概率论重点题型总结

1概率论第一课一、无放回类题目例1：盒子中有4红3白共7个球，不用眼瞅，七个球摸起来是一样的，现无放回的摸4次，那摸出两个红球两个白球的概率是多少？P=C条件一总条件一取×C条件二总条件二取C总取P=C42×C32C74例2：隔壁山头共有11只母猴儿，其中有5只美猴儿、6只丑猴儿，在大黑天看起来是一样的。今儿月黑风高，我小弟冒死为我掳来5只，问天亮后，发现有2只美猴儿、3只丑猴儿的概率是多少？P=C条件一总条件一取×C条件二总条件二取C总取P=C52×C63C115关于Cnm的计算：2二、有放回类题目例1：盒子中有5红6白共11个球，不用眼瞅，11个球摸起来是一样的，现有放回的摸5次，那摸出两个红球三个白球的概率是多少？例2：在小弟为我抓回的5只母猴儿中，有2美3丑，每天我都随机挑一只母猴儿来，为她抓虱子。就这样，过去了101天，抓了101次虱子，问这101次中，为美猴儿服务50次、丑猴儿服务51次的概率是多少？三、需要画图的题目例1：已知0<x<1，0<y<1，求x>y的概率是多少？① 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 现已知条件②表现待求概率的条件3③找出①②重合部分④P(x>y)=③①=12例2：已知−1<x<1，−1<y<1，求x²+y²<1的概率是多少？P(x2+y2<1)=S圆S正=π×124=π4四、条件概率公式：P(B|A)=P(AB)P(A)解释：事件A：掷一次骰子，朝上点数大于3事件B：掷一次骰子，朝上点数是6P(B|A)：掷一次骰子，已知朝上点数大于3，朝上点数是6的概率P(AB)：掷一次骰子，朝上点数是6的概率P(A)：掷一次骰子，朝上点数大于3的概率例1：小明概率论考试得80分以上的概率是80%，得60分以上的概率是85%，已知这次考试小明概率论没挂，那么小明得80分以上的概率是多少？事件A：小明得60分以上事件B：小明得80分以上P(B|A)：小明得60分以上时，小明得80分以上的概率P(AB)：小明得80分以上的概率P(B|A)=P(AB)P(A)=80％85％=1617例2：某地区今年会发生洪水的概率是80%，今明两年至少有一年会发生洪水的概率是85%，假如今年没有发生洪水，那么明年发生洪水的概率是多少？事件A：今年没有发生洪水事件B：明年发生洪水P(B|A)：今年没有发生洪水的情况下，明年发洪水的概率P(AB)：今年没有发生洪水，明年发生洪水的概率4P(B|A)=P(AB)P(A)=85％−80％1−80％=5％20％=14五、全概率公式公式：A、B…等个体均可能发生某事，则P(发生某事)=P(A出现)·P(A发生某事)+P(B出现)·P(B发生某事)…例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障的概率。P(有客车发生故障)=P(高速车出现)·P(高速车故障)+P(普通车出现)·P(普通车故障)=20%×0.002+80%×0.01=0.0084例2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，那么抽中的员工通过考核的概率是多少？P(抽中的员工通过考核)=P(猴博士出现)·P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过)=50％×100％+50％×1％=50.5％六、贝叶斯公式公式：A、B…等个体均可能发生某事，则P(已知有个体发生某事时，是A发生的)=P(A出现)·P(A发生某事)P(发生某事)例1：某高速公路上客车中有20%是高速客车，80%是普通客车，假设高速客车发生故障的概率是0.002，普通客车发生故障的概率是0.01。求该高速公路上有客车发生故障时，故障的是高速客车的概率。P(有客车发生故障)=P(高速车出现)·P(高速车故障)+P(普通车出现)·P(普通车故障)5=20%×0.002+80%×0.01=0.0084P(已知有客车发生故障，是高速客车发生的)=P(高速客车出现)·P(高速客车故障)P(有客车故障)=20％·0.0020.0084=121例2：猴博士公司有猴博士与傻狍子两个员工，老板要抽其中一个考核，抽中猴博士与傻狍子的概率都是50%，猴博士考核通过的概率是100%，傻狍子考核通过的概率是1%，求抽中的员工通过考核时，被抽中的员工是傻狍子的概率。P(抽中的员工通过考核)=P(猴博士出现)·P(猴博士通过)+P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过)=50％×100％+50％×1％=50.5％P(已知有员工通过考核，是傻狍子通过的)=P(傻狍子出现)·P(傻狍子通过)P(抽中的员工通过考核)=50％·1％50.5％=1101概率论第二课七、已知𝐅𝐗(x)与𝐟𝐗(x)中的一项，求另一项公式：fX(x)=FX′(x)FX(x)=∫fX(x)dxx−∞6例1：设X的分布函数FX(x)={0，x<1lnx，1≤x<e1，x≥e，求X的密度函数fX(x)。fX(x)=FX′(x)={0′，x<1(lnx)′，1≤x<e1′，x≥e⇒{0，x<11𝑥，1≤x<e0，x≥e⇒{1x，1≤x<e0，其他例2：设X的密度函数fX(x)={−12x+1，0≤x≤20，其他，求X的分布函数FX(x)。当x>2时，FX(x)=∫fX(x)dxx−∞=1当0≤x≤2时，FX(x)=∫fX(x)dxx−∞=−x24+x当x<0时，FX(x)=∫fX(x)dxx−∞=∫0dxx−∞=0FX(x)={0，x<0−x24+x，0≤x≤21，x>2八、已知𝐅𝐗(x)与𝐟𝐗(x)中的一种，求P公式：P(a<X<b)=FX(b)−FX(a)=∫fX(x)dxba例1：设X的分布函数FX(x)={0，x<1lnx，1≤x<e1，x≥e，求概率P(x2<4)P(x2<4)=P(−2<x<2)=FX(2)−FX(−2)=ln2−0=ln2例2：设X的密度函数fX(x)={−12x+1，0≤x≤20，其他，求概率P(−1<x<2)P(−1<x<2)=∫fX(x)dx2−1=∫fX(x)dx0−1+∫fX(x)dx207=∫0dx0−1+∫(-12x+1)dx20=0+1=1九、𝐅𝐗(x)或𝐟𝐗(x)含未知数，求未知数公式：FX(−∞)=0，FX(+∞)=1，F上(分段点)=F下(分段点)∫fX(x)dx+∞−∞=1例1：设X的分布函数FX(x)={0，x≤0a+be−λx，x>0(λ>0)，求a和b。FX(+∞)=1⇒a+be−λ·(+∞)=1⇒a+be−∞=1⇒a+be+∞=1⇒a=1F上(0)=F下(0)⇒0=a+be−λ·(0)⇒0=a+be0⇒a+b=0{a=1a+b=0⇒{a=1b=−1例2：设X的密度函数fX(x)={ax+1，0≤x≤20，其他，求常数a。∫fX(x)dx+∞−∞=1⇒∫fX(x)dx0−∞+∫fX(x)dx20+∫fX(x)dx+∞2=1⇒∫0dx0−∞+∫(ax+1)dx20+∫0dx+∞2=1⇒0+2a+2+0=1解得a=−12十、求分布律例1：从编号为1、2、3、4、5、6的6只球中任取3只，用X表示从中取出的最大号码，求其分布律。X可能的取值为3，4，5，6P(X=3)=C22C11C30C63=120P(X=4)=C32C11C20C63=3208P(X=5)=C42C11C10C63=310P(X=6)=C52C11C63=12分布列：十一、已知含有未知数的分布列，求未知数例1：已知分布列如下，求k的值。120+320+310+k=1解得k=12概率论第三课十二、已知X分布列，求Y分布列例1：已知X的分布列，求Y=X2+1的分布列。X−202P0.40.30.3①根据X的所有取值，计算Y的所有取值Y=(−2)2+1=5Y=02+1=1Y=22+1=5②将表格里X那一列对应换成YY515P0.40.30.3化简一下：Y15P0.30.7例2：已知X的分布列，求Y=2X−1的分布列。X34569P12032031012①根据X的所有取值，计算Y的所有取值Y=2×3−1=5Y=2×4−1=7Y=2×5−1=9Y=2×6−1=11②将表格里X那一列对应换成YX57911P12032031012也可以表示成：Y~(5791112032031012)十三、已知𝐅𝐗(𝐱)，求𝐅𝐘(𝐲)例1：设X的分布函数为FX(x)={0，x≤0x2，0<x<11，x≥1，求Y=2X的分布函数。①写出X=?YY=2X⇒X=Y2②用?y替换FX(x)中的x，结果为FX(?y)FX(y2)={0，y2≤0(y2)2，0<y2<11，y2≥1③判断?y中是否有负号若无，则FY(y)=FX(?y)若有，则FY(y)=1−FX(?y)FY(y)=FX(y2)={0，y≤0y24，0<y<21，y≥210例2：设X的分布函数为FX(x)={0，x≤0x2，0<x<11，x≥1，求Y=−X的分布函数。①写出X=?YY=−X⇒X=−Y②用?y替换FX(x)中的x，结果为FX(?y)FX(−y)={0，−y≤0(−y)2，0<−y<11，−y≥1③判断?y中是否有负号若无，则FY(y)=FX(?y)若有，则FY(y)=1−FX(?y)FY(y)=1−FX(−y)={1，y≥01−y2，−1<y<00，y≤−1十四、已知𝐟𝐗(𝐱)，求𝐟𝐘(𝐲)例1：设X的密度函数为fX(x)={1，0<x<10，其他，求Y=2X的密度函数。①写出X=?YY=2X⇒X=Y2②用?y替换fX(x)中的x，结果为fX(?y)fX(y2)={1，0<y<20，其他③令fY=(?y)′·fX(?y)fY=(y2)′·fX(y2)=12·fX(y2)={12，0<y<20，其他④判断?y中是否有负号若无，则fY(y)=fY若有，则fY(y)=−fYfY(y)=fY={12，0<y<20，其他11概率论第四课十五、符合均匀分布，求概率公式：P=满足要求长度总长度例1：设X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值大于3的概率。总长度：3大于3的长度：2PX的取值大于3=23例2：设X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值小于3的概率。总长度：3小于3的长度：1PX的取值小于3=13十六、符合泊松分布，求概率公式：P(X=x)=λxx!e−λ例1：某电话交换台每分钟接到的呼叫数服从参数为5的泊松分布。求在一分钟内呼叫次数不超过6次的概率。X表示一分钟内接到呼叫的次数P(X≤6)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)+P(X=6)=500!e−5+511!e−5+522!e−5+533!e−5+544!e−5+555!e−5+566!e−5=0.7622十七、符合二项分布，求概率公式：P(X=x)=CnxPx(1−P)n−x例1：重复投5次硬币，求正面朝上次数为3次的概率。x=3n=5P(正面朝上)=12P(X=3)=C53(12)3(1−12)5−3=516例2：在二红一绿三个球中有放回地摸3次，求摸到红球次数为2次的概率。12x=2n=3P(摸到红球)=23P(X=2)=C32(23)2(1−23)3−2=49十八、符合指数分布，求概率公式：f(x)={λe−λx，x>00，x≤0{P(a1<X<a2)=∫f(x)dxa2a1P(X<a)=∫f(x)dxa−∞P(X>a)=∫f(x)dx+∞a例1：某种电子元件的使用寿命X(单位:小时)服从λ=12000的指数分布。求：(1)一个元件能正常使用1000小时以上的概率；(2)一个元件能正常使用1000小时到2000小时之间的概率。X的密度函数为f(x)={12000e−x2000，x>00，x≤0(1)P(X>1000)=∫f(x)+∞1000dx=∫12000e−x2000+∞1000dx=e−0.5(2)P(1000<X<2000)=∫f(x)dx20001000=∫12000e−x200020001000dx=−e−1+e−0.5十九、符合正态分布，求概率公式：{P(a<X<b)=Φ(b−μσ)−Φ(a−μσ)P(X<a)=Φ(a−μσ)P(X>b)=1−Φ(b−μσ)例1：设随机变量X服从正态分布N(1.5,4)，求：(1)P(1.5<X<3.5)；(2)P(X<3.5)。[其中：Φ(0)=0.5，Φ(0.75)=0.7734，Φ(1)=0.8413，Φ(2.25)=0.9878]μ=1.5，σ=√4=2(1)P(1.5<X<3.5)=Φ(3.5−1.52)−Φ(1.5−1.52)=Φ(1)−Φ(0)=0.341313(2)P(X<3.5)=Φ(3.5−1.52)=Φ(1)=0.8413二十、正态分布图像公式：①图像关于μ对称②面积表示概率，总面积为1③σ越小，图像越陡例1：例2：14常见分布的其他表示 方法 快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载 均匀分布U[a,b]二项分布B[n,p]指数分布E(λ)正态分布N(μ,σ2)例：①X在[2,5]上服从均匀分布，求X的取值大于3的概率。即X~U[2,5]，求X的取值大于3的概率。②某种电子元件的使用寿X(单位:小时)服从λ=12000的指数分布…即某种电子元件的使用寿命X(单位:小时)服从X~E(12000)…概率论第五课二十一、已知二维离散型分布律，求???例1：已知二维随机变量X，Y的分布律如下表：求：(1)P(X=0)，P(Y=2)(2)P(X<1，Y≤2)(3)P(X+Y=2)(4)X，Y的分布律(5)Z=X+Y的分布律解：(1)P(X=0)=0.2+0.1+0.1=0.4P(Y=2)=0.1+0.2=0.3(2)P(X<1，Y≤2)=0.2+0.1=0.3(3)P(X+Y=2)=0.1+0.3=0.4(4)(5)P(Z=1)=P(X=0,Y=1)=0.215P(Z=2)=P(X=0,Y=2)+P(X=1,Y=1)=0.1+0.3=0.4P(Z=3)=P(X=0,Y=3)+P(X=1,Y=2)=0.1+0.2=0.3P(Z=4)=P(X=1,Y=3)=0.1二十二、已知二维离散型分布律，判断独立性公式：如果任意xi，yi均满足P(X=xi，Y=yi)=P(X=xi)·P(Y=yi)那么X、Y相互独立否则X、Y不相互独立例1：已知二维随机变量X，Y的分布律如下表：请判断X、Y的独立性。例2：已知二维随机变量X，Y的分布律如下表：X、Y是相互独立的，求α、β的值。1616+19+118+13+29+19=1二十三、已知F(x,y)，求f(x,y)公式：f(x,y)=𝜕2F(x,y)𝜕x𝜕y例1：二十四、已知f(x,y)，求F(x,y)例1：已知二维随机变量的联合密度函数f(x,y)={214x2y，x2≤y≤10，其他求F(x,y)。1718例2：已知二维随机变量的联合密度函数为：f(x,y)={x+y，0＜x＜1，0＜y＜10，其他，求F(x,y)。1920二十五、已知F(x,y)，求P公式：P(X≤x0，Y≤y0)=F(x0，y0)例1：二十六、已知f(x,y)，求P例1：21例2：22二十七、求F(x,y)或f(x,y)中含有的未知数公式：F(+∞,+∞)=1，F(−∞,−∞)=0，F(x,−∞)=0，F(−∞,y)=0∫∫f(x,y)+∞−∞+∞−∞dxdy=1例1：23例2：二十八、求均匀分布的f(x,y)与P公式：例1：24概率论第六课二十九、求边缘分布函数公式：FX(x)=F(x,+∞)，FY(y)=F(+∞,y)例1：三十、求边缘密度函数25三十一、判断连续型二维变量的独立性公式：例1：三十二、已知f(x,y)，Z=X+Y，求𝐟𝐙(z)公式：fZ(z)=∫f(x,z−x)+∞−∞dx例1：26三十三、已知f(x,y)，Z=𝐗𝐘，求𝐟𝐙(z)公式：fZ(z)=∫f(yz,y)+∞−∞·|y|dy27三十四、已知f(x,y)，且X,Y相互独立，Z=max(X,Y)，求𝐅𝐙(z)公式：FZ(z)=FX(z)·FY(z)例1：设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为x3+2x，求Z=max(X,Y)的分布函数。三十五、已知f(x,y)，且X,Y相互独立，Z=min(X,Y)，求𝐅𝐙(z)公式：FZ(z)=1−[1−FX(z)]·[1−FY(z)]例1：设随机变量X，Y独立同分布，且X的分布函数为x3+2x，求Z=min{X,Y}的分布函数。概率论第七课三十六、求离散型的期望E(X)公式：E(X)=∑xipi28例1：已知一个工厂一周获利10万元的概率为0.2，获利5万元的概率为0.3，亏损2万元的概率为0.5，该工厂一周内利润的期望是多少？X105−2P0.20.30.5E(X)=∑xipi=10×0.2+5×0.3+(−2)×0.5=2.5（万元）三十七、求连续型的期望𝐄(𝐗)公式：E(X)=∫xf(x)dx+∞−∞例1：三十八、已知𝐘=𝐠(𝐱)，求𝐄(𝐘)公式：离散型E(Y)=∑g(xi)pi，连续型E(Y)=∫g(x)·f(x)dx+∞−∞例1：29例2：三十九、求方差𝐃(𝐗)公式：D(X)=∑[xi−E(X)]2·pi→离散型D(X)=E(X2)−E2(X)→连续型/离散型例1：例2：30D(X)=E(X2)−E2(X)=23−(45)2=275四十、根据𝐄(𝐗)、𝐃(𝐗)的性质进行复杂运算公式：例1：31四十一、𝐄(𝐗)、𝐃(𝐗)与各种分布的综合题公式：例1：例2：概率论第八课四十二、Cov、𝛒𝐗𝐘、D相关类题目公式：32例1：已知A=2X+Y，B=2X−Y，X与Y相互独立，D(X)=D(Y)=1，试求Cov(A,B)。例2：已知D(X)=1，D(Y)=4，ρXY=−0.5，试求D(X+Y)。33四十三、利用切比雪夫不等式求概率公式：P[|X−E(X)|≥ε]≤D(X)ε2(ε为任意正数)例1：四十四、多项独立同分布，求总和怎样的概率公式：例1：34例2：