喀兴林高等量子力学习题EX2.算符

EX2.算符2.1 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 下列常用 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 （玉辉解答项鹏核对）（1）[A,BC]B[A,C][A,B]C证明：[A,BC]ABCBCABACBCAABCBACB[ACCA][ABBA]CB[A,C][A,B]C2）[AB,C]A[B,C][A,C]B证明：[AB,C]ABCCABABCACBACBCABA[BCCB][ACCA]BA[B,C][A,C]B2.2若算符B与[A,B]对易，证明：（玉辉解答项鹏核对）[A,Bn]nBn1[A,B]证明：[A,Bn][A,BBn1][A,B]Bn1B[A,Bn1]将n换成（n-1）,就有[A,Bn1][A,B]Bn2B[A,Bn2][A,Bn][A,B]Bn1[A,B]Bn1B2[A,Bn2]2[A,B]Bn1B2[A,Bn2]重复这种递推过程（n-1）次，即得[A,Bn](n1)[A,B]Bn1Bn1[A,Bn(n1)]n1n1(n1)[A,B]Bn1Bn1[A,B]nBn1[A,B]#练习2.3证明：(输入人：杜花伟核对人：王俊美)1)若A有逆，a≠0，则aA也有逆，且(aA)11aA1；a2)若A,B都有逆，则AB也有逆，且(AB)1B1A1；3)(AB)1A1{1B(AB)1}；4)1(AB)11112111A1A1BA12A1BA1BA1.(为复数);证明：(1)若A有逆，a≠0，满足AA11,aa11，则aAa1A1aa1AA11所以aA有逆,且(aA)11A1.a(2)若A,B都有逆,满足AA11,BB11,则ABB1A1AA11所以AB有逆,且(AB)1B1A1.(3)1(AB)1A1A(AB)1A1{A(AB)1}11A1{(ABB)(AB)1}A1{(AB)(AB)1B(AB)1}11A1{1B(AB)1}(4)由于(1)1(x极小,即x→0时)展为级数:1(1)1123(AB)11[A(1BA1)]1故(A1(1BA1)11211A1(1BA12BA1BA11112111A1A1BA12A1BA1BA1#2.4若线性算符A有逆，｛|μ＞｝（i=1,2,3,⋯，n）是A的有限维的定义域的中的一组完全集。证明在A的值域中｛A|μ＞｝也是一组完全集，从而证明值域的维数与定义域相同。证明：已知A为可逆算符得AA1A1A1｛|μ＞｝（i=1,2,3,⋯，n）是A的有限维的定义域中的一组完全集A|Ψ＞=|μ＞定义域|μ＞为n维的假设值域|Ψ＞不是一组完全集，那么值域中的每一个|Ψ＞在定义域中有且只有一个|μ＞所以的|Ψ＞为数肯定小于n。又因为A算符是可逆的，所以得A-1|Ψ＞=|μ＞定义域|Ψ＞维数小于n的那么不论|μ＞是否为完全集都应该小于或等于n维的。这样的话|μ＞的维数与题目相矛盾由此得之A的值域中｛A|μ＞｝也是一组完全集，而值域的维数与定义域相同练习2.5有逆算符A的定义域是有限维的，若已知AB1,证明BA1证明：（何建贤解答项朋核对）已知A是可逆算符，所以AA11和A1A1又因为AB1，即ABAA1两边同时右乘得ABAAA1A两边同时左乘A得A1ABAA1AA1A所以得：AB1#练习2.6证明任何线性算符作用于零矢量上，必得零矢量。证明：（高召习解答孟祥海核对）设A为任意线性算符，由线性算符的性质得：A(|)(A|)令0，由于||，0|0所以A|0(A|)令A||，所以A|0|00|0#练习2.7（2.7）式与（2.8）式还各有一个用B,Ai型多重对易式表示的式子，试把它们求出来。（高召习解答孟祥海核对）解：（1）由于[B,A(0)]B[B,A(1)][B,A][B,A(2)][[B,A],A]LLLLLL显然，对于[B,A(1)]型多重对易式有[[B,A(i)],A][B,A(i1)][B,A(1)]AA[B,A(1)][B,A(i1)]即[B,A(1)]A[B,A(i1)]A[B,A(1)](2)由于（1）2）[A(i),B][B,A(i)]nnnn!且AnBn[A(i),B]An1n![A(i),B]An1i1ii1(ni)!i!把(1)代入(2)得nn(i)n1n!(i)n1AnB[B,A(i)]An1[B,A(i)]An1i1ii1(ni)!i!#练习2.8试用数学归纳法证明：（玉辉解答项鹏核对）n[A,Bn]Bn1[A,B]Bi1i1证明：用数学归纳法，当n=1时原式成为[A,B][A,B]原式显然成立；现设原式对n成立，推出它对n+1也成立：[A,Bn1][A,BBn]B[A,Bn][A,B]BnnBBn1[A,B]Bi1[A,B]Bni1nB(n1)1[A,B]Bi1B(n1)(n1)[A,B]B(n1)1i1n1B(n1)1[A,B]Bi1i1这就证明了原式对n+1也成立，所以nnn1i1[A,Bn]Bn1[A,B]Bi1i1#2.92.10若算符A有逆，证明A的伴算符也有逆，而且11AA1证明：取一任意1ABAB可见对于任意，确有存在，这个就是B。若A1A2,用C作用在此式两边CA1CA21但此式就是12，所以A1存在，因此A的伴算符也有逆又因A有逆，即AA11则AA1A1A由于则A1A111又因A有逆，所以A1A1#2.11伴算符的定义式（2.24）或BB可否改成对任意有：BB？（许中平核对：田军龙）证明：取一任意，都有BB式中的B是右矢空间的算符，此式右边的B的右矢与左矢B的积，单用右矢空间的话说，就是右矢与右矢B的积，在单一空间中，此式正是伴算符B的定义式，写成单一空间的形式就是：,BB,因此，BB可改成对任意有：BB#练习2.12本节提到的由A0断定A0的定理对于实空间（即数乘中的数是实数）是不成立的。试在三维位行空间（积定义为标量积xy）中举出一个反例，证明此定理对实空间不成立。（邱鸿广解答田军龙审核）证明：在实空间中只要算符A为一个把矢量逆时针旋转90度的变换矩阵。则当它作用到任何一个位行空间矢量上后再与原来的矢量点积都为零。但A不为零。所以不成立。010例:A100001#2.13证明：若A,B是厄米算符，则当且仅当A,B对易时，算符AB才是厄米算符。（泽超解答董廷旭核对）证明：充分性：A,B对易，则BAAB;A,B为厄米算符，则AA,BB现任取一，则：ABBABAAB即：AB是实数。即：AB是厄米算符。必要性：A,B为厄米算符，则AA,BB；AB为厄米算符：则ABABBA现任取一，BAAB则：ABABABBA0即：算符A与B对易。2.14证明，有逆的等距算符是幺正算符。（泽超解答董廷旭核对）证明:设算符A是等距算符，则:AA1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(1)由题意知算符A有逆，则：A1A1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯...(2)用A右乘式(1)得：AA1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯(3)由（3）式得A为幺正算符练习2.15设H是厄米算符，U是幺正算符，A是任意算符，问下列算符是厄米的还是幺正的？（孟祥海解答高召习核对）1)UHU1，（2）AHA，（3）iHe，4）1iH，1iH，5)iU1U1证明：1）先证:UHU1是否为厄米算符，对任意矢量有：1|UHU1|U|H|U|H|U|UHU|1|UHU1|即得证。再证：UHU1是否为幺正算符，由上可知，（UHU）UHU则(UHU)UHUUHHU只有当HH1时上式才为1，即只有当H1时UHU1为幺正算符。2）厄米性的证明：|AHA|A|H|AA|H|A|AHA|即得证。幺正性的证明：由（1）中幺正性的证明（一般性与特殊性的关系）可知，AHA亦不是幺正的。3）公式：23iHiHH2H3e1i1!2!3!厄米性的证明：|eiH||i|H|由于|H|为实数，所以i|H|为复数可见eiH为非厄米算符。幺正性的证明：iHiH|(eiH)eiH|iHH2H3iHH2H3(1i)|(1i)1!2!3!1!2!3!即（eiH）eiH1，可见eiH为幺正的4）厄米性的证明：1iH|1iH||(1iH)(1iH)1||(2iH11iH)(1iH)1||iH(1iH)11||(1iH)(1|iH(1iH)1||1iH)1|由于|是任意选取的，所以|取复数可得，11iiHH为非厄米的。幺正性的证明：由练习2.3（4）的公式得，(1iH)11iHHiHH1所以，|(iiHH)(11iHiH)||(1iH)(1iH)|2||H2|即1iH为非幺正算符。1iH5）厄米性的证明：U1若iUU11为厄米算符，则|(iU1)|U1U1iU1|U1U1i|UU11|U1U1|U1U1不是实数。U1U1也就是说，|(iUU11)|是i的实数倍。可得|(iUU11)|U1即iU1为非厄米算符。U1幺正性的证明：U1设iUU11为幺正算符，则U1U1|(iUU11)(iUU11)|iU1|(iU1)U1U1U1U1|()U1U1|即UU111U1即U1U1。这是不可能的，所以iUU11为非幺正算符。练习2.16设T为任意线性算符，证明下列二算符：121(TT),T21(TT)2i是厄米的；证明算符T按厄米算符的分解：TT1iT2,TT1iT2是唯一的，即证明若另有厄米算符S1和S2满足TS1iS2时，必有S1=T1,S2=T2.熊凯解答中亮核对)证明：1)厄米性T112(T21i(TT)T)1=12(TT)=T11(TT2i2)算符T按厄米算符的分解：1TT1iT2(TT1221TT1iT2(TT)2i(T)T)2i(T)T假设上述分解不唯一，则存在有厄米算符S1和S2满足TS1iS2，此时S1≠T1,11T2而TS1iS2，TS1iS2，则得S12(TT)T1，S22i(TT)这与假设矛盾，所以上述分解是唯一的。练习2.17算符的伴算符是什么？项朋解答玉辉核对)解：把算符写成矩阵形式：的伴算符为11121n1n1练习2.18证明当i2n2**12j时，PiPj0。（项朋解答玉辉核对）证：在空间中取一组基矢i，则投影算符Pi，Pj为，习题2.19设P是空间中投向某一子空间的投影算符，1单位算符。证明算(1np)1p22Cnp3331)Cnpn1n1n1(1)Cnpnnn(1)Cnp由p的幂等性得：n(1p)1pnp2Cnp331)Cnpn1)nCnp(nn1)CnpviviCnvivi3(1)3Cnvivi1)vivi1)Cnvivi符1P：（1）是幂等的；（2）是投向这个子空间的补空间的投影算符。证明：1）、p1vivi1p1P是幂等的；2）、由基矢的完全性关系得：则：其补空间的投影算符为：vivivivi1vivi1pi∴1P是这个子空间的不补空间的投影算符。习题2.20解：投影算符有逆算符。①、pvivii∵是一个投影矢量∴总能找到一个投影该矢量②、设p1p2由投影算符对空间任何矢量p得：p11p又由设p12得：投影算符有逆算符吗？为什么？（田军龙解答的原矢量；的作用是：由①②得对于每一个必有且只有一个投影算符有逆算符邱鸿广核对）