立体几何：建系困难问
题
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大题精做二数列大题精做七精选大题[2019·长沙统测]已知三棱锥（如图一）的平面展开图（如图二）中，四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：（1）
证明
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：平面平面；（2）若点在棱上运动，当直线与平面所成的角最大时，求二面角的余弦值． 图一 图二【
答案
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】（1）见解析；（2）．【解析】（1）设的中点为，连接，．由题意，得，，．∵在中，，为的中点，∴，∵在中，，，，，∴．∵，，平面，∴平面，∵平面，∴平面平面．（2）由（1）知，，，平面，∴是直线与平面所成的角，且，∴当最短时，即是的中点时，最大．由平面，，∴，，于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，则，，，，，，，，．设平面的法向量为，则由得：．令，得，，即．设平面的法向量为，由得：，令，得，，即．．由图可知，二面角的余弦值为．模拟精做1．[2019·安庆期末]矩形中，，，点为中点，沿将折起至，如图所示，点在面的射影落在上．（1）求证：面面；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】（1）在四棱锥中，，，从而有，又∵面，而面，∴，而、面，且，由线面垂直定理可证面，又面，由面面垂直判断定定理即证面面．（2）由条件知面，过点做的平行线，又由（1）知面，以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图所示：，，，，，面的一个法向量为，设面的法向量为，则有，从而可得面的一个法向量为，，设平面与平面所成锐二面角为，与互补，则，故平面与平面所成二面角的余弦值为．2．[2019·南阳期末]如图1，在矩形中，，，点在线段上，且，现将沿折到的位置，连结，，如图2．（1）若点在线段上，且，证明：；（2）记平面与平面的交线为．若二面角为，求与平面所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析；（2）．【解析】证明：（1）先在图1中连结，在中，由，，得，在中，由，，得，∴，则，∴，从而有，，即在图2中有，，∴平面，则；解：（2）延长，交于点，连接，根据公理3得到直线即为，再根据二面角定义得到．在平面内过点作底面垂线，以为原点，分别为，，及所作垂线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的一个法向量为，由，取，得．∴与平面所成角的正弦值为．3．[2019·苏州调研]如图，在四棱锥中，已知底面是边长为1的正方形，侧面平面，，与平面所成角的正弦值为．（1）求侧棱的长；（2）设为中点，若，求二面角的余弦值．【答案】（1）或；（2）．【解析】（1）取中点，中点，连结，，∵，∴，又∵平面平面，平面，平面平面，∴平面，∴，，又∵是正方形，∴，以为原点，，为，，轴建立空间直角坐标系（如图），则，，，，设，则，，设平面的一个法向量为，则有，取，则，从而，设与平面所成角为，∵，∴，解得或，∴或．（2）由（1）知，，∴，，由（1）知，平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，而，，∴取，则，，即，设二面角的平面角为，∴，根据图形得为锐角，∴二面角的余弦值为．6
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