一元二次方程教案

转化为应用直接开平方法解形如2＝p的方程,那么mx＋n＝±eq\r

,达到降次转化之目的．若p＜0则方程无解．五、作业布置教材第16页复习巩固1.第2课时配方法的基本形式理解间接即通过变形运用开平方法降次解方程,并能熟练应用它解决一些具体问题．通过复习可直接化成x2＝p或2＝p的一元二次方程的解法,引入不能直接化成上面两种形式的一元二次方程的解题步骤．重点讲清直接降次有困难,如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解题步骤．难点将不可直接降次解方程化为可直接降次解方程的"化为"的转化方法与技巧．一、复习引入<学生活动>请同学们解下列方程：<1>3x2－1＝5　<2>42－9＝0　<3>4x2＋16x＋16＝9　<4>4x2＋16x＝－7老师点评：上面的方程都能化成x2＝p或2＝p的形式,那么可得x＝±eq\r

或mx＋n＝±eq\r

．如：4x2＋16x＋16＝<2x＋4>2,你能把4x2＋16x＝－7化成<2x＋4>2＝9吗？二、探索新知列出下面问题的方程并回答：<1>列出的经化简为一般形式的方程与刚才解题的方程有什么不同呢？<2>能否直接用上面前三个方程的解法呢？问题：要使一块矩形场地的长比宽多6m,并且面积为16m2,求场地的长和宽各是多少？<1>列出的经化简为一般形式的方程与前面讲的三道题不同之处是：前三个左边是含有x的完全平方式而后二个不具有此特征．<2>不能．既然不能直接降次解方程,那么,我们就应该设法把它转化为可直接降次解方程的方程,下面,我们就来讲如何转化：x2＋6x－16＝0移项→x2＋6x＝16两边加<6/2>2使左边配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6x＋32＝16＋9左边写成平方形式→2＝25降次→x＋3＝±5即x＋3＝5或x＋3＝－5解一次方程→x1＝2,x2＝－8可以验证：x1＝2,x2＝－8都是方程的根,但场地的宽不能是负值,所以场地的宽为2m,长为8m.像上面的解题方法,通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法,叫配方法．可以看出,配方法是为了降次,把一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解．例1用配方法解下列关于x的方程：<1>x2－8x＋1＝0　<2>x2－2x－eq\f<1,2>＝0分析：<1>显然方程的左边不是一个完全平方式,因此,要按前面的方法化为完全平方式；<2>同上．解：略．三、巩固练习教材第9页练习1,2.<1><2>．四、课堂小结本节课应掌握：左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程化为左边是含有x的完全平方形式,右边是非负数,可以直接降次解方程的方程．五、作业布置教材第17页复习巩固2,3.<1><2>．第3课时配方法的灵活运用了解配方法的概念,掌握运用配方法解一元二次方程的步骤．通过复习上一节课的解题方法,给出配方法的概念,然后运用配方法解决一些具体题目．重点讲清配方法的解题步骤．难点对于用配方法解二次项系数为1的一元二次方程,通常把常数项移到方程右边后,两边加上的常数是一次项系数一半的平方；对于二次项系数不为1的一元二次方程,要先化二次项系数为1,再用配方法求解．一、复习引入<学生活动>解下列方程：<1>x2－4x＋7＝0　<2>2x2－8x＋1＝0老师点评：我们上一节课,已经学习了如何解左边不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接开方降次解方程的转化问题,那么这两道题也可以用上面的方法进行解题．解：略．　<2>与<1>有何关联？二、探索新知讨论：配方法解一元二次方程的一般步骤：<1>先将已知方程化为一般形式；<2>化二次项系数为1；<3>常数项移到右边；<4>方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式；<5>变形为2＝q的形式,如果q≥0,方程的根是x＝－p±eq\r；如果q＜0,方程无实根．例1解下列方程：<1>2x2＋1＝3x　<2>3x2－6x＋4＝0　<3><1＋x>2＋2<1＋x>－4＝0分析：我们已经介绍了配方法,因此,我们解这些方程就可以用配方法来完成,即配一个含有x的完全平方式．解：略．三、巩固练习教材第9页练习2.<3><4><5><6>．四、课堂小结本节课应掌握：1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步骤．2．配方法是解一元二次方程的通法,它的重要性,不仅仅表现在一元二次方程的解法中,也可通过配方,利用非负数的性质判断代数式的正负性．在今后学习二次函数,到高中学习二次曲线时,还将经常用到．五、作业布置教材第17页复习巩固3.<3><4>．补充：<1>已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0,求x＋y＋z的值．<2>求证：无论x,y取任何实数,多项式x2＋y2－2x－4y＋16的值总是正数.公式法理解一元二次方程求根公式的推导过程,了解公式法的概念,会熟练应用公式法解一元二次方程．复习具体数字的一元二次方程配方法的解题过程,引入ax2＋bx＋c＝0的求根公式的推导,并应用公式法解一元二次方程．重点求根公式的推导和公式法的应用．难点一元二次方程求根公式的推导．一、复习引入1．前面我们学习过解一元二次方程的"直接开平方法",比如,方程<1>x2＝4　<2>2＝7提问1这种解法的<理论>依据是什么？提问2这种解法的局限性是什么？<只对那种"平方式等于非负数"的特殊二次方程有效,不能实施于一般形式的二次方程．>2．面对这种局限性,怎么办？<使用配方法,把一般形式的二次方程配方成能够"直接开平方"的形式．><学生活动>用配方法解方程2x2＋3＝7x<老师点评>略总结用配方法解一元二次方程的步骤<学生总结,老师点评>．<1>先将已知方程化为一般形式；<2>化二次项系数为1；<3>常数项移到右边；<4>方程两边都加上一次项系数的一半的平方,使左边配成一个完全平方式；<5>变形为2＝q的形式,如果q≥0,方程的根是x＝－p±eq\r；如果q＜0,方程无实根．二、探索新知用配方法解方程：<1>ax2－7x＋3＝0　<2>ax2＋bx＋3＝0如果这个一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0,你能否用上面配方法的步骤求出它们的两根,请同学独立完成下面这个问题．问题：已知ax2＋bx＋c＝0,试推导它的两个根x1＝eq\f<－b＋\r,2a>,x2＝eq\f<－b－\r,2a><这个方程一定有解吗？什么情况下有解？>分析：因为前面具体数字已做得很多,我们现在不妨把a,b,c也当成一个具体数字,根据上面的解题步骤就可以一直推下去．解：移项,得：ax2＋bx＝－c二次项系数化为1,得x2＋eq\fx＝－eq\f配方,得：x2＋eq\fx＋<eq\f>2＝－eq\f＋<eq\f>2即>2＝eq\f∵4a2>0,当b2－4ac≥0时,eq\f≥0∴>2＝<eq\f<\r,2a>>2直接开平方,得：x＋eq\f＝±eq\f<\r,2a>即x＝eq\f<－b±\r,2a>∴x1＝eq\f<－b＋\r,2a>,x2＝eq\f<－b－\r,2a>由上可知,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根由方程的系数a,b,c而定,因此：<1>解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c＝0,当b2－4ac≥0时,将a,b,c代入式子x＝eq\f<－b±\r,2a>就得到方程的根．<2>这个式子叫做一元二次方程的求根公式．<3>利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．公式的理解<4>由求根公式可知,一元二次方程最多有两个实数根．例1用公式法解下列方程：<1>2x2－x－1＝0　<2>x2＋1.5＝－3x<3>x2－eq\r<2>x＋eq\f<1,2>＝0　<4>4x2－3x＋2＝0分析：用公式法解一元二次方程,首先应把它化为一般形式,然后代入公式即可．补：<5><3x－5>＝0三、巩固练习教材第12页练习1.<1><3><5>或<2><4><6>．四、课堂小结本节课应掌握：<1>求根公式的概念及其推导过程；<2>公式法的概念；<3>应用公式法解一元二次方程的步骤：1>将所给的方程变成一般形式,注意移项要变号,尽量让a>0；2>找出系数a,b,c,注意各项的系数包括符号；3>计算b2－4ac,若结果为负数,方程无解；4>若结果为非负数,代入求根公式,算出结果．<4>初步了解一元二次方程根的情况．五、作业布置教材第17页习题4,5.因式分解法掌握用因式分解法解一元二次方程．通过复习用配方法、公式法解一元二次方程,体会和探寻用更简单的方法——因式分解法解一元二次方程,并应用因式分解法解决一些具体问题．重点用因式分解法解一元二次方程．难点让学生通过比较解一元二次方程的多种方法感悟用因式分解法使解题更简便．一、复习引入<学生活动>解下列方程：<1>2x2＋x＝0<用配方法>　<2>3x2＋6x＝0<用公式法>老师点评：<1>配方法将方程两边同除以2后,x前面的系数应为eq\f<1,2>,eq\f<1,2>的一半应为eq\f<1,4>,因此,应加上<eq\f<1,4>>2,同时减去<eq\f<1,4>>2.<2>直接用公式求解．二、探索新知<学生活动>请同学们口答下面各题．<老师提问><1>上面两个方程中有没有常数项？<2>等式左边的各项有没有共同因式？<学生先答,老师解答>上面两个方程中都没有常数项；左边都可以因式分解．因此,上面两个方程都可以写成：<1>x<2x＋1>＝0　<2>3x＝0因为两个因式乘积要等于0,至少其中一个因式要等于0,也就是<1>x＝0或2x＋1＝0,所以x1＝0,x2＝－eq\f<1,2>.<2>3x＝0或x＋2＝0,所以x1＝0,x2＝－2.<以上解法是如何实现降次的？>因此,我们可以发现,上述两个方程中,其解法都不是用开平方降次,而是先因式分解使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式,再使这两个一次式分别等于0,从而实现降次,这种解法叫做因式分解法．例1解方程：<1>10x－4.9x2＝0　<2>x＋x－2＝0　<3>5x2－2x－eq\f<1,4>＝x2－2x＋eq\f<3,4>　<4>2＝<3－2x>2思考：使用因式分解法解一元二次方程的条件是什么？解：略　<方程一边为0,另一边可分解为两个一次因式乘积．>练习：下面一元二次方程解法中,正确的是<　　>A．＝10×2,∴x－3＝10,x－5＝2,∴x1＝13,x2＝7B．<2－5x>＋<5x－2>2＝0,∴<5x－2><5x－3>＝0,∴x1＝eq\f<2,5>,x2＝eq\f<3,5>C．2＋4x＝0,∴x1＝2,x2＝－2D．x2＝x,两边同除以x,得x＝1三、巩固练习教材第14页练习1,2.四、课堂小结本节课要掌握：<1>用因式分解法,即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其应用．<2>因式分解法要使方程一边为两个一次因式相乘,另一边为0,再分别使各一次因式等于0.五、作业布置教材第17页习题6,8,10,11.一元二次方程的根与系数的关系1．掌握一元二次方程的根与系数的关系并会初步应用．2．培养学生分析、观察、归纳的能力和推理论证的能力．3．渗透由特殊到一般,再由一般到特殊的认识事物的规律．4．培养学生去发现规律的积极性及勇于探索的精神．重点根与系数的关系及其推导难点正确理解根与系数的关系．一元二次方程根与系数的关系是指一元二次方程两根的和、两根的积与系数的关系．一、复习引入1．已知方程x2－ax－3a＝0的一个根是6,则求a及另一个根的值．2．由上题可知一元二次方程的系数与根有着密切的关系．其实我们已学过的求根公式也反映了根与系数的关系,这种关系比较复杂,是否有更简洁的关系？3．由求根公式可知,一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为x1＝eq\f<－b＋\r,2a>,x2＝eq\f<－b－\r,2a>.观察两式右边,分母相同,分子是－b＋eq\r与－b－eq\r.两根之间通过什么计算才能得到更简洁的关系？二、探索新知解下列方程,并填写表格：方程x1x2x1＋x2x1·x2x2－2x＝0x2＋3x－4＝0x2－5x＋6＝0观察上面的表格,你能得到什么结论？<1>关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根x1,x2与系数p,q之间有什么关系？<2>关于x的方程ax2＋bx＋c＝0的两根x1,x2与系数a,b,c之间又有何关系呢？你能证明你的猜想吗？解下列方程,并填写表格：方程x1x2x1＋x2x1·x22x2－7x－4＝03x2＋2x－5＝05x2－17x＋6＝0小结：根与系数关系：<1>关于x的方程x2＋px＋q＝0的两根x1,x2与系数p,q的关系是：x1＋x2＝－p,x1·x2＝q<注意：根与系数关系的前提条件是根的判别式必须大于或等于零．><2>形如ax2＋bx＋c＝0的方程,可以先将二次项系数化为1,再利用上面的结论．即：对于方程ax2＋bx＋c＝0∵a≠0,∴x2＋eq\fx＋eq\f＝0∴x1＋x2＝－eq\f,x1·x2＝eq\f<可以利用求根公式给出证明>例1不解方程,写出下列方程的两根和与两根积：<1>x2－3x－1＝0　　　<2>2x2＋3x－5＝0<3>eq\f<1,3>x2－2x＝0<4>eq\r<2>x2＋eq\r<6>x＝eq\r<3><5>x2－1＝0<6>x2－2x＋1＝0例2不解方程,检验下列方程的解是否正确？<1>x2－2eq\r<2>x＋1＝0＋1,x2＝eq\r<2>－1><2>2x2－3x－8＝0,4>,x2＝eq\f<5－\r<73>,4>>例3已知一元二次方程的两个根是－1和2,请你写出一个符合条件的方程．<你有几种方法？>例4已知方程2x2＋kx－9＝0的一个根是－3,求另一根及k的值．变式一：已知方程x2－2kx－9＝0的两根互为相反数,求k；变式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的两根互为倒数,求k.三、课堂小结1．根与系数的关系．2．根与系数关系使用的前提是：<1>是一元二次方程；<2>判别式大于等于零．四、作业布置1．不解方程,写出下列方程的两根和与两根积．<1>x2－5x－3＝0　<2>9x＋2＝x2　<3>6x2－3x＋2＝0<4>3x2＋x＋1＝02．已知方程x2－3x＋m＝0的一个根为1,求另一根及m的值．3．已知方程x2＋bx＋6＝0的一个根为－2,求另一根及b的值.21.3实际问题与一元二次方程<2课时>第1课时解决代数问题1．经历用一元二次方程解决实际问题的过程,总结列一元二次方程解决实际问题的一般步骤．2．通过学生自主探究,会根据传播问题、百分率问题中的数量关系列一元二次方程并求解,熟悉解题的具体步骤．3．通过实际问题的解答,让学生认识到对方程的解必须要进行检验,方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点利用一元二次方程解决传播问题、百分率问题．难点如果理解传播问题的传播过程和百分率问题中的增长<降低>过程,找到传播问题和百分率问题中的数量关系．一、引入新课1．列方程解 应用题 小学应用题 下载一年级应用题应用题一年级一年级下册数学应用题一年级下册应用题 的基本步骤有哪些？应注意什么？2．科学家在细胞研究过程中发现：<1>一个细胞一次可分裂成2个,经过3次分裂后共有多少个细胞？<2>一个细胞一次可分裂成x个,经过3次分裂后共有多少个细胞？<3>如是一个细胞一次可分裂成2个,分裂后原有细胞仍然存在并能再次分裂,试问经过3次分裂后共有多少个细胞？二、教学活动活动1：自学教材第19页探究1,思考教师所提问题．有一人患了流感,经过两轮传染后,有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人？<1>如何理解"两轮传染"？如果设每轮传染中平均一个人传染了x个人,第一轮传染后共有________人患流感．第二轮传染后共有________人患流感．<2>本题中有哪些数量关系？<3>如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？解答：设每轮传染中平均一个人传染了x个人,则依题意第一轮传染后有人患了流感,第二轮有x<1＋x>人被传染上了流感．于是可列方程：1＋x＋x<1＋x>＝121解方程得x1＝10,x2＝－12<不合题意舍去>因此每轮传染中平均一个人传染了10个人．变式练习：如果按这样的传播速度,三轮传染后有多少人患了流感？活动2：自学教材第19页～第20页探究2,思考老师所提问题．两年前生产1吨甲种药品的成本是5000元,生产1吨乙种药品的成本是6000元,随着生产技术的进步,现在生产1吨甲种药品的成本是3000元,生产1吨乙种药品的成本是3600元,哪种药品成本的年平均下降率较大？<1>如何理解年平均下降额与年平均下降率？它们相等吗？<2>若设甲种药品年平均下降率为x,则一年后,甲种药品的成本下降了________元,此时成本为________元；两年后,甲种药品下降了________元,此时成本为________元．<3>增长率<下降率>公式的归纳：设基准数为a,增长率为x,则一月<或一年>后产量为a<1±x>；二月<或二年>后产量为a<1±x>2；n月<或n年>后产量为a<1±x>n；如果已知n月后总产量为M,则有下面等式：M＝a<1±x>n.<4>对甲种药品而言根据等量关系列方程为：________________.三、课堂小结与作业布置课堂小结1．列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答．最后要检验根是否符合实际．2．传播问题解决的关键是传播源的确定和等量关系的建立．3．若平均增长<降低>率为x,增长<或降低>前的基准数是a,增长<或降低>n次后的量是b,则有：a<1±x>n＝b<常见n＝2>．4．成本下降额较大的药品,它的下降率不一定也较大,成本下降额较小的药品,它的下降率不一定也较小．作业布置教材第21－22页习题21.3第2－7题．第2课时解决几何问题1．通过探究,学会分析几何问题中蕴含的数量关系,列出一元二次方程解决几何问题．2．通过探究,使学生认识在几何问题中可以将图形进行适当变换,使列方程更容易．3．通过实际问题的解答,再次让学生认识到对方程的解必须要进行检验,方程的解是否舍去要以是否符合问题的实际意义为标准．重点通过实际图形问题,培养学生运用一元二次方程分析和解决几何问题的能力．难点在探究几何问题的过程中,找出数量关系,正确地建立一元二次方程．活动1创设情境1．长方形的周长________,面积________,长方体的体积公式________．2．如图所示：<1>一块长方形铁皮的长是10cm,宽是8cm,四角各截去一个边长为2cm的小正方形,制成一个长方体容器,这个长方体容器的底面积是________,高是________,体积是________．<2>一块长方形铁皮的长是10cm,宽是8cm,四角各截去一个边长为xcm的小正方形,制成一个长方体容器,这个长方体容器的底面积是________,高是________,体积是________．活动2自学教材第20页～第21页探究3,思考老师所提问题要 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 一本书的封面,封面长27cm,宽21cm,正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形,如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一,上下边衬等宽,左右边衬等宽,应如何设计四周边衬的宽度<精确到0.1cm>．<1>要设计书本封面的长与宽的比是________,则正中央矩形的长与宽的比是________．<2>为什么说上下边衬宽与左右边衬宽之比为9∶7？试与同伴交流一下．<3>若设上、下边衬的宽均为9xcm,左、右边衬的宽均为7xcm,则中央矩形的长为________cm,宽为________cm,面积为________cm2.<4>根据等量关系：________,可列方程为：________.<5>你能写出解题过程吗？<注意对结果是否合理进行检验．><6>思考如果设正中央矩形的长与宽分别为9xcm和7xcm,你又怎样去求上下、左右边衬的宽？活动3变式练习如图所示,在一个长为50米,宽为30米的矩形空地上,建造一个花园,要求花园的面积占整块面积的75%,等宽且互相垂直的两条路的面积占25%,求路的宽度．答案：路的宽度为5米．活动4课堂小结与作业布置课堂小结1．利用已学的特殊图形的面积<或体积>公式建立一元二次方程的数学模型,并运用它解决实际问题的关键是弄清题目中的数量关系．2．根据面积与面积<或体积>之间的等量关系建立一元二次方程,并能正确解方程,最后对所得结果是否合理要进行检验．作业布置教材第22页习题21.3第8,10题．