数学分析习题选解

PAGE1/8数学分析习题选解第一章实数与函数§1.实数习题Page.41.设a为有理数，x为无理数， 证明 住所证明下载场所使用证明下载诊断证明下载住所证明下载爱问住所证明下载爱问 ：(1).ax是无理数；(2)当a0时，ax是无理数.证明：（用反证法）3.设a,bR，证明：若对任何正数有ab，则ab.ab证明：反证法，如果ab，则取20，有：ab，矛盾.设a,b,cR（R 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示全体正实数的集合），证明：a2b2a2c2bcB你能说明此不等式的几何意义吗？aa2c2证明：用分析法，a2b2要证：bcAbDcCa2b2a2c22ab2a2c2b2c2b2c2a2a2b2a2c2bc2a2b2aa2bca42a2bc2b2c4a2c2a2c2abbc2bcc2b2bc20（显然成立）a2c2几何意义，如图，在RtABC中，记BCa，ACb，在直角边AC上，取一点Da2b2连接BD，记DCc，则ADbc，由勾股定理，AB此结论说明，三角形的两边之和大于第三边.axa，BD，7.设x0，b0，ab.证明：axabbx介于1与之间.b证明：1bxbx与ab同号（注意，x0，b0）；axaxbaaxa又bxbbbx与ba同号，故bx介于1与b之间.p8.设p为正整数，证明：若p不是完全平方数，则是无理数.p证明：（反证法）设是有理数，记m，其中n,mN，(n,m)1，于是，pnpn2m2.由于大于1的整数能唯一地分解为素因数之积，若p不是完全平方数，则p的素因数分解式中，必有r是p的具有奇指数的素因数.则pn2m2的左端有奇数个素因数r，而右端没有，与分解的唯一性矛盾，证毕补充题：证明任何二个不同的有理数之间必有无理数.证明：设r,r为二个不同的有理数（不妨rr），取rrrr为无理数，则121201rrrrrr，即r介于r与r212之间.证毕2121012012§2.数集、确界原理习题Page.９－10设S为非空数集，试对下列概念给出定义：(1).S无上界；(2).S无界.解：(1).如果bR，x0S，使x0b，则称S无上界；(2).如果M0，xS，使xM，则称S无界.00试证明由(3)式所确定的数集S有上界，而无下界.证明：因为Syy2x2,xR，yS，有：y2x22，故S有上界2.而bR，取y023b2S，有：y0b1b，故S无下界.证毕求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：⑴Sxx22；⑵Sxxn!,nN；⑶Sxx为(0,1)内的无理数；⑷S1xx12n,nN.22解：⑴因为，Sxx222,，所以，supS，事实上，xS，有：x，即是上界；而0，取x220min,122S，有22min,1x02，即22不是上界，故supS.2同理可证，infS.⑵因为，Sxxn!,nN1!,2!,且S有最小数1，故infS1.,n!,，所以，S无上界，supS.⑶因为，Sxx为(0,1)内的无理数，由无理数的性质与确界的定义，可断定，infS0，事实上，显然xS，有：x0，即0是下界；而由有理数的稠密性，0，在0与0min,1之间至少存在一个无理数x，即0xS0x，即0不是下界，故infS0.同理可证，supS1，00⑷因为，Sxx11,nN11,11,,111有最小数，2n242n2故infS1.又由确界的定义，supS1，事实上，xS，有：x111，22n即1是上界；而0，取x11S，其中nlogmax1,2，有02n002x11102n01max1,21111，即1不是上界，故supS1.5.设S为非空数集，定义SxxS，证明：⑴infSsupS；证明：⑴supS，则①xS，有：x；②0，xS，有：x.00③xS，有：x，④0，x0S，有：x0.综合③④，知：infS，即infSsupS.设A、B皆为非空有界数集，定义数集ABzzxy,xA,yB，证明：⑴sup(AB)supAsupB，⑵inf(AB)infAinfB.分析：只要证sup(AB)supAsupB，且sup(AB)supAsupB.证第一个不等式，即证，常数supAsupB是ABxyxa,yB的上界；用确界定义的第二个条件，来证第二个不等式.证明：⑴因为，xAxsupA，且yBysupB，于是，zxyAB，其中xA，yB，有：zxysupAsupB；故常数supAsupB是AB的上界，必大于等于AB最小上界sup(AB).即sup(AB)supAsupB.又因为，0，zxyAB，使：zsup(AB)①0000其中xA，yB，而zxysupAsupB②00000由①与②式，supAsupBsup(AB)，所以，sup(AB)supAsupB.故，sup(AB)supAsupB.同理可证，⑵inf(AB)infAinfB.证毕(法2)证明：设supA，supB，则12①xA，有：x；yB，有：y.12②0，x0A，有：x012；y0B，有：y0；22由①，知：zxyAB，其中xA，yB，有：zxy1，2由②，知：0，取z0xy00AB，有：z0xy0012.故12是AB的最小上界，即supAB1，2所以，sup(AB)supAsupB.证毕suparr为有理数,rx,当a1设a0,a1，x为有理数，证明：axinfarr为有理数,rx,当a1证明：当a1，而0，9.rx，有：arax，即ax是arr为有理数,rx的上界；§3.函数的概念习题Page.15－161.2.根据图1－2写出定义在[0,1]上的分段函数f(x)和f(x)的解析表示式.432112解：当x0,1时，f(x)是过(0,0)与1,2212二点的直线，所以，f(x)4x，14/80.20.40.60.81PAGE5/8当x1,1时，f(x)是过(1,0)与1,2二点的直线，所以，f(x)4x4，2214x,x0,1116x,x0,124故f(x)，同理，得；f14x4,x1,12(x).16x8,x1,1242确定下列初等函数的存在域：⑴ysin(sinx)，⑵ylg(lgx)，⑶yarcsinlgx，⑷ylgarcsin10x10.解：⑴要使ysin(sinx)有意义，当且仅当，sinxR，即xR，故D(f)R.⑵要使ylg(lgx)有意义，当且仅当，lgx0，即x1，故D(f)(1,).xxx⑶要使yarcsinlg10有意义，当且仅当，1lg101，即1011010，所以，1x100，故D(f)[1,100].⑷要使ylgarcsinx有意义，当且仅当，arcsinx0，即0x1，所以，1010100x10，故D(f)(0,10].2x,x0设函数f(x)，2x,x0求⑴f(3)，f(0)，f(1)；⑵f(x)f(0)，f(x)f(0)，（x0）.解：由函数f(x)的定义，⑴f(3)2(3)1，f(0)202，f(1)212；⑵f(x)f(0)2x202x2，f(x)f(0)2x20x.设函数f(x)，求f(2x)，f(2x)，f(x2)，ff(x)，f1.11xf(x)解：f(2x)11，x3；1(2x)3xf(2x)11，x；12x21f(x2)，xR；1x2ff(x)111x，x1,2；1f(x)111x2x11111ff(x)1f(x)1(1x)2x，x1,2；试问下列函数是由哪些基本初等函数复合而成：⑵yarcsinx22；⑶ylg11x2；⑷y2sin2x.2解：⑵yarcsinx2，由yu2，uarcsinv，vx2复合而成.v⑶ylg11x2由ylgu，u1，v1x2复合而成.⑷y2sin2x.由y2u，uv2，vsinx复合而成.8.试作函数yarcsinsinx的图象.解：当x,时，sinx是arcsinx的反函数，所以，yarcsinsinxx；22当x2n,2n，nZ时，sinxsinx2n，22yarcsinsinxx2n，于是，yarcsinsinx的图象（如图），是线段yx，x,，向左右不断平移个单位所得的图象.22试问下列等式是否成立.⑴tan(arctanx)x，xR；⑵arctantanxx，xk2，k0,1,2,.解：tanx，x,与arctanx，x(,)互为反函数，于是，22⑴tan(arctanx)x，xR成立；⑵arctantanxx，xk2，k0,1,2,不成立，事实上，5当x,时，此式不成立，如x4时，224arctantan5arctan15.44试问：yx是初等函数吗？x2解：yx由基本初等函数y，ux2复合而成，uyx是初等函数.证明：关于函数y[x]的如下不等式：⑴当x0时，1xx11；⑵当x0时，1x证明：因为，当x0时，x11x.x1xx111x1111111111xxxxxxxxxx显然成立.§4.具有某些特性的函数习题Page.1.⑴叙述无界函数的定义；1⑵证明f(x)为(0,1)上的无界函数：x2⑶举出函数f的例子，使f为闭区间[0,1]上的无界函数.解：⑴设函数yf(x)定义在数集D上，如果M0，xD，使：fxM00则称yf(x)在D上无界.M1⑵M0，取x01(0,1)，有：1M1M，1x201(M1)故f(x)1为(0,1)上的无界函数：x2⑶f(x)1,当x(0,1]时x[0,1]，在上无界.0,当x0时证明下列函数在指定区间上的单调性.(3).ycosx在[0,]上严格递减.xxxx证明：x,x[0,]，且xx，有：cosxcosx2sin12sin12，12121222xx而012xx，sin12xx0；12xx0，sin120.从22222而，cosx1cosx20，即cosx1cosx2，ycosx在[0,]上严格递减.1x24.判别下列函数的奇偶性：(2)f(x)xsinx，(4)f(x)lgx.解：(2)f的定义域f(D)(,)，而x(,)，有：x(,)，且f(x)xsinxxsinxf(x).所以，f(x)xsinx是奇函数.(4)f的定义域f(D)(,)，而x(,)，有：x(,)，1且f(x)lgx1x2lgx1x2lgx1x2f(x).1x2所以，f(x)lgx是奇函数.5.求下列函数的周期：xxcos2x，(2)tan3x，(3)cos1cos2x2sin.23解：(1)cos2x，所以，cos22x的周期为.tan3x的周期为.3cosx2sinx的周期为6.236.7.8.9.