基于广义可靠性的随机模糊杆系结构优化设计

第!!卷 第"期 应 用 力 学 学 报 #$%&!! ’$&" !(()年*月 !"#$%&%’()*$+,(-+..,#%/0%!"+$#!& !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! +,-&!(() 文章编号："(((./0*0（!(()）(".((!1.(/ 基于广义可靠性的随机模糊杆系结构优化设计" 陈建军 马 芳 马洪波 王小兵 杜 雷 （西安电子科技大学 西安 2"((2"） 摘要：研究了随机参数杆系结构的广义可靠性优化设计问题。导出了随机荷载作用下以模糊许用 值为条件的结构广义可靠度计算公式；建立了以杆截面为设计变量、结构重量均值为目标函数、结 构模糊位移和单元模糊强度广义可靠度为约束条件的优化数学模型；通过引入罚函数，将原广义可 靠性约束优化问题转化为无约束优化问题，利用遗传算法求解。设计结果表明：文中提出的模型和 计算公式是可行有效的。 关键词：广义可靠度；随机结构；随机荷载；可靠性优化设计；罚函数法；遗传算法 中图分类号：34"") 文献标识码： 5 " 引 言 结构 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 和设计中的所有不确定性分别来自于 随机性和模糊性两个方面，前者反映了对未来结果 的不可预测性，用随机概率度量之；后者反映了对已 有现象结果的未确知性，用模糊隶属度度量之。 目前，基于概率（狭义可靠性）的结构优化设计研 究已取得了不少成果［"!*］。狭义的可靠性优化设计 只考虑结构的随机性，且约束条件通常为苛刻的明确 许用界限值，即为一种明确的失效准则。但实际上由 完好到失效是一个循序渐进的过程，因此需要引入合 理的模糊界限来取代武断的“一刀切”失效准则，以便 得到更为合理的设计 方案 气瓶 现场处置方案 .pdf气瓶 现场处置方案 .doc见习基地管理方案.doc关于群访事件的化解方案建筑工地扬尘治理专项方案下载 。文［/］对模糊系统的有限 元分析方法进行了研究。文［)，1］分别研究了结构的 模糊可靠性计算问题。然而，迄今所见到的大部分结 构优化设计模型均属于确定性模型或随机性模型，对 随机与模糊混合型的模型甚为鲜见。 本文将涉及随机模糊模型的结构优化设计问 题，以随机参数杆系（桁架）结构为对象，研究其在随 机荷载作用下，具有模糊位移和模糊强度广义可靠 性约束的优化设计问题。 ! 随机结构的有限元分析 设所分析的结构均为同一种材料，共有!"个单 元。现考虑结构的物理参数：弹性模量#、质量密度 !，和作用荷载$同时具有随机性，其随机性的产生 和工程背景见文［"］。利用有限单元法，任意单元" 在局部坐标系下的刚度矩阵可表为 ［%（"）］6# &" ’" " 7" 7 ［ ］ " " 6#［% （"）］" （"） 其中’"、&" 分别为" 单元的杆长和横截面积； ［%（"）］" 为［%（"）］中的确定性部分，即为当#6" 时的单元刚度矩阵。 进而可得在总体坐标系下单元"的刚度矩阵和 结构的总刚度矩阵分别为 ［%（"）8 ］6#［( （"）］3［%（"）］"［(（"）］6#［% （"） 8 ］ " （!） ［%］6# !" " ［%（"）8 ］6## !" " ［%（"）8 ］" 6#［%］"（*） 其中［(（"）］为"单元的坐标转换矩阵；［%（"）8 ］"， ［%］" 均为确定性矩阵，即分别为总体坐标系下当 " 基金项目：陕西省自然科学基金项目资助（92("(/":） 来稿日期：!((*.(2.*( 修回日期：!((*."!.(0 第一作者简介：陈建军，男，"0)"年生，西安电子科技大学机电工程学院教授，博士生导师; 万方数据 !!"时"单元的刚度矩阵和结构的总刚度矩阵。 这里考虑荷载向量｛#｝幅值的随机性，且荷载 来自于同一荷载源，即其中每一分量#$分散性都相 同，且各分量之间完全正相关。令｛##｝为载荷向量 的均值，!#为一均值为零、方差为!$# 的随机变量， 其概率分布将由具体问题确定。则随机荷载向量 ｛#｝可被表为 ｛#｝!｛##｝%｛!#｝!｛##｝%!#｛%#｝（&） 其中｛%#｝!（"，⋯，"）’，即由!#来体现荷载的随机性。 将式（(）和式（&）代入到结构有限元方程 ［&］｛"｝!｛#｝中，从中解得结构的位移向量｛"｝为 ｛"｝!"! （［&］"）)"｛##｝%"! （［&］"）)"｛!#｝｛%#｝ !"! （［&］"）)"｛##｝%!#! （［&］"）)" （*） 显见，此时的位移｛"｝为随机向量。注意到荷载 的随机性与结构物理参数随机性之间无必然联系， 即两者间的相关系数为零。从而利用代数综合法［+］， 可求得｛"｝的均值和方差分别为 ｛#"｝! " #! （"%$$!）（［&］"）)"｛##｝" ! " #! （"%$$!）｛"｝ （,） ｛!$"｝! $$! # $ ! （｛"$｝）"%（" # $ ! （"%$$!）$!$#% $$! # $ ! !$#）｛#$&｝ （+） 其中#!、!!、$!!!!／#!分别为随机变量!的均值、 均方差和变异系数；｛"｝" !（［&］"）)"｛##｝；｛#&｝ !（［&］"）)"｛%#｝；并在此约定当’为(维列向量 时，记｛’$｝!（)$")$$%)$(）’，以下记法相同。 再利用单元节点位移与单元应力之关系，可导 得各单元应力随机向量的均值和方差分别为 ｛#*"｝!［+］［,］［- （"）］｛#"｝ （-） ｛!$*"｝!［.$］｛!$"｝ （.） 式中［+］、［,］分别为单元的弹性矩阵和几何矩阵， 两者均为定常矩阵；［.］!［+］［,］［- （"）］。 ( 模糊失效准则的处理 通常的失效准则为 /! 0!1"安全状态 0!1"极限状态， 0#1" $ % & 失效状态 0、1分别为结构的响应值和强度值。可见从安 全到失效仅一线之隔，这显然是不完全符合实际情 况的。事实上由安全到失效是一个由完好"部分完 好"部分失效"失效的渐进过程。因此，这里引入 模糊强度来度量安全与否，即将强度值1视为模糊 变量，记为’1。 狭义的可靠度是指响应随机变量0小于强度1 这一随机事件的概率，而本文研究的是响应随机变 量0小于模糊强度’1这一模糊随机事件的概率，即 广义可靠度。这里讨论模糊强度’1的如下情况 适当增大强度1的允许范围，使其隶属度函数与 失效的渐进过程相吻合，即’1拥有如下隶属度函数 #（1）! #， 1#［1］%!1 ") （1)［1］） !1 ，［1］%!1(1(［1］ "， ［1］# $ % & 1 （"#） 式中［1］为原确定强度值；!1 为强度的允许增大 量；1为实际强度值。 隶属度函数确定后，可应用模糊随机事件概率计 算方法求解结构可靠度。本文采用了&水平截集转化 为随机变量的处理方法［+］。若给定&（#!&!"）水 平，对应于模糊强度的&截集（区间）/&为 /&!｛2&，3&｝!｛［1］，［1］%!1)&!1｝（""） 由此可知1在/&内取值，假设1为/&上均匀 分布的随机变量，则可得其概率密度函数为 4（1）!"／（!1)&!1）， 1)/& （"$） 即此时在&水平下，强度1为服从上述均匀分布的 随机变量，则失效事件可描述为/!0(’1。 当给定&值，’1 可记为1&，失效事件的概率可 记为5&!/01｛0(1&｝，其中0、1&均为随机变量。 若已知它们的概率密度函数为4（0），4（1），应用结 构可靠性中的应力)强度干涉理论可得失效概率为 5&!/01｛0(1&｝!* 3& 2& 4（1）［* 1& )2 4（0）30］31 ! 10 /01｛1&!0｝!* 2 )2 4（0）［* 0 )2 4（1）31］30 （"(） 将强度1&的概率密度函数及其取值范围代入 上式，求得&水平模糊强度下的失效概率5&为 5&!401｛0#1&｝!* 3& 2& 4（1）［* 1& )2 4（0）30］31% * 2 ［1］%!1)&!1 4（0）30 （"&） +$第"期 陈建军，等：基于广义可靠性的随机模糊杆系结构优化设计 万方数据 不同的!水平将决定不同的!截集!!，即不同 的强度取值范围。若!在（!，"）内亦呈均匀分布，则 整个强度模糊集上总广义失效概率"及广义可靠 度#$%&’可分别表为 "(! " ! "!（!）)! （"*） #$%&’(+&’｛#"$!｝ (","(",! " ! "!（!）)! （"-） . 具有模糊位移或模糊强度的 随机结构广义可靠度 在前已求得随机物理参数结构在随机荷载作 用下的位移和应力响应。按工程上通常的处理，现假 设结构响应随机变量%（位移或应力）均服从正态分 布，即有：%!/（"#，# 0 #）。为方便计算，现将% 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 化处理，即令：&(（%,"#）／##；同理，对强度$!的 取值范围!!也随%作标准化处理，即有：!1!(［（’! ,"#）／##，（(!,"#）／##］再将它们代入式（".），可 得结构响应#在!水平的模糊强度$! 下的失效概 率为 "!(%&’｛##$!｝ (! （(!,"#）／## （’!,"#）／## &,（’!,"#）／## （(!,’!）／## ·$2%（,& 0／0） 0$" )&3 ! 4 (!,"# ## $2%（,&0／0） 0$" )& （"5） 依据上式关系，可得在!水平模糊位移许用值 下的失效概率为 "!（$）(! 4 ［$］3#$,!#$,") #$ $2%（,&0／0） 0$" )&3 ! ［$］3#$,!#$,"$ ## ［$］,"$ #$ &,（［$］,"$）／#$ （#$,!#$）／#$ ·$2%（,& 0／0） 0$" )& （"6） 式中［$］为原确定位移值；#$为位移的允许增大 量；#$为实际位移值；"$、#$分别为随机变量$的均 值和均方差。 分别将"!（%）和"!（$）代入式（"*）中，可求得 随机结构的位移和应力在整个模糊集上的总广义失 效概率"，再由式（"-）求得广义可靠度#$%&’。在实 际计算中，对式（"*）的积分可做如下简化处理 "("*% * +(" "!+（!+） （"7） 即在（!，"）内均匀取若干个!值，求出对应的 "!+后，再累加取平均值，即可求得总广义失效概率 "的近似值，且所取!值越多，计算结果越精确。 若不考虑位移或强度的模糊性，采取“一刀切” 式的失效准则时，则结构的狭义（随机）可靠度为 ,-.(+&’｛#"$｝(! $ ,4 /（#）)# （0!） * 基于广义可靠性的结构优化 设计 !"# 优化数学模型 考虑结构设计中的一般情况，我们构建了以桁 架各杆截面积为设计变量、以结构总质量均值极小 化为目标函数，同时满足位移和应力广义可靠性约 束以及设计变量上下限约束的结构优化设计模型。 该模型的数学描述为 89:)：｛ ｝! (（!"，!0，⋯，!*0）;， <9:：&1（ ）! (% *0 +(" "%!+2+ （0"） =>?>：#$%&’’$ ,#$%&’｛$!’3 ($3｝"!， （3("，0，⋯，4）（00） #$%&’’%0,#$%&’｛#!’0 (#0｝"!， （0("，0，⋯，*0）（0@） !2"!+"!5， （+("，0，⋯，*0） （0.） 式中｛!｝是设计向量；"%是结构料质量密度随机变 量的均值；!+2+是第+类设计变量的体积；&1（!）是 结构总质量均值；$3，#0均为随机变量，分别表示在 随机荷载作用下结构中第3个自由度的位移和第0 个单元的应力；$!’3 ，#!’0 为模糊变量，分别表示结 构第3个自由度位移和第0个单元应力的模糊许用 量；#$%&’’$，#$%&’’%0 为设计给定的广义可靠度； #$%&’｛·｝表示所求得的广义可靠度；!5，!2分别为 设计变量的上下限；4 为位移约束的数目；*0 为设 计向量的维数。 !"$ 优化方法 优化采用了直接算法中的遗传算法，这是一种 群体型操作算法。由设计变量的编码串构成了群体 中的个体，初始种群中的4个个体即是4种初始设 计方案。该算法的迭代过程是以群体中所有个体为 对象，进行选择、交叉和变异三种基本遗传操作，使 种群重新产生4 种新的设计方案，各种方案的优劣 将通过适应度函数进行比较检测。根据遗传算法的 60 应 用 力 学 学 报 第00 卷 万方数据 适者生存原则，算法最终将收敛于最优解。 现利用罚函数法将所有约束函数直接吸收到新 的目标函数即适应度函数之中，从而原广义可靠度约 束的优化问题被转化为如下无约束最大化优化形式 !"#!（!，"（#））$$%&!%（!）& "（#）" &’’( )$( ［!"#（%，)*+,-#* &)*+,-）］. （./） 其中$%为一保证目标函数值非负的足够大的正常 数；"（#）为第#次迭代中的惩罚因子。由于广义可靠 度均小于(，因此式中的各惩罚项之值均甚小，为达 到惩罚效果，罚因子须取为相对较大的值。 0 算 例 图(所示四杆空间桁架结构，其结构参数为：!+ $1%)+"，!"$.213／4! 5，两者的变异系数均为# $%2%(；各杆的许用应力为［,(6］$6(1/7+"，允 许拓宽范围为6/7+"；自由节点-向的模糊许用位 移为［$-6］$%2(.6%2%(4!。相关正态随机荷载作 用于自由节点上，荷载向量的均值为［+（.(/）， +（.(0），+（.(-）］8 $［(%1，.%1，&0%1］8，变异系 数#.$%2.；设计变量为四杆横截面积$2 $［2(， 2.，25，29］8；约束条件为 图( 四杆空间桁架（单位:;：<:;$./29!!） )*+,-$$+,-｛$-%=［$!#- ］=｝&)*+,-#$ $%2>? )*+,-,($+,-｛,()%=［,(!#］=｝&)*+,-#,($%2>> 23&2!:;$%，（3$(!9），（)$(!9） 取种群规模为9%，交叉概率为%20，变异概率为 %2%(，采用染色体内多点随机交叉。 本文的基于广义可靠度的优化设计结果和文［>］ 的基于狭义（随机）可靠度的优化设计结果见表(。 表( 四杆空间桁架优化结果 （)+为广义可靠度；@,-为狭义可靠度） 结构参数 文［>］优化结果 本文优化结果 2(（4!.） (.2/0/ 02%51 2.（4!.） .>20?> (?2900 25（4!.） .%2%.( ((20.5 29（4!.） (02(?5 /29/% %（A3） >(2/(9 912?0? 位移可靠度 @,-- $(2%%%% )+B$(2%%%% 应力可靠度的最小值 7:;（@,-,(） $%2>>(( 7:;（)+,(） $%2>>%? 1 结 论 (） 文中构建了随机参数桁架结构在随机荷载作 用下具有随机模糊约束的广义可靠性优化设计模 型，这是一种适用范围更广的一般性模型，而常规的 确定性模型和其他的不完全随机性、模糊性模型都 是此种模型中的特例。 .） 文中对广义可靠度的计算公式进行了推导；应用 罚函数法将原广义可靠性约束的优化问题转化为无 约束优化问题，利用遗传算法求解。算例的优化结果 表明：文中提出的模型和计算公式是合理和有效的。 参 考 文 献 ( 陈建军，段宝岩，王德满，我国结构可靠性优化研究综述［C］，计算 力学学报，(>>1，(9（增刊）：911!9?. . 蔡荫林，框架结构的可靠性优化［C］，计算力学学报，(>>>，(0 （5）：.??!.>9 5 马洪波，陈建军，高伟，随机杆系结构的概率优化设计［C］，机械 强度，.%%5，./（5）：5./!5.> 9 D2D2E"-FC"!*G@2D"HI*,，JKBBIL:;:M**<*!*;M"++,-"4NL-, MN*";">/，55（(.）：.509!.51% / 董玉革，朱文予，陈新昭，机械模糊可靠性计算方法的研究［C］， 系统工程学报，.%%%，(/（(）：1!(. 0 黄洪钟，基于模糊失效准则的机械结构广义静强度的模糊可靠性 计算理论［C］，机械强度，.%%%，..（(）：50!9% 1 陈建军，机械和结构系统的可靠性［7］，西安电子科技大学出版 社，(>>9 ? RN*;CCFSK";TU，DM,K4MK,"<-+M:!:B"M:-;VIO:G+<"I:;3MN*,*<:W "V:<:MI4-;GM,":;MG［C］，R-!+KM*,GFDM,K4MK,*G，(>>9，/%（0）：111 !1?5 >.第(期 陈建军，等：基于广义可靠性的随机模糊杆系结构优化设计 万方数据