3 5 2 1 n n π −= − + − + ++" "． （3）利用（2）的公式近似计算π 的值，需要用多少项求和，其误差不会超过10 m− ？ 九、设 是 上 径向函数，即存在一个一元函数( , )u x y 2 /{0,0}R 2C f ，使得 ( , ) ( )u x y f r= ,其中 2r x y= + 2 ，若 满足如下方程：( , )u x y 2 2 2 2 0 u u x y ∂ ∂+ =∂ ∂ ，试求函 数 f 满足的方程及 的表达式． ( , )u x y 十、（1）设 f 是 1R 上的周期为 L的函数 ，且( 0L > ) f 连续可微， ． 0 ( ) 0 L f x dx =∫ 浙江大学 10 年数学分析试题 第 7 页，共 11 页 利用 f 的Fo 级数展开式证明：urior 2 2 2 20 0 4| '( ) | | ( ) | L L f x dx f x d L π≥∫ ∫ x． 等号成立当且仅当存在常数 ，使得1 1,a a− 2 2 1 1( ) t ti i L Lf t a e a e π π− −= + ． （2）设Ω是 2R 上满足条件的光滑连通区域， 是S Ω的面积，则有： 2S divrdxdy rvds Ω ∂Ω = =∫ ∫K KK ． 其中 ． 1 2( , ) ( , ) ( , ) , ,r x y r x y i r x y j i j v= + ∂Ω K K K KK K其中 是单位向量， 是 的单位法向量 （3） 定义同上，记 l为 的边界长度，利用（1）（2）证明：Ω Ω 2 4l Sπ≥ ，当且仅当Ω 为圆盘时等号成立． 附 1999年前部分试题： 一、求极限 2 2limsin ( ) n n nπ→∞ + ． 二、计算不定积分 3 3 2 xdx x x− +∫ ． 三、证明： 2 2 1 1 1( ), ln ln (ln )k n o n k k n n n n +∞ = = + → +∑ ∞． 四、设 ( ), ( )f x g x 在[ , 上连续， 在 内可微，且]a b ( )g x ( , )a b ( ) 0g a = ，若有实数 0λ ≠ ， 使得 ( ) ( ) '( ) ( )g x f x g x g xλ+ ≤ ， ( , )x a b∈ 成立，试证： ( ) 0g x ≡ ． 五、设 为( , )z z x y= ,x y的二次可微函数，作自变量和因变量的变换，取 为新的自 变量， 为新的因变量，使得 ,u v w , ,xw xz y u v x y = − = = ，请将方程 2 2 22z zy y y ∂ ∂+ =∂ ∂ x 变 换成关于新变量 的方程． , ,w u v 六、求证： （1） 0 0 0 sin sin( 1)n n x xdx dx x x π π +∞+∞ = = − +∑∫ ∫ n ； （2） 0 0 sin sinx xdx dx x x π+∞ <∫ ∫ ． 浙江大学 10 年数学分析试题 第 8 页，共 11 页 浙 江 大 学 二〇〇六年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 一、（20 分） （1）证明数列 1 1 11 ... ln 2 3n x n n = + + + + − 收敛． （2）计算 1 1lim ... 1 2 2n n n→∞ + + ++ + 1 n ． 二、（15 分）函数 ( )f x 在闭区间[ , 上连续，存在收敛于 的数列 ，使得对任意的]a b 0 kr x， 都有 2 ( ) ( ) 2 ( )lim 0k k k k f x r f x r f x r→∞ + + − − = ．试证 ( )f x 为线性函数． 三、（15 分）假设函数 为处处不可导的连续函数，以此为基础构造连续函数( )h x ( )f x ， 使 ( )f x 仅在两点可导，并说明理由． 四、（20 分）二元函数 2 2 2 2 2 2 1( ) sin , ( , ) 0, 0 x y x y x yf x y x y ⎧ 2 0+ + ≠⎪ += ⎨⎪ + =⎩ ． （1）求 ( , ), ( , )f fx y x x y ∂ ∂ ∂ ∂ y ． （2） ,f f x y ∂ ∂ ∂ ∂ 是否在原点连续， ( , )f x y 在原点是否可微，并说明理由． 五、（15 分） ( )f x 在任意区间[ , 黎曼可积，]a b 0 ( )f x dx +∞∫ 收敛， ．证明： 1a > 0 00 lim ( ) ( )xy y a f x dx f x dx+ +∞ +∞− → =∫ ∫ ． 六、（15 分）计算 2 2 2 2 2 2 3/ 2 1 ( )x y z xdydz ydzdx zdxdy ax by cz+ + = + + + +∫∫ ，其中 ． 0, 0, 0a b c> > > 七、（20 分）计算 在单位球上的积分： 2 2 2:V x y z+ + =1 cos( ) V I ax by cz dxdydz= + +∫∫∫ ． 八、（20 分）设函数 2 1( ) 1 2 f x x x = − − ,证明级数 ( )0 ! (0)nn n f ∞ = ∑ 收敛． 九、（15 分）设 ( )f x 可微， (0) 0f = ，对于任意的 x有 '( ) ( )f x Af x≤ ，证明： 在[0 上有 ． , )+∞ ( ) 0f x ≡ 浙江大学 10 年数学分析试题 第 9 页，共 11 页 浙 江 大 学 二〇〇七年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 编号： 427 一、（30 分）证明： （1） ． 3sin (1 ) ( ), ( 0)xe x x x O x x− + = → （2） ． 2cos sin 1 , (0, )x x x x x+ > + − ∈ +∞ （3）设 是[ 1 上的可积函数，则有： f ,1]− 2 2 2 1 2 1 1 ( ) ( )(1 ) x y z f z dxdydz f u u duπ − + + ≤ = −∫∫∫ ∫ ． 二、（30 分） （1）叙述数集的上确界及下确界的定义． （2）设 是一个有上界的数集，用 表示 的一个平移，即S aS S { |aS x a x S}= + ∈ ． 其中 是一个实数,试证明：a aSSa += supsup ． （3）确定数集 2 2 3 1{( 1) | 1, 2,3, } 2 n n n n −− = "" 的上确界和下确界(必须用定义加以验证)． 三、（20 分）狄利克雷函数 ，试分别用以下两种方式证明： ⎩⎨ ⎧= 为无理数 为有理数 x x xD ,0 ,1 )( 当 时， 的极限不存在． 1→x )(xD （1）极限定义； （2）柯西收敛准则． 四、（20 分）（1）设函数列 与 在区间)}({ xfn )}({ xgn I 上分别一致收敛于 与 ， 且假定 与 都在 )(xf )(xg )(xf )(xg I 上有界．试证明： { ( ) ( )}n nf x g x 在区间 I 上一致收敛于 ( ) ( )f x g x ． （2）如果只给出条件: 与 分别一致收敛于 与 ，能否保证必 有{ ( )}({ xfn )}({ xgn )(xf )(xg ) ( )}n nf x g x 一致收敛于 ( ) ( )f x g x ? 请说明理由． 五、（15 分）设 在[ , 上可积,并且在)(xf ]a b bx = 处连续．证明： ( ) 1 1lim ( ) ( ) ( ) b n n an n x a f x dx f b b a +→∞ + − =− ∫ ． 六、（15 分）设 1 1 30, 1 , 1, 2,3, 4 n n n aa a n a+ > = + =+ "" 证明：数列 有极限，并求其值． }{ na 七、（20 分）设 ∑∞ = += 1 2 )1ln( 1)( n nx nn xf ，证明： （1） 在[ 1 上连续； )(xf ,1]− （2） 在 处可导； )(xf 1x = − （3） ； 1 lim '( ) x f x−→ = +∞ （4） 在)(xf 1x = 处不可导． 浙江大学 10 年数学分析试题 第 10 页，共 11 页 浙 江 大 学 二〇〇八年攻读硕士学位研究生入学考试试题 考试科目： 数学分析 浙江大学 10 年数学分析试题 第 11 页，共 11 页 编号： 847 一、（20 分）证明： 2 sinlim cos cos cos 2 2 2nn t t t t→∞ =" t（1） ． （2）利用（1）证明 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2π = + + + ""． 二、（15 分）已知 ( )f x 在 处连续可导，且0x = (0) 0f = '(0) 5f =， ，试求如下极限： 1 00 1lim ( ) x f xt dt x→ ∫ ． 三、（15 分）讨论下面级数的收敛性： 1 1 1 sin(1 ) 2n nx n n +∞ = + +∑ " ． 0ε∀ >四、（15 分）试证函数 I( )f x ,x y在区间 上一致连续的充要条件是： ，存在 及正 数 ，使得 ( ) ( )| |f x f y M x y − >−x y≠0M > ,x y I∈ 且 | ( ) ( ) |f x f y ε− <且 时有 ． 1 1( ) x n f x n +∞ = = ∑五、（20 分）设函数 ( )f x 在 (0, )+∞，试证函数 内连续，但在 内不一 致连续． (0, )+∞ 2 2 2 2 2 2 1 x y z a b c + + =3 S x dydz∫∫六、（15 分）计算第二类曲面积分： ，其中 为椭球面S 的下半 部分（其中 ），积分正向取椭球外侧． , , 0a b c > 七、（20 分）设二元函数 1 2 2 2( ) ,( , ) 0 x y x y Qf x y α+⎧⎪ += ⎨⎪⎩ 其它情况 ∈ 其中 1α > ． （1）函数 ( , )f x y 在原点是否连续，是否可微？并证明你的结论． （2）讨论函数 ( , )f x y 在除原点以外的其它点的连续点和可微性． 八、（15 分）设 f 是[ 1 上的可积函数,试证： ,1]− 2 2 2 1 2 1 1 ( ) (1 ) ( x y z )f ax by cz dxdydz u f ku duπ − + + ≤ + + = −∫∫∫ ∫ ． 2 2k a b c= + + 2其中 ． 九、（15 分）函数 ( )f x ， 在整个数轴上连续，且( )g x ( 1) (g x g x)+ = ，试证： 1 1 1 0 0 0 lim ( ) ( ) ( ( ) )( ( ) ) n f x g nx dx f x dx g x dx→∞ =∫ ∫ ∫ ． èÆk)· · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 1 úŒ2009ê© To my parents 1 OŽ: 1.1 ∫ 1 a2 cos2 x+ b2 sin2 x dx(ab 6= 0), )‰. �ª = ∫ cos2 x+ sin2 x a2 cos2 x+ b2 sin2 x dx = ∫ tan2 x a2 + b2 tan2 x dx = 1 a2 · a b · ∫ d b a tanx 1 + ( b a tanx )2 = 1 ab arctan (a b tanx ) + C. 1.2 lim x→0 ∫ x 0 e t2 2 cos tdt− x (ex − 1)2(1− cos2 x) arctanx , )‰. �ª = lim x→0 ∫ x 0 e t2 2 cos tdt− x x5 · x 2 (ex − 1)2 · x2 1− cos2 x · x arctanx = lim x→0 e x2 2 cosx− 1 5x4 = lim x→0 e x2 2 (x cosx− sinx) 20x3 = 1 60 lim x→0 x sinx x2 = 1 60 . 1.3 ∫ +∞ 0 lnx 1 + x2 dx, èÆk)· · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 2 )‰. �ª = ∫ 1 0 lnx 1 + x2 dx+ ∫ ∞ 1 lnx 1 + x2 dx = ∫ 1 0 lnx 1 + x2 dx− ∫ 1 0 lnx 1 + x2 dx = 0. 1.4 ∫∫ D (x+ y)sgn(x− y)dxdy,Ù¥D = [0, 1]× [0, 1]. )‰. �ª = ∫ 1 0 dx ∫ x 0 (x+ y)dy − ∫ 1 0 dy ∫ y 0 (x+ y)dx = ∫ 1 0 dx ∫ x 0 (x+ y)dy − ∫ 1 0 dx ∫ x 0 (x+ y)dy = 0. 2 XJf(x)3x0�,+SŒ�,… lim x→x0 f ′(x) x− x0 = 1 2 .y²f(x)3:x0? �4�Š. y². dK¿, ∃ δ > 0, s.t. 0 < |x− x0| < δ ⇒ 1 4 < f ′(x) x− x0 < 3 4 , −δ < x− x0 < 0 ⇒ f ′(x) < 14(x− x0) < 0, 0 < x− x0 < δ ⇒ f ′(x) > 14(x− x0) > 0. =f3x0�†+þ4~§m+þ4O,u´f3x0?��4�Š. 3 �f(x, y, z)L«l�:�ý¥¡Σ : x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1(a > 0, b > 0, c > 0)þ : p(x, y, z)?�ƒ²¡�ål.¦1˜.­¡È© ∫∫ Σ ds f(x, y, z) . èÆk)· · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 3 )‰. é x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = 1 ¦‡©k xdx a2 + ydy b2 + zdz c2 = 0, ý¥¡þ:(x0, y0, z0)?�{•þ(x0 a2 , y0 b2 , z0 c2 ) , L:(x0, y0, z0)�ƒ²¡ x0 a2 (x− x0) + y0 b2 (y − y0) + z0 c2 (z − z0) = 0, = x0 a2 x+ y0 b2 y + z0 c2 z = 1. u´ f(x, y, z) = 1√ x2 a4 + y 2 b4 + z 2 c4 , ∫∫ Σ ds f(x, y, z) = 8 ∫∫ x2 a2 + y2 b2 + z 2 c2 =1 x,y,z≥0 ds√ x2 a4 + y 2 b4 + z 2 c4 = 8 ∫∫ x2 a2 + y2 b2 ≤1 x,y≥0 c2 c √ 1− x2 a2 − y2 b2 dxdy = 8abc ∫∫ x2+y2≤1 x,y≥0 1√ 1− x2 − y2dxdy = 8abc · pi 2 · ∫ 1 0 r√ 1− r2dr = 4piabc. 4 �f(x)3[a, b]þëY,… min x∈[a,b] f(x) = 1.y²: lim n→∞ (∫ b a dx (f(x))n ) 1 n = 1. èÆk)· · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 4 y². � 1 = min x∈[a,b] f(x) = f(ξ), ؔ�ξ ∈ (a, b)(ξ = a½ξ = baq?Ø). • ˜¡, (∫ b a dx (f(x))n ) 1 n ≤ (b− a) 1n → 1,�n→∞. • ,˜¡,é?¿�½�ε > 0, ∃ δ < ε, s.t. |x− ξ| < δ ⇒ 1 ≤ f(x) < 1 + ε, (∫ b a dx (f(x))n ) 1 n ≥ (∫ ξ+δ ξ−δ dx (1 + ε)n ) 1 n = (2δ) 1 n 1 + ε → 1 1 + ε ,�n→∞. dε�?¿5 lim n→∞ (∫ b a dx (f(x))n ) 1 n = 1. 5P. [y²I‡^�þe4.sŒ±š~N´/�Ñ. 5 �é?¿a > 0,f(x)3[0, a]þiùŒÈ,… lim x→∞ f(x) = C.y²: lim t→0+ t ∫ +∞ 0 e−txf(x)dx = C. y². • dt ∫ ∞ 0 e−txdx = 1 �e∣∣∣∣t∫ +∞ 0 e−txf(x)dx− C ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣t∫ +∞ 0 e−tx[f(x)− C]dx ∣∣∣∣ . èÆk)· · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 5 • d lim x→∞ f(x) = C ∀ ε > 0, ∃ A > 0, s.t. x > A⇒ |f(x)− C| < ε 2 . • qf3[0, A]þŒÈ, k.,�M ,u´éþã?¿�ε > 0, ∃ δ = ε 2A(M + C) > 0, s.t. 0 < t < δ ⇒ ∣∣∣∣t∫ A 0 e−tx[f(x)− C]dx ∣∣∣∣ < δ · A · (M + C) < ε2 . o( k ∣∣∣∣t∫ +∞ 0 e−txf(x)dx− C ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣t∫ +∞ 0 e−tx[f(x)− C]dx ∣∣∣∣ ≤ ∣∣∣∣t∫ A 0 e−tx[f(x)− C]dx ∣∣∣∣+ ∣∣∣∣t∫ +∞ A e−tx[f(x)− C]dx ∣∣∣∣ ≤ ε 2 + ε 2 = ε. 6 y²f(x) = |sinx| x 3(0, 1)†(−1, 0)þþ˜—ëY,�3 (−1, 0) ∪ (0, 1)þ ؘ—ëY. y². • f(x) = |sinx| x 3(0, 1)†(−1, 0)þþ˜—ëY. ½Â g1(x) = { |sinx| x , x ∈ (0, 1]; 1, x = 0. g2(x) = { |sinx| x , x ∈ [−1, 0); −1, x = 0. =g1(x), g2(x)©O3[0, 1],[−1, 0]þ˜—ëY, §‚�›f(x) ˜—ëY. • f(x)3 (−1, 0) ∪ (0, 1)þؘ—ëY. èÆk)· · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 6 ^‡y{.ef(x)3(−1, 0) ∪ (0, 1)þ˜—ëY,K ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, s.t. x, x ′ ∈ (−1, 0) ∪ (0, 1) |x− x′| < δ } |f(x)− f(x′)| < ε. AO/, − δ 2 < x < 0 0 < x′ < δ 2 } ⇒ |f(x)− f(x′)| < ε. -δ → 0+,k 2 = |−1− 1| < ε, ù´‡gñ! 7 �f(x)3[a, b]þŒ�,�¼êf ′(x)3[a, b]þüNeü,…f ′(b) > 0.y²:∣∣∣∣∫ b a cos f(x)dx ∣∣∣∣ ≤ 2f ′(b) . y². ∣∣∣∣∫ b a cos f(x)dx ∣∣∣∣ = ∣∣∣∣∣ ∫ f(b) f(a) cos y · 1 f ′(f−1(y)) dy ∣∣∣∣∣( CþO†y = f(x) ) = ∣∣∣∣∣ 1f ′(f−1(ξ)) ∫ f(b) f(a) cos ydy ∣∣∣∣∣( í2�È©1˜¥Š½n ) ≤ 1 f ′(b) |sin f(b)− sin f(a)| ≤ 2 f ′(b) . èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 1 úŒ2010ê© To my parents 1 OŽe�4ÚÈ© 1.1 lim n→∞ (n+1)2∑ k=n2 1√ k )‰. d 2n+ 2 n+ 1 ≤ (n+1)2∑ k=n2 1√ k ≤ 2n+ 2 n  �ª = 2. 1.2 ∫∫ [0,pi]×[0,1] y sin(xy)dxdy )‰. �ª = ∫ 1 0 dy ∫ pi 0 y sin(xy)dx = ∫ 1 0 [1− cos(piy)] dy = 1. 1.3 lim x→0 ex sinx− x(1 + x) sin3 x )‰. �ª = lim x→0 ex sinx− x− x2 x3 = lim x→0 ex(sinx+ cosx)− 1− 2x 3x2 = lim x→0 2ex cosx− 2 6x = 1 3 lim x→0 ex(− sinx+ cosx) = 1 3 . èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 2 1.4 OŽ ∫∫ Σ zdxdy Ù¥Σ´n�/ {(x, y, z); x, y, z ≥ 0, x+ y + z = 1},Ù{• †(1, 1, 1)ƒÓ. )‰. dGaussúª, �ª = ∫∫∫ x,y,z≥0 x+y+z≤1 dxdydz = 1 3 . 1.5 ∫ 2pi 0 √ 1 + sin xdx )‰. �ª = ∫ 2pi 0 |cosx|√ 1− sinxdx = ∫ pi 2 0 + ∫ 3pi 2 pi 2 + ∫ 2pi 3pi 2 |cosx|√ 1− sinxdx = −2 (1− sinx) 12 ∣∣∣pi2 0 + 2 (1− sinx) 12 ∣∣∣ 3pi2 pi 2 − 2 (1− sinx) 12 ∣∣∣2pi 3pi 2 = 2 + 2 √ 2− 2 ( 1− √ 2 ) = 4 √ 2. 1.6 ∫ 1 0 ln(1 + x) 1 + x2 dx )‰. �ª = ∫ pi 4 0 ln(1 + tan θ)dθ (x = tan θ) = ∫ pi 4 0 ln(sin θ + cos θ)dθ − ∫ pi 4 0 ln cos θdθ = ∫ pi 4 0 ln [√ 2 cos ( θ − pi 4 )] dθ − ∫ pi 4 0 ln cos θdθ èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 3 = pi 8 ln 2 + ∫ 0 −pi 4 ln cosαdα ( θ − pi 4 = α ) − ∫ pi 4 0 ln cos θdθ = pi 8 ln 2. 2 �an = sin an−1,n ≥ 2,…a1 > 0.OŽ lim n→∞ √ n 3 an. )‰. • lim n→∞ an = 0. ¯¢þ, |an| ≤ |sin |an−1|| ≤ |an−1| , lim n→∞ |an| = A3.u an = sin an−1 ü>-n→∞,k A = lim n→∞ |an| = lim n→∞ ± sin |an−1| = ± sinA. A = 0. • lim n→∞ √ n 3 an =  1, e 2kpi < a1 < 2kpi + pi, 0, e a1 = kpi, −1, e 2kpi + pi < a1 < 2kpi + 2pi, k = 1, 2, · · · . ¯¢þ, F �a1 = kpiž,an = 0, lim n→∞ √ n 3 an = 0. F �a1 6= kpiž, an { > 0, e 2kpi < a1 < 2kpi + pi, < 0, e 2kpi + pi < a1 < 2kpi + 2pi. èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 4 �dž,=Ly lim n→∞ n 3 a2n = 1. ùŒÏLStolzúªá=��: lim n→∞ n 3 a2n = 1 3 lim n→∞ n 1 a2n = 1 3 lim n→∞ 1 1 a2n − 1 a2n−1 = 1 3 lim n→∞ 1 1 sin2 an−1 − 1 a2n−1 = 1 3 lim n→∞ a2n−1 sin 2 an−1 a2n−1 − sin2 an−1 = 1 3 lim x→0 x2 sin2 x x2 − sin2 x = 1 3 lim x→0 x3 x− sinx · x x+ sinx · sin 2 x x2 = 1 6 lim x→0 x3 x− sinx = 1 6 lim x→0 3x2 1− cosx = 1 2 lim x→0 2x sinx = 1. 3 �¼êf(x)3(−∞,+∞)þëY,n Ûê.y:e lim n→+∞ f(x) xn = lim n→−∞ f(x) xn = 1. K§f(x) + xn = 0k¢Š. y². dK¿, ∃ A > 0, s.t. { x ≤ −A ⇒ f(x) xn ≥ 1 2 ⇒ f(x) ≤ 1 2 xn, x ≥ A ⇒ f(x) xn ≥ 1 2 ⇒ f(x) ≥ 1 2 xn. èÆk) · · · · · · uia.china@gmail.com· · · · · ·›Š 5 f(A) + An ≥ 3 2 An > 0 > −1 2 An ≥ f(−A) + (−A)n, u´dëY¼ê0Š½n,∃ ξ ∈ (−A,A), s.t. f(ξ) + ξn = 0. 4 y² ∫ ∞ 0 sinxy y dy 3[δ,+∞)þ˜—ëY(Ù¥δ > 0). y². • ∫ ∞ 0 sinxy y dy ˜—Âñu[δ,∞). ¯¢þ,Ϗ lim y→0 sinxy y = lim y→0 sinxy xy · x = x, 9 ∫ ∞ 0 sinxy y dy = ∫ 1 0 + ∫ ∞ 1 sinxy y dy, I�y‡~È© ∫ ∞ 1 sinxy y dy ˜—Âñ, ^Dirichlet�O{: F ∣∣∣∣∫ A 1 sinxydy ∣∣∣∣ ≤ 2x ≤ 2δ <∞, F 1 y 'uy4~… lim y→∞ 1 y = 0. • ∫ ∞ 0 sinxy y dy ˜—ëYu[δ,∞). d ∫ ∞ 0 sinxy y dy˜—Âñu[δ,∞)é?¿�½�ε > 0, ∃ A > 0, s.t. x ∈ [δ,∞)⇒ ∣∣∣∣∫ ∞ A sinxy y dy ∣∣∣∣ < ε3 , èÆk) · ·