2007年福建省三明市初中毕业生学业考试 有关一次函数和反比例函数综合题 在历年中考
试题
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中一次函数和反比例函数常以综合题形式出现，这类试题不仅能考查两个函数的基本性质，而且能考查同学们综合分析问题的能力。现以2006年的中考题为例，浅谈这类问题的解法，供参考。 一. 探求同一坐标系下的图象 例1. （2006年韶关市中考题）已知函数 与 在同一直角坐标系中的图象大致如图1，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 分析：由图知，一次函数 中，y随x的增大而增大，所以 ；反比例函数 在第二、四象限，所以 。观察各选项知，应选B。 评注：本题要由所给图象结合一次函数和反比例函数的性质，方能作出正确选择。 例2. （2006年贵港市中考题）在同一直角坐标系中，函数 与 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 图2 分析：本题可采用排除法。由选项A、B的一次函数图象知， 即 ，则一次函数 图象与y轴交点应在y轴负半轴，而选项A、B都不符合要求，故都排除；由选项D的一次图象知， 即 ，则反比例函数 图象应在第一、三象限，而选项D不符合要求，故也排除；所以本题应选C。 评注：本题把一次函数和反比例函数的图象在同一坐标系中给出，有较强的综合性，解决这类问题常用排除法。 二. 探求函数解析式 例3. （2006年广东省中考题）如图3，直线 与双曲线 只有一个交点A（1，2），且与x轴，y轴分别交于B，C两点，AD垂直平分OB，垂足为D，求直线与双曲线的解析式。 析解：因为双曲线 过点A（1，2）， 所以 得双曲线的解析式为 。 因为AD垂直平分OB，A点的坐标为（1，2）。所以B点的坐标为（2，0）。 因为 过点A（1，2）和B（2，0）， 所以 解得 所以直线的解析式为 评注：解决本题的关键是确定点B的坐标，由AD垂直OB知，点D和点A的横坐标应相同，所以点D的坐标为（1，0），又AD平分OB知， ，所以点B坐标为（2，0），进而求出一次函数解析式。 三. 探求三角形面积 例4. （2006年菏泽市中考题）如图4，反比例函数 的图象与直线 的交点为A，B，过点A作y轴的平行线与过点B作x轴的平行线相交于点C，则 的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 析解：把 代入 ，得 整理得 解得 把 分别代入 ， 得 所以点A的坐标为 点B的坐标为 由题意知，点C的横坐标与点A的横坐标相同，点C的纵坐标与点B的纵坐标相同，所以点C的坐标为（ ）。 因为 ， 所以 的面积为 故应选A。 例5. （2006年武汉市中考题）如图5，已知点A是一次函数 的图象与反比例函数 的图象在第一象限内的交点，点B在x轴的负半轴上，且OA=OB，那么 的面积为（ ） A. 2 B. C. D. 析解：把 代入 ，得 ， 整理得 ，解得 得 分别代入 得 又点A在第一象限内，所以点A的坐标为 在 中 由勾股定理，得 所以OB=2。 所以 的面积为 ， 故应选（C） 评注：例4和例5中都利用解方程来求出两函数图象的交点坐标，这是求两函数图象交点坐标的常用方法，蕴含着转化思想。 四. 探求点的坐标 例6. （2006年咸宁市中考题）如图6，直线 分别交x轴、y轴于点A，C，点P是直线AC与双曲线 在第一象限内的交点， 轴，垂足为点B， 的面积为4。 （1）求点P的坐标；（2）略。 析解：在 中，令 ，则 ；令 ，则 。 所以点A的坐标为（-2，0），点C的坐标为（0，1）。 因为点P的直线 上， 不妨设点P的坐标为 所以 。 又因为 所以 整理得 即 解得 因为点P在第一象限，所以 。 故点P的坐标为（2，2）。 评注：本题的解答过程蕴含着设元思想、方程思想和转换思想。 （初三）
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