Twenty-firstInternationalOlympiad,19791979/1.Letpandqbenaturalnumberssuchthatpq=1−12+13−14+···−11318+11319.Provethatpisdivisibleby1979.1979/2.AprismwithpentagonsA1A2A3A4A5andB1B2B3B4B5astopandbottomfacesisgiven.Eachsideofthetwopentagonsandeachoftheline-segmentsAiBjforalli,j=1,...,5,iscoloredeitherredorgreen.Everytrianglewhoseverticesareverticesoftheprismandwhosesideshaveallbeencoloredhastwosidesofadifferentcolor.Showthatall10sidesofthetopandbottomfacesarethesamecolor.1979/3.Twocirclesinaplaneintersect.LetAbeoneofthepointsofintersection.StartingsimultaneouslyfromAtwopointsmovewithconstantspeeds,eachpointtravellingalongitsowncircleinthesamesense.ThetwopointsreturntoAsimultaneouslyafteronerevolution.ProvethatthereisafixedpointPintheplanesuchthat,atanytime,thedistancesfromPtothemovingpointsareequal.1979/4.Givenaplanepi,apointPinthisplaneandapointQnotinpi,findallpointsRinpisuchthattheratio(QP+PA)/QRisamaximum.1979/5.Findallrealnumbersaforwhichthereexistnon-negativerealnumbersx1,x2,x3,x4,x5satisfyingtherelations5∑k=1kxk=a,5∑k=1k3xk=a2,5∑k=1k5xk=a3.1979/6.LetAandEbeoppositeverticesofaregularoctagon.AfrogstartsjumpingatvertexA.FromanyvertexoftheoctagonexceptE,itmayjumptoeitherofthetwoadjacentvertices.WhenitreachesvertexE,thefrogstopsandstaysthere..LetanbethenumberofdistinctpathsofexactlynjumpsendingatE.Provethata2n−1=0,a2n=1√2(xn−1−yn−1),n=1,2,3,···,wherex=2+√2andy=2−√2.Note.Apathofnjumpsisasequenceofvertices(P0,...,Pn)suchthat(i)P0=A,Pn=E;(ii)foreveryi,0≤i≤n−1,PiisdistinctfromE;(iii)foreveryi,0≤i≤n−1,PiandPi+1areadjacent.
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