会计学将军饮马问题第1页/共31页第2页/共31页看图思考：为什么有的人会经常践踏草地呢？绿地里本没有路，走的人多了……禁止践踏两点之间，线段最短爱护草坪第3页/共31页将军饮马问题：两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。第4页/共31页P两点之间线段最短.根据：BA(一)两点在一条直线两侧例1.如图：古希腊一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。问将军怎样走路程最短？最短路线：将军饮马：A---P---B.第5页/共31页例1变式1：已知美羊羊在A地玩耍，这时喜羊羊在小溪的对面C玩耍，并且AC两地是关于小溪的对称点，它俩在小溪的任意一点E处汇合，再一起回家的最短路线是什么？ACBMN将军饮马：第6页/共31页例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？AB河两点在一条直线同侧(二)一次轴对称：第7页/共31页BAB’C例2作法：（1）作点B关于直线MN的对称点B’（2）连结B’A，交MN于点C；∴点C就是所求的点．MN两点在一条直线同侧(二)一次轴对称：第8页/共31页∴BC+AC<BC’+AC’，即AC+BC最小．NABCB'C'∵直线MN是点B、B’的对称轴，点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BC’=B’C’．在MN上任取另一点C’，连结BC、BC’、AC’、B’C’．例2证明：在△AB’C’中，AB’<AC’+B’C’，∴BC+AC=B’C+AC=B’A．M∴BC’+AC’=B’C’+AC’两点在一条直线同侧(二)一次轴对称：第9页/共31页练习：已知：P、Q是△ABC的边AB、AC上的点，你能在BC上确定一点R，使△PQR的周长最短吗？两点在一条直线同侧(二)一次轴对称：RP’第10页/共31页草地河边.驻地A例3.如图：一位将军骑马从驻地A出发，先牵马去草地OM吃草，再牵马去河边ON喝水，最后回到驻地A，问：这位将军怎样走路程最短？OMN(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部第11页/共31页.....例3已知如图和内一点,(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部求作:OM上一点B,ON上一点C,使AB+BC+AC最小作法（1）作点A关于OM、ON的对称点A’、A”第12页/共31页巩固练习1.在平面直角坐标系中有两点，要在y轴上找一点，使它到的A、B两点距离之和最小，现有如下四种
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，其中正确的是（ ）D第13页/共31页2.如图，在等边△ABC中，边BC的高AD=4，点P是高AD上的一个动点，E是边AC的中点，在点P运动的过程中，存在PE+PC的最小值，则这个最小值是（ ）A．4 B．5 C．6 D．8A第14页/共31页3．如图，正方形ABCD的边长为8，△BCE是等边三角形，点E在正方形内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（ ）A.4B.6C.8D.10c第15页/共31页例3变式1：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部第16页/共31页4.如图，一个旅游船从大桥AB的P处前往山脚下的Q处接游客，然后将游客送往河岸BC上，再返回P处，请画出旅游船的最短路径．PQCBQ'P→Q→D→P为最短路径DQ'D第17页/共31页例4：如图，A为马厩，B为帐篷，将军某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮助确定这一天的最短路线。（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部第18页/共31页例4答案：如图,A是马厩,B为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马,先到草地边某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.ABA′B′CD（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部第19页/共31页......（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部例4变式1：已知：MON和MON内两点A、B。求作：点C和点D,使得点C在OM上，点D在ON上，且AC+CD+BD+AB最短。第20页/共31页例4变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部第21页/共31页......AA'BB'CDMON例4变式2：（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部第22页/共31页（2）把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，化折线为直线，将军饮马的实质：（3）可利用“两点之间线段最短”加以解决。（1）求最短路线问题------通过几何变换找对称图形。第23页/共31页能力提高.1.已知，求2.已知第24页/共31页4.已知关于x的方程x2-2(k-1)x+k2=0有两个实数根x1,x2.(1)求k的取值范围.(2)若|x1+x2|=x1x2-1,求k的值.解:(1)依题意：b2-4ac=4(k-1)2-4k2≥0,解得：k≤.(2)依题意：|2(k-1)|=k2-1,故有：2(k-1)=k2-1或-2(k-1)=k2-1,解得：k=1或k=-3;又∵k≤,故k=-3.第25页/共31页反思是进步的阶梯我的收获；我的疑惑；面对一个新的求线段最短问题时，我们可以通过怎样的途径去研究它？第26页/共31页将军饮马问题：两线段之和最短这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天骑马从城堡A出发，到城堡B，途中马要到小溪边饮水一次。将军问怎样走路程最短？这就是被称为"将军饮马"而广为流传的问题。第27页/共31页例2.如图：一位将军骑马从城堡A到城堡B，途中马要到河边饮水一次，问：这位将军怎样走路程最短？AB河两点在一条直线同侧(二)一次轴对称：第28页/共31页∴BC+AC<BC’+AC’，即AC+BC最小．NABCB'C'∵直线MN是点B、B’的对称轴，点C、C’在对称轴上，∴BC=B’C，BC’=B’C’．在MN上任取另一点C’，连结BC、BC’、AC’、B’C’．例2证明：在△AB’C’中，AB’<AC’+B’C’，∴BC+AC=B’C+AC=B’A．M∴BC’+AC’=B’C’+AC’两点在一条直线同侧(二)一次轴对称：第29页/共31页例3变式1：已知P是△ABC的边BC上的点，你能在AB、AC上分别确定一点Q和R，使△PQR的周长最短吗？(三)二次轴对称：一点在两相交直线内部第30页/共31页例4变式2：如图，OMCN是矩形的台球桌面，有黑、白两球分别位于B、A两点的位置上，试问怎样撞击白球，使白球A依次碰撞球台边OM、ON后，反弹击中黑球？（四）二次轴对称：两点在两相交直线内部第31页/共31页
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