考点41 圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题问题-2018版典型高考数学试题解读与变式（解析版）

典型高考数学试题解读与变式2018版考点41圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题【考纲要求】应从“数”与“形”两个方面把握直线与圆锥曲线的位置关系．会判断已知直线与曲线的位置关系(或交点个数)，会求有关定值、定点的问题．　　【命题规律】圆锥曲线中的定点、定值与存在性问题一般在解答题中考查.难度较大.【典型高考试题变式】（一）定值问题例1.【2017课标卷】在直角坐标系xOy中，曲线与x轴交于A，B两点，点C的坐标为.当m变化时，解答下列问题：（1）能否出现AC⊥BC的情况？ 说明 关于失联党员情况说明岗位说明总经理岗位说明书会计岗位说明书行政主管岗位说明书 理由；（2）证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.【解析】（1）令，，C(0，1)，为的根，假设成立，所以，，，所以，所以不能出现的情况.【名师点睛】直线与圆综合问题的常见类型及解题策略：处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形．代数 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 ：运用根与系数的关系及弦长公式：；圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．【变式1】【河北省衡水中学2016届高三上学期七调考试数学（理）试题】（本小题满分12分）已知椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.（1）求椭圆的方程；（2）设，过点作与轴不重合的直线交椭圆于两点，连接分别交直线于两点，若直线的斜率分别为，试问：是否为定值？若是，求出该定值，若不是，请说明理由.【解析】（1）由题意得，故椭圆的方程为．（2）设，直线的方程为，由，由三点共线可知同理可得，所以．【变式2】【2016北京卷】已知椭圆C：过点A（2,0），B（0,1）两点.（1）求椭圆C的方程及离心率；（2）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.【解析】（1）由题意得，，．所以椭圆的方程为．又，所以离心率．令，得，从而．所以四边形的面积EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4．从而四边形的面积为定值．（二）定点问题例2.【2017课标1】已知椭圆C：（a>b>0），四点P1（1,1），P2（0,1），P3（–1，），P4（1，）中恰有三点在椭圆C上.（1）求C的方程；（2）设直线l不经过P2点且与C相交于A，B两点.若直线P2A与直线P2B的斜率的和为–1，证明：l过定点.【 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 】（1）根据，两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过，两点.另外由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此在椭圆上，代入其 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：（），将代入，写出判别式，利用根与系数的关系 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示出x1+x2，x1x2，进而表示出，根据列出等式表示出和的关系，从而判断出直线恒过定点.【解析】（1）由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点.又由知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此解得故C的方程为.由题设可知.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=，x1x2=.而EMBEDEquation.DSMT4EMBEDEquation.DSMT4.由题设，故.即.解得.当且仅当时，，于是l：，即，所以l过定点（2，）.【名师点睛】椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.【变式1】【2017江西南昌市摸底】已知椭圆短轴的一个端点与其两个焦点构成面积为3的直角三角形.（1）求椭圆的方程；（2）过圆上任意一点作圆的切线，与椭圆交于两点，以为直径的圆是否过定点，如过，求出该定点；不过说明理由.【解析】（1）因为椭圆短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形，所以,故椭圆的方程为，（2）圆的方程为,设为坐标原点当直线的斜率不存在时，不妨设直线AB方程为，则，所以，所以为直径的圆过坐标原点当直线的斜率存在时，设其方程设为，设因为直线与相关圆相切，所以EMBEDEquation.DSMT4联立方程组得,即,,,，EMBEDEquation.DSMT4，所以为直径的圆恒过坐标原点.【数学思想】①数形结合思想．②分类讨论思想．③转化与化归思想.【温馨提示】解决圆锥曲线中的定值问题的基本思路很明确：即定值问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积等，其不受变化的量所影响的一个值即为定值，化解这类问题的关键是引进参数表示直线方程、数量积等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量，解题过程中要注意讨论直线斜率的存在情况，计算要准确．【典例试题演练】1.【2016广东广州模拟】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，左顶点为，左焦点为，点在椭圆上，直线与椭圆交于，两点，直线，分别与轴交于点，．（1）求椭圆的方程；（2）以为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【解析】（1）设椭圆的方程为，因为椭圆的左焦点为，所以．因为点在椭圆上，所以．由①②解得，，．所以椭圆的方程为．因为直线，分别与轴交于点，，令得，即点．同理可得点．所以．设的中点为，则点的坐标为．则以为直径的圆的方程为EMBEDEquation.DSMT4，即．令，得，即或．故以为直径的圆经过两定点，．2.【2016年高考北京】已知椭圆C：（）的离心率为，，，，的面积为1.（1）求椭圆C的方程；（2）设的椭圆上一点，直线与轴交于点M，直线PB与轴交于点N.求证：为定值.【解析】（1）由题意得解得.所以椭圆的方程为.（2）由（1）知，，设，则.当时，直线的方程为.令，得.从而.直线的方程为.令，得.从而.所以EMBEDEquation.3.当时，，所以.综上，为定值.3.【2017河南省豫北名校联盟对抗赛】已知点是椭圆上任一点，点到直线的距离为，到点的距离为，且.直线与椭圆交于不同两点（都在轴上方），且.（1）求椭圆的方程；（2）当为椭圆与轴正半轴的交点时，求直线方程；（3）对于动直线，是否存在一个定点，无论如何变化，直线总经过此定点？若存在，求出该定点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）设，则，，∴，化简，得，∴椭圆的方程为.（2），，∴，又∵，∴，.代入解，得（舍）∴，，∴.即直线方程为.（3）∵，∴.设，，直线方程为.代直线方程入，得.∴，，∴=，∴，∴直线方程为，∴直线总经过定点.5.已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切．设动圆圆心P的轨迹为E.（1）求E的方程；（2）若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝－16，求证：直线AB恒过定点．【解析】（1）设P(x，y)，则eq\r(x2＋（y－2）2)＝(y＋1)＋1⇒x2＝8y.所以E的方程为x2＝8y.（2）证明：易知直线AB的斜率存在，设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)．将直线AB的方程代入x2＝8y中，得x2－8kx－8b＝0，所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b.eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋2,1)eq\f(xxeq\o\al(2,2),64)＝－8b＋b2＝－16⇒b＝4，所以直线AB恒过定点(0，4)．6.已知抛物线E：x2＝2py(p＞0)，直线y＝kx＋2与E交于A，B两点，且eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝2，其中O为原点．（1）求抛物线E的方程；（2）点C坐标为(0，－2)，记直线CA，CB的斜率分别为k1，k2，证明：keq\o\al(2,1)＋keq\o\al(2,2)－2k2为定值．（2）证明：由(1)知，x1＋x2＝k，x1x2＝－2.k1＝eq\f(y1＋2,x1)＝2,1)eq\f(x＋2,x1)＝2,1)eq\f(x－x1x2,x1)＝x1－x2，同理k2＝x2－x1，所以keq\o\al(2,1)＋keq\o\al(2,2)－2k2＝2(x1－x2)2－2(x1＋x2)2＝－8x1x2＝16.7.已知平面上的动点R(x，y)及两定点A(－2，0)，B(2，0)，直线RA、RB的斜率分别为k1、k2，且k1k2＝－eq\f(3,4)，设动点R的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）四边形MNPQ的四个顶点均在曲线C上，且MQ∥NP，MQ⊥x轴，若直线MN和直线QP交于点S(4，0)．问：四边形MNPQ两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．【解析】（1）由题知x≠±2，且k1＝eq\f(y,x＋2)，k2＝eq\f(y,x－2)，则eq\f(y,x＋2)·eq\f(y,x－2)＝－eq\f(3,4)，整理得，曲线C的方程为eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1(y≠0)．（2）设MP与x轴交于D(t，0)，则直线MP的方程为x＝my＋t(m≠0)．设M(x1，y1)，P(x2，y2)，由对称性知Q(x1，－y1)，N(x2，－y2)，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3x2＋4y2＝12,x＝my＋t))，消去x得(3m2＋4)y2＋6mty＋3t2－12＝0，所以Δ＝48(3m2＋4－t2)＞0，y1＋y2＝－eq\f(6mt,3m2＋4)，y1·y2＝eq\f(3t2－12,3m2＋4)，由M、N、S三点共线知kMS＝kNS，即eq\f(y1,x1－4)＝eq\f(－y2,x2－4)，所以y1(my2＋t－4)＋y2(my1＋t－4)＝0，整理得2my1y2＋(t－4)(y1＋y2)＝0，所以eq\f(2m（3t2－12）－6mt（t－4）,3m2＋4)＝0，即24m(t－1)＝0，t＝1，所以直线MP过定点D(1，0)，同理可得直线NQ也过定点D(1，0)，即四边形MNPQ两条对角线的交点是定点，且定点坐标为(1，0)．8.如图，M是抛物线y2＝x上的一点，动弦ME，MF分别交x轴于A，B两点，且MA＝MB.若M为定点，证明：直线EF的斜率为定值.【证明】设M(yeq\o\al(2,0)，y0)，直线ME的斜率为k(k＞0)，则直线MF的斜率为－k，∴直线ME的方程为y－y0＝k(x－yeq\o\al(2,0)).联立\o\al(2,0)eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y－y0＝k（x－y），,y2＝x，))消去x，得ky2－y＋y0(1－ky0)＝0.解得yE＝eq\f(1－ky0,k)，∴xE＝eq\f(（1－ky0）2,k2).同理，yF＝eq\f(1＋ky0,－k)，∴xF＝eq\f(（1＋ky0）2,k2).∴kEF＝eq\f(yE－yF,xE－xF)＝eq\f(\f(1－ky0,k)－\f(1＋ky0,－k),\f(（1－ky0）2,k2)－\f(（1＋ky0）2,k2))＝eq\f(\f(2,k),\f(－4ky0,k2))＝－eq\f(1,2y0)(定值).∴直线EF的斜率为定值.9.【2017云南省、四川省、贵州省联考】已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点.（1）求抛物线的方程；（2）已知点的坐标为（-3,0），记直线、的斜率分别为，，证明：为定值.（2）因为，，所以，，因此又，，所以.即为定值.10.【2017湖南省五市十校联考】如图，设点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之积为．（1）求点的轨迹方程；（2）设点的轨迹为，点是轨迹为上不同于的两点，且满足，求证：的面积为定值．学@科网【解析】（1）由已知设点的坐标为，由题意知，化简得的轨迹方程为．（2）证明：由题意是椭圆上非顶点的两点，且，则直线斜率必存在且不为0，又由已知．因为，所以．设直线的方程为，代入椭圆方程，得．．．．①设的坐标分别为，则，又，所以，得，又，所以，即的面积为定值._1234568017.unknown_1234568081.unknown_1234568145.unknown_1234568177.unknown_1234568209.unknown_1234568225.unknown_1234568233.unknown_1234568237.unknown_1234568241.unknown_1234568243.unknown_1234568245.unknown_1234568247.unknown_1234568248.unknown_1234568246.unknown_1234568244.unknown_1234568242.unknown_1234568239.unknown_1234568240.unknown_1234568238.unknown_1234568235.unknown_1234568236.unknown_1234568234.unknown_1234568229.unknown_1234568231.unknown_1234568232.unknown_1234568230.unknown_1234568227.unknown_1234568228.unknown_1234568226.unknown_1234568217.unknown_1234568221.unknown_1234568223.unknown_1234568224.unknown_1234568222.unknown_1234568219.unknown_1234568220.unknown_1234568218.unknown_1234568213.unknown_1234568215.unknown_1234568216.unknown_1234568214.unknown_1234568211.unknown_1234568212.unknown_1234568210.unknown_1234568193.unknown_1234568201.unknown_1234568205.unknown_1234568207.unknown_1234568208.unknown_1234568206.unknown_1234568203.unknown_1234568204.unknown_1234568202.unknown_1234568197.unknown_1234568199.unknown_1234568200.unknown_1234568198.unknown_1234568195.unknown_1234568196.unknown_1234568194.unknown_1234568185.unknown_1234568189.unknown_1234568191.unknown_1234568192.unknown_1234568190.unknown_1234568187.unknown_1234568188.unknown_1234568186.unknown_1234568181.unknown_1234568183.unknown_1234568184.unknown_1234568182.unknown_1234568179.unknown_1234568180.unknown_1234568178.unknown_1234568161.unknown_1234568169.unknown_1234568173.unknown_1234568175.unknown_1234568176.unknown_1234568174.unknown_1234568171.unknown_1234568172.unknown_1234568170.unknown_1234568165.unknown_1234568167.unknown_1234568168.unknown_1234568166.unknown_1234568163.unknown_1234568164.unknown_1234568162.unknown_1234568153.unknown_1234568157.unknown_1234568159.unknown_1234568160.unknown_1234568158.unknown_1234568155.unknown_1234568156.unknown_1234568154.unknown_1234568149.unknown_1234568151.unknown_1234568152.unknown_1234568150.unknown_1234568147.unknown_1234568148.unknown_1234568146.unknown_1234568113.unknown_1234568129.unknown_1234568137.unknown_1234568141.unknown_1234568143.unknown_1234568144.unknown_1234568142.unknown_1234568139.unknown_1234568140.unknown_1234568138.unknown_1234568133.unknown_1234568135.unknown_1234568136.unknown_1234568134.unknown_1234568131.unknown_1234568132.unknown_1234568130.unknown_1234568121.unknown_1234568125.unknown_1234568127.unknown_1234568128.unknown_1234568126.unknown_1234568123.unknown_1234568124.unknown_1234568122.unknown_1234568117.unknown_1234568119.unknown_1234568120.unknown_1234568118.unknown_1234568115.unknown_1234568116.unknown_1234568114.unknown_1234568097.unknown_1234568105.unknown_1234568109.unknown_1234568111.unknown_1234568112.unknown_1234568110.unknown_1234568107.unknown_1234568108.unknown_1234568106.unknown_1234568101.unknown_1234568103.unknown_1234568104.unknown_1234568102.unknown_1234568099.unknown_1234568100.unknown_1234568098.unknown_1234568089.unknown_1234568093.unknown_1234568095.unknown_1234568096.unknown_1234568094.unknown_1234568091.unknown_1234568092.unknown_1234568090.unknown_1234568085.unknown_1234568087.unknown_1234568088.unknown_1234568086.unknown_1234568083.unknown_1234568084.unknown_1234568082.unknown_1234568049.unknown_1234568065.unknown_1234568073.unknown_1234568077.unknown_1234568079.unknown_1234568080.unknown_1234568078.unknown_1234568075.unknown_1234568076.unknown_1234568074.unknown_1234568069.unknown_1234568071.unknown_1234568072.unknown_1234568070.unknown_1234568067.unknown_1234568068.unknown_1234568066.unknown_1234568057.unknown_1234568061.unknown_1234568063.unknown_1234568064.unknown_1234568062.unknown_1234568059.unknown_1234568060.unknown_1234568058.unknown_1234568053.unknown_1234568055.unknown_1234568056.unknown_1234568054.unknown_1234568051.unknown_1234568052.unknown_1234568050.unknown_1234568033.unknown_1234568041.unknown_1234568045.unknown_1234568047.unknown_1234568048.unknown_1234568046.unknown_1234568043.unknown_1234568044.unknown_1234568042.unknown_1234568037.unknown_1234568039.unknown_1234568040.unknown_1234568038.unknown_1234568035.unknown_1234568036.unknown_1234568034.unknown_1234568025.unknown_1234568029.unknown_1234568031.unknown_1234568032.unknown_1234568030.unknown_1234568027.unknown_1234568028.unknown_1234568026.unknown_1234568021.unknown_1234568023.unknown_1234568024.unknown_1234568022.unknown_1234568019.unknown_1234568020.unknown_1234568018.unknown_1234567953.unknown_1234567985.unknown_1234568001.unknown_1234568009.unknown_1234568013.unknown_1234568015.unknown_1234568016.unknown_1234568014.unknown_1234568011.unknown_1234568012.unknown_1234568010.unknown_1234568005.unknown_1234568007.unknown_1234568008.unknown_1234568006.unknown_1234568003.unknown_1234568004.unknown_1234568002.unknown_1234567993.unknown_1234567997.unknown_1234567999.unknown_1234568000.unknown_1234567998.unknown_1234567995.unknown_1234567996.unknown_1234567994.unknown_1234567989.unknown_1234567991.unknown_1234567992.unknown_1234567990.unknown_1234567987.unknown_1234567988.unknown_1234567986.unknown_1234567969.unknown_1234567977.unknown_1234567981.unknown_1234567983.unknown_1234567984.unknown_1234567982.unknown_1234567979.unknown_1234567980.unknown_1234567978.unknown_1234567973.unknown_1234567975.unknown_1234567976.unknown_1234567974.unknown_1234567971.unknown_1234567972.unknown_1234567970.unknown_1234567961.unknown_1234567965.unknown_1234567967.unknown_1234567968.unknown_1234567966.unknown_1234567963.unknown_1234567964.unknown_1234567962.unknown_1234567957.unknown_1234567959.unknown_1234567960.unknown_1234567958.unknown_1234567955.unknown_1234567956.unknown_1234567954.unknown_1234567921.unknown_1234567937.unknown_1234567945.unknown_1234567949.unknown_1234567951.unknown_1234567952.unknown_1234567950.unknown_1234567947.unknown_1234567948.unknown_1234567946.unknown_1234567941.unknown_1234567943.unknown_1234567944.unknown_1234567942.unknown_1234567939.unknown_1234567940.unknown_1234567938.unknown_1234567929.unknown_1234567933.unknown_1234567935.unknown_1234567936.unknown_1234567934.unknown_12345679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