nullnull §3.9 曲 率一、弧微分二、曲率及其计算
公式
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三、曲率圆与曲率半径有向弧段的值、弧微分公式曲率、曲率的计算公式曲率圆曲率半径一、弧微分一、弧微分 s 的绝对值等于这弧段的长度,当有向弧段的方向与曲线的
正向一致时s>0,相反时s<0.s>0s<0 显然,弧 s 是 x 的函数:ss(x),而且s(x)是x的单调增加函
数.null 设x , x+ Dx 为(a,b)内两个邻近的点,它们在曲线
yf(x)上的对应点为M,M,并设对应于x的增量Dx ,弧 s 的增
量为Ds,于是 下面来求s(x)的导数及微分.null1,因为因此由于ss(x)是单调增加函数,从而于是 ds 这就是弧微分公式.二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式 观察曲线的弯曲线程度与切线的关系: 可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来
表
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达弧段的平均
弯曲程度,null 设曲线C是光滑的,曲线
线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ,切线的转角为Da .平均曲率:曲率:null曲率的计算公式: 设曲线的直角坐标方程是yf(x),且f(x)具有二阶导数.于是从而,有因为tan a y ,所以 例1 计算等双曲线x y 1在点(1,1)处的曲率. 例1 计算等双曲线x y 1在点(1,1)处的曲率.解因此,y|x11,y|x12.曲线x y 1在点(1,1)处的曲率为 例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大? 例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大? 解 由yax2bxc,得 y2axb ,y2a ,代入曲率公式,得要使K 最大,只须2axb0,抛物线的顶点.因此,抛物线在顶点处的曲率最大,最大曲率为
K|2a| .对应的点为null 2.若曲线由参数方程给出,那么曲率如何计算? 1.直线上任一点的曲率等于什么?讨论: 提示:设直线方程为y=ax+b,则y =a, y = 0.于是 提示:三、曲率圆与曲率半径三、曲率圆与曲率半径 曲线在点M处的曲率K(K 0)与曲线在点M处的曲率半径 r
有如下关系:曲线在M点的曲率中心M y=f(x)D r曲线在M点的曲率半径曲线在M点的曲率圆 例3 设工件表面的截线为抛物线y0.4x 2.现在要用砂轮
磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适? 例3 设工件表面的截线为抛物线y0.4x 2.现在要用砂轮
磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适? 例3 设工件表面的截线为抛物线y0.4x 2.现在要用砂轮
磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适? 解 砂轮的半径不应大于抛物线顶点处的曲率半径. 例3 设工件表面的截线为抛物线y0.4x 2.现在要用砂轮
磨削其内表面.问用直径多大的砂轮才比较合适?y0.8x ,y0.8,
y|x00,y|x00.8.抛物线顶点处的曲率半径为所以选用砂轮的半径不得超过1.25单位长,即直径不得超过
2.50单位长.0.8.把它们代入曲率公式,得