温差电动势公式的理论推导

第28卷 第L期 西 安 建 筑 科 技 大 学 学 报 V。1．28 N。．1 1996~ 3Yl J．Xi’an Univ．of Arch．＆ Tech． M 1996 梁 斌 0 ’ (西北电业职工大学基础课部，西安，?10054I男，48岁，讲师) ^ 摘 要 根据杜隆一珀替实验定律对传统的盒属 自由电子气模型予以修正 ，导出温差不太大条 『u 件下的线性电阻温差电动势公式． 关蕾词 遥差兰苎兰；金属自由电子气-杜堡 中田分娄号 O441．6 Demonstration on the form ula of the thermo·——electromotive force Liang Bin (Dept．of Basis Courses。Univ．ofNorthwest Power W orkers，Xi’an，710054) Abstract According to the free--election theory in metal and the Dulong--Petlt’s law ·this article proves the formula of the thermo——electromotive force．The formula is appllcable to linear electric resistance while the difference in temperature isn’t very great． Key words thermo--electromotive fo~c*t the free--election，Dnlong--Petit’5 law，alloy 1821年，德国人塞贝克(T·J·Seeberk)发现，两种金属连成的匣路的两个接头处温度不 同时，回路中有电流。这种现象史称塞贝克效应。实验表明，产生这种温差电流的电动势可以 表示为两个接头温度差的幂级数，叫作温差电动势。在温差不太大时，可取级数前两项 ，把温 差电动势写作[1]； ’ 1 E一Ⅱ( 2一T1)+÷b(Tz—T1) (1) ‘ 式中 是参比端温度， 是测量端温度，实验常数n和6与金属种类有关，也与温度 有 荧 ]。对于给定的参比温度 ，令 △ —T：一 -足够小，可略去二次项。测出此时的电动势 e，就确定了常数a。然后，对于同样的温度值T ，重新给出较大的温度 ，并测出相应的电动 势 e，就可确定常数 b。 ‘ (1)式是热工测温技术的主要原理之一。以往 ，曾有人从热力学理论出发，形式地推出 过(1)武 ，但未给出常数 a和 b的表示式，不能说明a和 b为何与金属种类及参比温度 ．有 收稿 日期 。1995—06-18 维普资讯 http://www.cqvip.com 96 西 安 建 筑 科 技 大 学 学 报 第28卷 关，也不能算出电动势 e的理论值“]。 有 一种 比较 流 行的 观点 ，认 为温 差 电动 势是 帕 耳贴 (Peltier)电动 势 与汤 姆 逊 (Thomson)电动势的和。可是，帕耳贴效应是电流通过不同金属接触处时出现的升温或降 温现象，通常被认为是塞贝克效应的逆效应。汤姆逊效应是电流通过金属上的温度梯度场时 出现的吸热和放热现象，就其主要方面来说，也是一种电流的热效应。再者，按照上述观点， 温差电动势服从所谓“中间温度定律 ，即 E(Ta，T1)一 ￡(丁3，T2)+ E(Tz，T1) 但是，(1)式并不服从“中间温度定律 。 下面，根据杜隆一珀替(Dulong--Petit)固体比热实验定律对传统的金属 自由电子气模 型予以修正 ，导出温差电动势公式(1)式 如图1所示，一段均匀金属导线 OA两端的温 度分别为 丁 和 丁：，T。<丁：。按照金属 自由电子气 模型，温度为 丁的 处 自由电子气压强 P 一 丁 (2) 图 l 一 段均匀金属导线 由于 自由电子数密度 n与温度无关 ，图中 — + ‘ d 的自由电子气薄层两边压强差，即薄廖单位面积所受合力为 dp = d丁 每个 自由电子平均受力为 ，：一韭 一一 d—T (4) 一 dx 一 dz ⋯ 相应的 自由电子定向运动加速度为 一 一 生 (5) m d 负号表示加速度与温度增加方向相反。 上述 自由电子定向运动加速度的产生可解释如下。按照杜隆一珀替定律，除非温度极低 (≤5K)，自由电子气对金属的热容没有贡献。量子统计理论也已证明，常温下自由电子气的 热容远小于金属中原子实的热容，可以忽略不计0 。据此可以认为，金属温度在不太低的温 度范围内变化时，热运动状态变化的不是 自由电子气 ，而是组成金属晶格的原子实。在图1 中，从0到^，金属温度逐渐升高。 处的自由电子气薄层两边，右边原子实的热振动比左边 的剧烈。电子气薄层中的自由电子受到右边原子实的碰撞比左边的强，从而形成了定 向压强 差 dp，使 自由电子发生定向运动。显然，自由电子的这种定向运动不是连续的，而是间歇的。 就是说，在与第一个原子实碰撞后，自由电子在热运动上迭加了一个定向运动；在与第二个 原子实碰撞后，自由电子把携带的定向运动能量全部传给了第二个原子实。由于自由电子定 向运动的方向(图1)是从温度高处到温度低处，故作定向运动的大量自由电子通过与原子实 的碰撞，把温度较高处的原子实热振动能量传给了温度较低处的原子实 ，而 自由电子气的热 运动能量保持不变“]。顺便指出，金属中的大量自由电子在外加静电场作用下作定向运动时 (图2)，由于 自由电子与原子实的碰撞，同样可将导体一端原子实的热振动能量传到另一端 去。若金属中同时存在温度梯度(图2)，在 C处给金属棒加热 ，就会出现 B端吸热 ，^ 端放热 的现象，这就是汤姆逊效应。同理，两种金属连成回路时，由于不同金属的热容不同，自由电 维普资讯 http://www.cqvip.com 第1期 粱 斌 温差 电动势公式的理论推导 97 子数密度不同，就会出现一个接头升温，另一个接头降温的现象 ，这就是帕耳贴效应。 可见 ，以杜隆一珀替定律为前提，承认金属中的自由 电子气热运动状态不随金属温度变化，就可以对塞贝克 效应以及汤姆逊效应 、帕耳贴效 应作 出明确的台理解释 。 由上述可知 ，在图1中，若认为温度升高时，自由电子 与原子实接连两次碰撞的平均间隔时间缩短，则缩短的 图2 汤姆进效应 原因显然是原子实热振动随温度升高而加剧了 。从微观意义上说 ，电阻就是作热振动的原 子实对自由电子定向运动的阻碍。所以，若以r r )表示接连两次碰撞之间的自由电子运 动时间，则可假设，金属温度由 增加到 +d 时，r的相应增量 dr一 一 } 订T (6) 其中，a是线性电阻率 P— [-1+ a(T—T。)] (7) 中的温度 系数，}是一个待定的比例系数，而 T。一273．15K。积分(6)式，得 r一 e一 。f_ 一 (8) ro是 T=T。时的 r值。 按照气体分子运动论，采用弹性刚球模型，可以证明自由电子与原子实的平均碰撞率 为 Z ；~rd2nV，这里，d是原子半径， 是 自由电子热运动平均速度。但是，原子实并不是弹 性刚球，自由电子与原子实碰撞时，实际上是和原子实的外层电子相碰撞，故上式应修正为 一 ／ 耐： 矿 (9) 上式是 自由电子与原子实碰撞 的平均碰撞率0]。金属中的自由电子热运动状态不随金属温 度变化，则 自由电子热运动平均速度 不随金属温度变化。据此 ，可令 V — V口 而得 一 1一志 以上两式意味着 T—T。时的原子实热振动状态是(8)式的参考态。 由(5)式和(8)式得 自由电子定向运动的平均速率 电流密度 (1O) (11) 一 1 dT “ 一 一 一 一 一 ken dT (12) ，一 一 “一 ‘lz 上式中的 r由(8)式表示 。另一方面，有 j一 = (己 +巨) 其中， 一 为金属电导率，巨为非静电场强， 为静电场场强。由上式得 r 豆 一p了一面， (13) 图3所示为两种金属 A和 B连成的温差热电偶回路。沿此回路对(13)式作环积分 ，注意 到 面 ． 一0，得温差电动势 维普资讯 http://www.cqvip.com 98 西 安 建 筑 科 技 大 学 学 报 第28卷 e一 m = {嚣 [ + (T--To)]e a丁 一 ,Ooa [1十 T-- T o)]e％(r-r*)dT} 式中 一詈 =2．66X 10-~a(V,m眦 利用公式 ‘ (rr< t) 圈3 热电偶 e一 +z+着+葑+-．· 将积分内的因子 e-~a(T TO 展开，略去温度系数 的高次项，积分得 e= (筹一P oB'1 c丁：一丁。 +吉 ( 一 一To)。 ， 下面确定常数 }，令 可见，电导率 所 以 由(8)式及(7)式得 ． 一 nr nr— J “一 i 。 2 一 ln ro= ln 一 ln卫 r ln卫 兰 Ⅲ 对于多数常见金属，}的值在0．94～0．96范围内。为简便起见，取 e (14)式写成(1)式的形式： e= 口(丁2一 )+ I b(T 一 To)。 式中 一嚣) ( 一 卜 0．95。这样，就可将 (16) (16)式就是温差电动势公式 由于在推导上式的过程中应用了线性 电阻率 (7)式，并且 略去了温度系数的高次项，上式旯适用于温差不太大的线性电阻 在应用(16)式计算两种纯金属(非台金)连成的热电偶电动势时，应当考虑金属中原子 核外电子云的相互重叠。由于这种重叠，实验测得的金属块中的原子半径小于单个原子的半 径；而(16)式中的原子半径是单个原子半径。这种差异也可以理解为；由于金属块中原子核 外电子云的相互重叠，使本来不满的价电子带受到填充[ ，增加了自由电子与原子实碰撞的 机会，相当于增大了金属块中原子的半径。从对理论值和实验值的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 看，计算两种金属连 成的热电偶电动势时，(16)式中的 d 一 ／2 d5，d。是金属块中原子半径的测量数据。表1中是 两种线性电阻金属连成的热电偶温差电动势的实验值和理论值，二者基本相符。表1和表2中 计算理论值所需数据见文献E23，实验值见文献[6]。 维普资讯 http://www.cqvip.com 第1期 粱 斌 ：温差 电动势公式的理论推 导 99 丧 l 线性电阻盎■热电桶的电动势(ⅢV) 若热电偶回路有合金，则将组分金属原子半径的加权平均值作为该合金的等效原子半 径，权重就是各姐分金属的百分比。其次，由于过渡族金属镲 、铁、铬、镑 、铂的主要特征是价 电子带的 d壳层本来不满0]．因此，含有这些过渡族金属的合金中原子核外电子云的重叠程 度更大，(16)式中的d 一 3 dj，d 是根据实验数据得到的合金的等效原子半径。袭2中是几 种国际上广泛应用的 ，也是我国国家标准热电偶的电动势 ，理论值与实验值基车相符。表2中 的几种合金的成分是：铂镑合金，铂87 ，锗13 ；镍铝合金，镍95 ，铝(硅、锰)5 ；镍铬合 金，镍90 ，铬10 {康铜 ，镍40 ，铜6o 。 丧2 标准热电偶的叠差电动势(mV) 注 ：参 比蔼 厦 Io'c 温差电动势对于金属与合金的成分、结构，特别是杂质和缺陷非常敏感，而且，与温度的 关系多为非线性关系。所以，用少数几个参数给出完全普适的理论公式是非常困难的。但是， 不论怎样，根据杜隆一珀替定律改造传统的金属 自由电子气理论，使之更加合理，确实是必 要的。 参 考 文 献 l 粱百先．电磁学教程( 上册 三年级上册必备古诗语文八年级上册教案下载人教社三年级上册数学 pdf四年级上册口算下载三年级数学教材上册pdf )．北京：高等教育出版社，1983．278~286 2 [日]饭田修一著．曲长芝译．钧理学常用数表(第2版)．北京 科学出版社．1987．38~220 3 王竹溪．统计物理学导论(第2舨)．jE京 人民教育出版社，1965．78～299 4 严济慈．电磁学．北京；高等教育出版杜，1989．192 5 目前．金属物理性艟．北京；国防工业出版社，1988．33~78 6 何适生．热工测量．北京 t术利 电力出版杜 ．1980．42~63 维普资讯 http://www.cqvip.com