函 数 的 最 值
河 北 张静
在 高 中数 学 中 求 函 数 的最 值 或 值 域 是 一 个 重 点
内容 ，由 于 它 没 有 固定 的 模 式 ，方 法 灵 活 多 样 ，所 以 也
是一 个难 点 内容 ．求最值 的常见 方 法有 ：直接 法 、配 方
法 、反 函 数 法 、换 元 法 、单 调 性 、求 导 法 、数 形 结 合 法
等．其 中数形结 合 是 解 决 数 学 问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的 常用 方 法 ，它 一
方 面体现 了数 的严 谨性 ，另 一方 面 又体 现 出形 的直 观
性 ，而恰 当 的利 用 一 些 代 数 式 的几 何 意 义 ，对 求 解 函
数 的最 值 可 以起 到事半 功倍 的作 用 ．下 面 通过 几 个 例
子作 简要 分析 ．
平 面 上 任 意 2点 A(Xl，y1)，B(x2，Y2)，则 AB 两
点 间 的距离 I AB I===~／(z 一 z) + (Y 一 z) ，和 这个
形 式类 似 的代数 式都 可 理 解 为 平 面上 任 意 两 点 问 的
距 离 ．
已知 实数 z，Y满 足 3x一4y+4—0．求 函
数 一 (z+3) -k(Y一5) + ~／(z一2)。+ ( 一15)
的 最 小 值 ．
‘ 分析 ~／(z+3) +( 一5) + (z一2) +( 一15)
可 理解 为 直 线 3-z一4y十 4—0上 一 点 (X，Y)与 定 点
(一3，5)和 (2，15)的距 离 的和 ．本 题 转 化 为 在 直 线 z：
3x一4y+4—0上 找一 点 P，使得 P到定 点 A(一3，5)
和 B(2，15)的 距 离 和 最 小 ．
解 设 A(一 3，5)关 于 直 线 l：3x一 4y-t一4— 0 的
对称 点为 A ，则 A (3，一3)，则 I A B 1，即为 z取 到 的
最小 值．
⋯
一 lA Bl一 ～ 二 T雨 丁一5～伍
平 面上 2点 A(xl，y1)，B( 2，yz)，则 直 线 AB 的
斜率忌一 三 ．和这个形式类似的代数式都可理解
为 由平 面 上 2点 所 确 定 的 直 线 的斜 率 ．
例 2 实 数 ，．)，满 足 不 等 式 三三 。，
l 2x--y--2≥o，
非常道
求 一 的取值 范 围．
分 析 的几 何 特征 和丝二 类似 ，它 可 以
表
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示 可行 域 内 的动点 ( ， )与 定点 P(一 1，2)两 点所 确
定 直线 的斜 率 ．
解 设 直 线 2x—Y一 2—0与 轴 交 点 为 A，则
kPA一一 1，直线 过 P点 且 与 z—Y一 0平 行 时 ，达 到斜
率 另一 边 界值 ，此 时 ， 一1，所 以 m∈[一I，1)．
例 3 求 函数 =：—sin 0--1
CO S
的值域 ． j 例 求 函数 =： 的值域 ．
— —
解 设 z— cos0，Y— sin0，则 点 (cos0，sin0)可 看 作
单位 圆 ．272+ 。一 1上 的动 点 ，z一 可 理解 为 单
位 圆上一 动 点 ( ， )与定 点 P(2，1)所 确定 直线 的斜
率．数 形结 合 ：相 切 时 。斜 率 可 取 最 大 和 最 小 值 ，值 域
为l 0，÷ 1．
直线 的 斜 截式 方 为 ： —kx+b，有 时 可将 一 些
函数值 看 作直 线 的纵 截距 ，通 过数形 结 合 ，求 出最 值．
．一
誉 #例 4， 设 变 量 z，Y满 约 束 条 件 z+ ≥2，
r ≤ Lz，
I ≥3z一6，
求 函数 —2x+．y的最 小值．
解 作 出可行 域 (略)．
将 一2x+ 变 形 为 一 2x+ ，则 22可 看 作 斜
率 为 一2的直线的纵 截距．当此直线过直线 z—Y和 z+
= ==2交点时 ，纵截距最小．
． fZ—V， rz—l， 解方程组{x-~ y--2，解得{y=1
．
所 以 ==：2× 1+ 】===3．
，
一-．
#例 5 集 合 M ==={( 一， )f y=== + m)，N ==：
{(z， )l Y===~／9一 )．若 M n N 为 单 元 素 集 ，求 m
的取 值 范 围 ．
解 集 合 M 为 直线 y—z+m 上 点 的集 合 ，集 合
N 为 半 圆 z。+ ===9( ≥ O)上 点 的 集 合 ．M n N 为 单
元素 集 ，即直 线与 半 圆只有 一个 交 点．
数 形 结合 ，当直线 纵截 距 在[一3，3)之 间变 化 时 ，
有一个 交 点．又 当直线 与 圆相切 时 ，只有 一个 交 点．此
时 7 一 3 ．
综 上 ：一3≤ < 3或 m一3√2．
通 过 以上 几 个 例 子 ，不 难 发 现 ，灵 活 的运 用 一 些
代 数式 的几 何 意义 ，对求 解 函数 的最值 确 实 可 以起 到
化 难为 易 的作 用．在 学 习解 析 几 何 过 程 中 ，我们 要
善 于归 纳 和
总结
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此 类 方 法 ，以 提 高 解 题 的 准 确 性 和
速 度 ．
(作 者 单 位 ：河 北 丰 润 车 轴 山 中 学 )
打动人心的最高明的办法，是跟他谈论他最珍贵的事物．——戴尔 ·卡耐基 二
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