阻尼作用下的弦振动研究

年 t6卷 蓐 t期 油头大学学报 (白然科学版) 。 Jo~rnsi of Shinto=13nlverslty (Nmtmrd 8d~ e) Vol-16 No r 1 2001 阻尼作用下的弦振动研究 邱桂明 苏建新 邱树业 (汕 头大 学暂理 学 系 -汕头 ，515063) 抽 薹 在求解阻尼作用下的弦振动方程穗盎解的基础 上．讨论了宥阻尼情况下菇上备点 I的摄动情况以及策动力如何传遵能量以扑克由于阻尼所引起的能量摄耗的过甚．它将使毳 们进一步地 了解弦摄动的实际过程 ，并对相差的研究、穗量和教学工作摄供参考和指导】l见． 美■词 驻波 {渡腹{波节；簟动力 中啊分类号 0329 文t标识码 ；A 文章壤号 ：lOOl*4217(2001)01—0073*05 1 引 言 驻波是波动学中的一个重要物理概念，利用驻波法可以测得许多物理量及物理参效 ， 因此驻波实验是普通物理中的一个重要实验．而在驻波实验 中，最简单 、最形象而且物 理意义最明确的一个就是弦振动实验[1]，所以有不少物理学工作者这方面戢了不少有意 义的讨论啪．然而在通常的弦摄动实验的有关讨论中一教都忽略了摄动过程中舶阻尼作 用．而实际过程中阻尼总是存在的，因此考虑阻尼作用下的弦振动过程将更符台实际的 情 况． 2 阻尼作用下的弦振动的驻波解及其物理意义 通 常 的弦振 动实验 装 置如 图 l所示 ．弦 的一 端跨 过 一固 定点后悬 挂 上一砝码 盘 ，通过 调节盘 中砝码的质量即可变更 弦线中的张力；而弦线的另一 端连接在一个受电it励的音叉 上．弦线 在音叉 的激 励下 振动 圈 1 菇摄动宴验装I示童圈 起来．此时，弦线上各点的振动位移显然应满足下列方程和边界条件 ： f挈+zp暑一c =。 。 ≤ 1yI⋯ 一0 【 l一。=Acosot 收稿 日期 ：2000--02—25 作●N彳rt邱桂明 (1962~)，男，广 东汕头市^r讲师 (1) 维普资讯 http://www.cqvip.com 74 汕 头 大 学学 报 (自然 科学 版 ) 第 l6卷 上式中c代表波速 ( =T／p，P代表弦线的线密度，丁代表弦线中的张力)，卢是阻尼因 子．上述方程在复数域的稳态解为： 一 Y1 一 e一‘ 。 + y2e 一 ‘ ’ (2) 其中：n十 一詈√1+ 警 (3) 或写成． 二 。。。 ㈨ 当考虑 卢／ 1，略去 的两阶及其以上小量，则 n—m／c，b~#／c，那末式 (2)就 可写成 一Yle 一 ； ，+ 一一+ ，它表示沿着传播方向衰减的入射波和反射波 的叠加．通常我们只对式 (2)取其实部来描述弦振动的物理直观情况．即： y— Re( )一 IY】Ie—heos(aJt— d + )+ Iy2Ifhcos( +d + ) 把边界条件 y I 。一0代人则有： ly l— lY2I 一 亿 + 一 则： Y— IYlle- os(叫 一Ⅱ + + ly2l c0s( + 口 + 即 y一 2ly1i[chb~rsinaxsin( + 一 shbxcosa~cos(aJt+ ] (5) 如令 ：搠( )一chbzsilla G( )一 ／ 而 n )一 shb．rcosax 则 Y又可表为 ：Y— Zly IG(z)sln[ + P— tg ] 再由边界条件：yI 】一Acos~ot代人可得 ： 一 号+tg。 Zly l—A／G(1) 最后可得 到描述弦振动过 程 的方 程 的稳 态解 为 ： 一 G(z)COS[ +tg-1 一tg-1怒 ] (6) 由上述表达式中我们可以通过讨论得到有关阻尼状态下的弦振动过程的以下几点结 论 ： 1)除 z一0是零点 外，弦上其 它各点 的 振幅都 不为零． 这一点 和无阻尼 的情 况有着 明显的 不 同．然 而这一点从 能量的角度却不 难理 解 ：因 为弦上各点的振动能量 由于阻尼的存在而不断地耗去．因而需要不断地从音叉的振动中 (通过弦)补充能量．如果某一处的振动为零 (即理想节点)，那么该点到固定点处的那 一 段弦线将因得不到能量 的补充而使振动不能维持下去． 2)在弦振动过程中弦线上各波腹点及波节点的振幅沿 方向大小起伏变化，且各波 艘 点＆波节点舶分布上不严格等间距的． 分 析 和计算 的结果 表明 ：在越 接近 策动 澡的地方波节 的振幅越大 ；波腹 的情 况也是 这样．图 2所表示的就是一条长为 0．6m 的弦线在策动信号 一0．001cos~t(m)的策动 下 弦线 上各点 的振幅沿 z的分 布情况 ． 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 1期 邱桂 明等 ：阻尼作用下的弦振动研究 75 图 2 稳定振动 的弦线上各点的振 幅分布情况 而弦线 上各振幅极小值和极大值处的位置，显然应满足： d G( z) = O 即 ：6sh26 +nsin z一0的 条件． 为进一 步对弦 振动各极 值位置分 布有一个 更具体 的 了 解 ，我 们选取 卢 一0．1即 b／a一0．1，通过 数值计算 ，求得 一稳定振 动 的弦线 上各振 幅极 小值和振 幅极大 值所对 应的 z值 ，并列于 下表 ： 寰 1 稳定摄 动的弦线上摄幅极小值和摄●极 大值位置 振 幅极 小值 处的 值 振幅 极大 值处 的 值 ·= 0 2= (1--0 011)毒 一 (1— 0 0l2J 墨 ： ( 0．017) ． 一 (1—0 024) 2 丧中 =等、其中r为波速． 为策动角频率 从表 1可见，弦线上各极值的位置均非等问距分布，而各极小值点也并非落在半波 长的整数倍上．它们均有一微小偏离 ；当fl／'oJ 0．1时，这一差别不超过 3％；而相邻两 极小值 的距离 也不正好 等于 ／2，当 卢／ 一0．1时 ，两 者之问 的差距不超过 5％．各 极大 值的分 布也 有类 似情 况． 3)策 动力位置 对 弦线 上各点振 幅的大小 有显著 的影 响． 保持策动力处振动点 一 c0s“ 的振幅 不变时，变更弦长度或改变策动频率 ．可 以使得式 (6)中的分子恰好取得极小值．这时弦线上振动的各点的振幅均有极大值，而 策动力 源恰 好处 在弦振 动振幅 的极小 值位 置． 因此 当弦振动各点 的振幅不 明显时 ，特别 是对于较小的策动力振幅 的情况，可调整弦的长度或改变策动频率，从而使策动办点 一 一 一 ～¨ ¨一 ^ ^ ^ ) ) ； 2 3 0 l + + + + + ； 1 l = = 一 = = 维普资讯 http://www.cqvip.com 76 汕 头 大学 学报 f自然 科学 版 ) 第 16卷 恰好处在极小值的位置上，这样可以得到较好的实验效果．图 3所列出的就是保持同样 音叉振幅 及弦 ＆不变，而在三种不 同的频率策动下所得到的三种不同的振动状态中， 弦线上各点 的振幅沿 的分布情况．其 中曲线 d表示当弦长大约是二分之一波长的整数 倍时，弦线上各点的振幅都比较大的情况 ；盟线r表示当弦长大约是四分之一波长的奇数 倍时，弦线上各点的振幅都 比较小，驻波现象很不明显的情况；而曲线 b剐表示界乎上述 两种情 况的中 间振 动状 态． ，／m 嚣 3 晕 动 糠处 在三 种不 同 振动 位 it时 噩线 上 吾点 的振 啊分 布1l|况 4)从 能量 的角度看 ，在弦振 动过程 中 ，因为阻尼 的存 在 ，使得 不断地有能量 掼耗 ； 所以，为了维持弦的稳定振动就需要由策动力源不断地把能量从弦的一端传到弦的另一 端，而且由策动力源所提供的能量应等于系统 由于阻尼而损耗的能量． 具 体地 ， 一个 稳定振 动的策动源在～ 个周期 中传给弦 的能量为 ： E】 j。 dt 这里的 尸是弦的端点 z=l处受到策动源施加的力， 是弦在该点的速度． 其中又有： F=71 l 这 里 T是 弦线 中的张力 ，把式 (6)代人 以上式 子可得 ： E，一』 丽AZT lLG7 ( )c。s叫+G( )sin (tg ) l ，](一一in )dt 式中 “ 代表求导． 应用正交 性 ，可得 ： h删 -- bsi ) 另一方面我们可以计算出弦上某一 dx小段在每一个稳定振动的周期内的髓耗为： = 出 = 卢 d 其中 P代表弦的线密度． 维普资讯 http://www.cqvip.com 第 1期 邱桂 明等 ；阻尼作用下的弦振动研究 77 于 是整段弦线 在 的每 一个 稳 定振动 的周期 内的总的耗 为： E2一 l d￡2= I A Ⅻ G ( )dr／G ‘ ) 一 卢 ( 一 ∽ 把式 (4)中的 卢叫一 ab代人，并注意到： 兰丁 ，则有：E =ez这就证 明了策动 源所给出的能量确实全部用来补偿园阻尼存在而损耗 的能量 ．这样的弦振动将能持续稳 定 的振动下 去． 3 结束语 对于实际弦振动过程而言，阻尼总是存在的．所以策动源需要不断地振动以补充能 量，否则弦振动就要停下来．而在阻尼因子 较小的情况下，把各振幅极小值分布近似 地看成等间距分布，而各相邻极小值之间的距离都近似的等于半波长，这样的处理在一 般的测量过程是可以被接受 的．因为在通常的弦振动过程中， 值都非常小 ，一般只有 几十分之一到几百分之一 ，所以对于上述的处理结果其误差只有千分之几左右． 另外，由于策动源的振幅 A通常都很小．如果在实验过程中的恰当地调节弦长或策 动频率，从而使得策动源处在振幅极小值的位置上或其附近，将会使弦振动有一个较大 的振动幅度 ，使有关的实验和测量进行得更加顺利， 参 考 文 1皖 1 扬述 武等 ． 普通 物 理 实验 ：力学 、热 芈 部 分， 北 京 ：高莓 教 育 出版社 、1990． 132— 134 2 黄碍等．弦振动实验 中有关问题的讨 论．物理实验． 1990．19(1)；9一l2 3 集昆毒，教学物理方法．第二版．北京 ：高等教霄出敝社，1978．151 Studies on damped oscillation of string Qiu Guiming Su Jian．．rin Q Shuye (D~partmettt of Physics— Shamou U~iversity． sh n0u·515063) Abstract Based on the steady~olution to the equation for the vibration of the string， this paper discusses the vibration of aIl the points along the string under damped oseilla— tion and how the driving force supplies energy to replace the energy lost in the coarse of damping．This enables us to understand further the practical process of string vibration and facilitates reference to related research，measurement and teaching work． Key words standing wave； wave loop； ~vsve nod； driving force 维普资讯 http://www.cqvip.com