第二章等式与不等式《2.1.2一元二次方程的解集及其根与系数的关系》第2课时教学目标1.掌握一元二次方程根与系数的关系.2.灵活运用根与系数的关系解决一元二次方程问题.教学重难点教学重点:用根与系数的关系解题.教学难点:灵活运用根与系数的关系解决问题.课前准备
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.教学过程一、整体概述问题1:阅读课本第49~50页,回答下列问题:(1)本节将要研究哪类问题?(2)本节研究的起点是什么?目标是什么?师生活动:学生带着问题阅读课本,并在本节课中回答相应问题.预设的
答案
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:(1)本节将要研究一元二次方程的根与系数的关系.(2)起点是一元二次方程的解法及求根公式,目标是会求解一元二次方程的两根和与两根积,并灵活运用根与系数的关系解决问题.提升数学运算素养.设计意图:通过阅读读本,让学生明晰本阶段的学习目标,初步搭建学习内容的框架.二、探索新知1.情境与问题学完一元二次方程的解集后,我就听到了咱班的小奕和小涵的一段悄悄话,内容如下:小奕:小涵,我发现了一个秘密!小涵:什么秘密?小奕:你知道咱们尊敬的刘老师的年龄吗?小涵:不知道哎!小奕:呵呵,这绝对是个秘密,我不能直接告诉你,我这么说吧:她的年龄是一元二次方程x2-13x+36=0的两根的积,回去你把两根求出来就知道了.小涵:咳,这你可难不住我,我不用求根就已经知道答案了,而且我还告诉你,刘老师的年龄是方程x2-36x-40=0的两根的和呢.小奕:哈哈,你太有才了.对了,咱们应该也让同学们猜一猜,不解方程,能不能求出刘老师的年龄.设计意图:创设一个情境,激发学生学习数学的兴趣.2.探究新知知识点1一元二次方程根与系数的关系问题:一元二次方程若有实数根,它的根是两个吗?这两根的和与积有什么特殊性吗?师生活动:与学生一起回顾:前面我们已经知道,一元二次方程的解集情形:(1)当时,方程的解集为;(2)当时,方程的解集为;(3)当时,方程的解集为.当时,方程有两个实数根(当Δ=0时,x1=x2,按照初中的习惯,我们仍称方程有两个相等的实数根),计算可得:这两个实数根的和与积分别为、.(1)用语言叙述为:一元二次方程的解集不空时,两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数;两根之积为常数项与二次项系数之比.(2)的两根是,用式子
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示为:,这个结论通常称为一元二次方程根与系数的关系.【数学文化】法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系,提出了这条定理. 由于韦达最早发现代数方程的根与系数之间有这种关系,人们把这个关系称为韦达定理.设计意图:在已有公式法解一元二次方程的知识的基础上,可以最快速度说出的值,进而计算和,得出根与系数关系的结论.同时让学生体会数学知识的一些结论是在计算的过程中产生的,数学中的一些结论并不是高不可攀的.三、初步应用例1已知一元二次方程2x2+3x-4=0的两根为x1与x2,求下列各式的值:(1)x12+x22;(2)|x1-x2|.问题:是否要求出x1和x2,并由此给出上述(1)和(2)的答案?师生活动:学生思考后回答:可以先求出x1和x2,并计算(1)和(2)中代数式的值,也可利用根与系数的关系求解,教师写出规范解答:由一元二次方程根与系数的关系,得,.(1)由上有.(2)因为.所以.设计意图:加深对一元二次方程根与系数关系的理解,培养学生的应用意识和能力,渗透整体代入思想.例2已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根x1,x2.若,试求m的值.师生活动:与学生一起分析,教师书写规范解题过程.预设的答案:解:由题知.解得m>-1且m≠0.因为,.所以,解得m=2或m=-1.又因为m>-1,所以m=2.设计意图:加深对一元二次方程根与系数关系的理解,培养学生的应用意识和能力,渗透整体代入思想.例3已知方程x2+tx+1=0,根据下列条件,分别求出t的取值范围.(1)两个根都大于0;(2)两个根都小于0;师生活动:与学生一起分析,教师书写规范解题过程.预设的答案:解:设方程x2+tx+1=0的两个根为x1,x2.(1)由题意得,解得t≤-2.所以t的取值范围为(-∞,-2].(2),解得t≥2. 所以t的取值范围为[2,+∞).【想一想】是否存在t,使方程x2+tx+1=0一个根大于0,另一个根小于0.师生活动:由前面知道:若有解,两根积为1是正数,所以不可能两根异号的,即不存在实数t使得方程的一个根大于0,另一个根小于0.设计意图:利用一元二次方程根与系数的关系,讨论方程两根符号问题,或由两根符号求参数值或参数的范围.培养学生的应用意识和能力,渗透整体代入思想.练习:1.已知x1,x2是一元二次方程的两个实数根,求的值.2.已知关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2.(1)求实数k的取值范围;(2)若x1,x2满足x12+x22=16+x1x2,求实数k的值.师生活动:学生独立完成,教师巡视学生的解题过程.预设的答案:1.根据一元二次方程根与系数的关系可知.所以.2.(1)关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,Δ=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5≥0.解得,实数k的取值范围为.(2)关于x的方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有两个实数根x1,x2,x1+x2=1-2k,x1x2=k2-1.∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16+x1x2.∴(1-2k)2-2(k2-1)=16+(k2-1),即k2-4k-12=0.解得k=-2或k=6(不符合题意,舍去).所以实数k的值为-2.设计意图:加深对一元二次方程根与系数关系的理解,培养学生的分析问题和解决问题的能力.四、归纳小结,布置作业1.板书设计:2.1.2一元二次方程根与系数的关系1.一元二次方程根与系数的关系例1例2例32.总结概括:回顾本节课,你有什么收获?(1)一元二次方程根与系数的关系是什么?(2)一元二次方程根与系数的关系使用条件是什么?师生活动:学生总结,老师适当补充.作业:教科书P51练习B2、3