高考专题：三角函数(下) 学科：
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教学内容：三角函数(下) 【例题解析】 例1 完成下列选择题 （1）已知sinα>sinβ，那么下列命题成立的是（ ） A.若α、β是第一象限角，则cosα>cosβ B.若α、β是第二象限，则tanα>tanβ C.若α、β是第三象限角，则cosα>cosβ D.若α、β是第四象限角，则tanα>tanβ （2）下列命题中正确的是（ ） A.y=tanx是增函数 B.y=sinx在第一象限是增函数 C.y= －arccosx是奇函数 D.y=sinx的反函数是y=arcsinx （3）函数y=sin(2x+ )的图象是由函数y=sin2x的图像（ ） A.向左平移 单位 B.向右平移 单位 C.向左平移 单位 D.向右平移 单位 解析 （1）当α，β∈（0， ）时，由sinα>sinβ得α>β，此时cosα
sinβ得,α<β，此时tanαsinβ得，α<β，此时cosαsinβ sin2αcos2β < tan2αtanβ。故
答案
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选D。 （2）y=tanx在每一个定义区间上都是增函数，但在其定义域内并不是增函数；y=sinx在第一象限的每个区间上都是增函数，但在第一象限上并不是增函数；y=arcsinx只是y=sinx，x∈[－ , ]的反函数；令f(x)= －arccosx,则f(－x)= － arccos(－x)=arccosx－ = －f(x)所以y= －arccosx是奇函数。故答案选C。 （3）y=sin2x图像向左平移 单位后得:y=sin2(x+ )=sin(2x+ );y=sin2x图像，向右平移 单位后得y=sin2(x－ )=sin(2x－ );y=sin2x图象向左平移 单位后得：y=sin2(x+ )=sin(2x+ )=sin(2x－ );y=sin2x图像向右平移 单位后得：y=sin2(x－ )=sin(2x－ )=sin(2x+ )，故答案选D。 例2 已知函数f(x)=tan( sinx) （1）求f(x)的定义域和值域； （2）在（－π，π）中，求f(x)的单调区间； （3）判定方程f(x)=tan π在区间（－π，π）上解的个数。 解 （1）∵－1≤sinx≤1 ∴ － ≤ sinx≤ 。又函数y=tanx在x=kπ+ (k∈Z)处无定义， 且 （－ ， ） [－ , ] （－π, π）， ∴令 sinx=± ，则sinx=± 解之得：x=kπ± (k∈Z) ∴f(x)的定义域是A={x|x∈R，且x≠kπ± ，k∈Z} ∵tanx在（－ ， ）内的值域为（－∞，+∞），而当x∈A时，函数y= sinx的值域B满足 （－ ， ） B ∴f(x)的值域是（－∞，+∞）。 （2）由f(x)的定义域知，f(x)在[0，π]中的x= 和x= 处无定义。 设t= sinx，则当x∈[0, )∪（ ， ）∪（ ，π）时，t∈[0, ∪( , ，且以t为自变量的函数y=tant在区间（0， ），（ ， 上分别单调递增。 又∵当x∈[0， ]时，函数t= sinx单调递增，且t∈[0, 当x∈（ ， 时，函数t= sinx单调递增，且t∈（ , 当x∈[ ， 时，函数t= sinx单调递减，且t∈（ , 当x∈（ ，π）时，函数t= sinx单调递减，且t∈（0， ） ∴f(x)=tan( sinx)在区间[0， ,（ , 上分别是单调递增函数；在 上是单调递减函数。 又f(x)是奇函数，所以区间（－ ，0 ，[－ ，－ 也是f(x)的单调递增区间 是f(x)的递减区间。 故在区间（－π，π）中,f(x)的单调递增区间为：[－ ，－ ，（－ ， ），（ ， 单调递减区间为 。 （3）由f(x)=tan π得： tan( sinx)=tan( π) sinx=kπ+ π （k∈Z） sinx=k + (k∈Z)① 又∵－1≤sinx≤1，∴ ∴k=0或k= －1 当k=0时，从①得方程sinx= 当k=1时，从①得方程sinx= － + 显然方程sinx= ,sinx= － + ，在（－π, π）上各有2个解，故f(x)=tan π在区间（－π，π）上共有4个解。 注 本题是正弦函数与正切函数的复合。（1）求f(x)的定义域和值域，应当先搞清楚y= sinx的值域与y=tanx的定义域的交集；（2）求f(x)的单调区间，必须先搞清f(x)的基本性质。如奇偶性、周期性、复合函数单调性等。 例3 化简下列各式 (1)cos3A+cos3( +A)+cos3( －A); (2) + + +…+ 。 解 （1）由三倍角公式cos3α=4cos3α－3cosα得： 原式= cos3A+ cosA+ cos3（ +A）+ cos（ π+A）+ cos3（ －A）+ cos（ －A） = [cos3A+cos3A+cos3A]+ [cosA+cos( +A)+cos( －A)] ∵cosA+cos( +A)+cos( －A) =cosA+2cos cosA =0 ∴原式= cos3A (2) ∵ = = =cotα－cot2α ∴ + + +…+ =cotα－cot2α+cot2α－cot4α+cot4α－cot8α+…+cot32α－cot64α =cotα－cot64α= 注 本题（1）主要是降幂，通过降幂达到化简的目的。（2）利用裂项法求和。三角函数中最好记住一些简单的常用结论。如： =cotα－cot2α,cosA+cos（ +A）+cos（ －A）=0,cos2A+cos2( +A)+cos2( –A)= 等。这样既可提高运算速度又可产生联想的火花。 例4 已知:sin3α+cos3α=1，求sinα+cosα; sin4α+cos4α;sin6α+cos6α的值。 解法一 令sinα+cosα=t，则sinα·cosα= ∴sin3α+cos3α=(sinα+cosα)(sin2α－sinα·cosα+cos2α) =t·(1－ )=1，得： t3－3t+2=0 (t－1)2·(t+2)=0 ∵t≠－2 ∴t=sinα+cosα=1，且sinα·cosα= =0。 ∴sin4α+cos4α=(sin2α+cos2α)2 – 2sin2α·cos2α=1－2·0=1 sin6α+cos6α=(sin2α+cos2α)(sin4α－sin2α·cos2α+cos4α)=1 解法二 ∵sin3α≤sin2α,cos3α≤cos2α ∴sin3α+cos3α≤sin2α+cos2α=1 等号当且仅当 时成立， 或 ∴sinα+cosα=sin4α+cos4α=sin6α+cos6α=1 注 （1）凡是遇到sinx+cosx与sinx·cosx类的问题，均应采用换元法，令sinx+cosx=t，得sinx·cosx= 。 （2）三角中的恒等变形与初中所学整式的恒等变形结合是解本题的关键所在。 （3）本题还可推广到一般情形：若k≥2且sin2k－1α+cos2k－1α=1，则sinα=1，cosα=0或sinα=0,cosα=1，若sin2kα+cos2kα=1，则sinα=±1，cosα=0或sinα=0,cosα=±1。 例5 （1）已知sin( +α)·sin( －α)= , α∈( ,π)，求sin4α； （2）已知 cos(x+ )= , π
证明
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： [ f(x1)+ f(x2)]>f( ) 证明 tanx1+ tanx2= + = = ∵x1,x2∈（0， ），且x1≠x2 ∴2sin(x1+x2)>0,cosx1·cosx2>0,0 =2tan 另证：以上是采用化弦，放缩后利用公式tan = 加以证明的，也可以利用正切的和差角公式加以证明。 左边－右边= [tanx1+tanx2]－tan = [tanx1－tan +tanx2－tan ] = [tan(x1－ )·(1+tanx1·tan )+tan(x2－ )·(1+tanx2·tan )] = tan ·(1+tanx1tan －1－tanx2·tan ) = tan tan (tanx1－tanx2) ∵ ∈(0, ) ∴tan >0 又∵tan 和tanx1－tanx2在x1>x2时，同为正，在x10。 综上 tan tan ·(tanx1－tanx2)>0，即 [f(x1)+f(x2)]>f( ) 注 在三角函数恒等式、条件等式、不等式证明中，常采用化弦法。本题解法一是化弦，了解决把两个分数的单角转化为和角，同时又使函数值适当缩小。 例7 已知三角形ABC的三边a、b、c和对应的三内角A、B、C满足条件： atanA+btanB=(a+b)tan 求证：△ABC是等腰三角形。 证明 由atanA+btanB=(a+b)tan 得：a(tanA－tan )=b·（tan －tanB） 化弦得： a· =b· 两边约去cos ，及正弦定理把a,b换成sinA,sinB，则上式变为 sin = sin ∴sin (tanA－tanB)=0 所以,tanA=tanB或者sin =0 由这两个式子都可以得到A=B，因此△ABC为等腰三角形。 注 （1）三角形中的计算和证明是三角函数的一个重要课题，这里除了应用正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，三个内角的互补关系和它们半角之间的互余关系之外，还有一些独特的解题思路和方法，其中把角的函数化成边或把边化成角的函数是最基本也最常用的方法。 （2）在三角形中有不少有趣的关系式，如:tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC cot +cot +cot =cot ·cot ·cot tan ·tan +tan ·tan +tan ·tan =1 sinA+ sinB+ sinC=4cos ·cos ·cos cosA+ cosB+ cosC=1+4sin ·sin ·sin sinA+sinB+sinC≤ sinA·sinB·sinC≤ cosA+cosB+cosC≤ cosA·cosB·cosC≤ sin +sin +sin ≤ sin ·sin ·sin ≤ 熟悉这些关系式常常会给解某些与三角形有关的题目带来一些方便。 例8 如图，A、B是一矩 OEFG边界上不同的两点，且∠AOB=45°,OE=1,EF= ，设∠AOE=α. （1）写出△AOB的面积关于α的函数关系式f(α); （2）写出函数f(x)的取值范围。 解 （1）∵OE=1，EF= ∴∠EOF=60° 当α∈[0，15°]时，△AOB的两顶点A、B在E、F上，且AE=tanα,BE=tan(45°+α) ∴f(α)=S△AOB= [tan(45°+α)－tanα] = = 当a∈（15°,45°]时，A点在EF上，B点在FG上，且OA= ，OB= ∴ =S△AOB= OA·OB·sin45°= · ·sin45°= 综上得： f(α)= （2）由（1）得：当α∈[0， ]时 f(α)= ∈[ , －1] 且当α=0时，f(α)min= α= 时，f(α)max= －1 当α∈ 时,－ ≤2α－ ≤ f（α）= ∈[ － , ] 且当α= 时，f(α) min= － 当α= 时，f(α) max= 所以f(x) ∈[ , ]。 注 三角函数与其他数学知识有着紧密的关系，它几乎渗透了数学的每一个分支。练习时注意三角函数的综合应用。 例9 已知函数y= cos2x+ sinx·cosx+1 （x∈R）, （1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合； （2）该函数的图像可由y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？ 解 （1）y= cos2x+ sinx·cosx+1 = (2cos2x－1)+ + （2sinx·cosx）+1 = cos2x+ sin2x+ = (cos2x·sin +sin2x·cos )+ = sin(2x+ )+ 所以y取最大值时，只需2x+ = +2kπ,（k∈Z）， 即 x= +kπ,（k∈Z）。 所以当函数y取最大值时，自变量x的集合为{x|x= +kπ,k∈Z} （2）将函数y=sinx依次进行如下变换： （i）把函数y=sinx的图像向左平移 ，得到函数y=sin(x+ )的图像； （ii）把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍（纵坐标不变），得到函数y=sin(2x+ )的图像； （iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 倍（横坐标不变），得到函数y= sin(2x+ )的图像； （iv）把得到的图像向上平移 个单位长度，得到函数y= sin(2x+ )+ 的图像。 综上得到y= cos2x+ sinxcosx+1的图像。 注 本题是2000年全国高考试题，属中档偏容易题，主要考查三角函数的图像和性质。这类题一般有两种解法：一是化成关于sinx,cosx的齐次式，降幂后最终化成y= sin (ωx+ )+k的形式，二是化成某一个三角函数的二次三项式。本题（1）还可以解法如下：当cosx=0时，y=1；当cosx≠0时，y= +1= +1 化简得：2(y－1)tan2x－ tanx+2y－3=0 ∵tanx∈R，∴△=3－8(y－1)(2y－3) ≥0 解之得： ≤y≤ ∴ymax= ，此时对应自变量x的值集为 {x|x=kπ+ ,k∈Z} 例10 已知△ABC的三个内角A、B、C满足：A+C=2B， + =－ ，求cos 的值 解：∵ = －2 ∴ + = －2 将上式化为cosA+cosC= －2 cosAcosC 利用和差化积公式，上式化为 2cos ·cos = － [cos(A+C)+cos(A－C)] 将cos =cos60°= ,cos(A+C)= － 代入上式，得 cos = － cos(A－C) 将cos(A－C)=2cos2( )－1代入上式并整理得： 4 cos2 +2cos －3 =0 （2cos － ）(2 cos +3)=0 ∵2 cos +3≠0，∴2cos － =0，即 。
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