离散数学试
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
与答案试卷一一、填空20%（每题2分）1．设A{x|(xN)且(x5)},B{x|xE且x7}（N：自然数集，E+正偶数）则AB。2．A，B，C表示三个会合，文图中阴影部分的会合表达式为AB。C3．设P，Q的真值为0，R，S的真值为1，则(P(Q(RP)))(RS)的真值=。4．公式(PR)(SR)P的主合取范式为。5．若解释I的论域D仅包含一个元素，则xP(x)xP(x)在I下真值为。6．设A={1，2，3，4}，A上关系图为则R2=。7．设A={a，b，c，d}，其上偏序关系R的哈斯图为则R=。8．图的补图为。9．设A={a，b，c，d}，A上二元运算如下：*abcdaabcdbbcdaccdabddabc那么代数系统
的幺元是，有逆元的元素为，它们的逆元分别为。10．下列图所示的偏序集中，是格的为。二、选择20%（每题2分）1、下列是真命题的有（）A．{a}{{a}}；B．{{}}{,{}}；C．{{},}；D．{}{{}}。2、下列会合中相等的有（）A．{4，3}；B．{，3，4}；C．{4，，3，3}；D．{3，4}。3、设A={1，2，3}，则A上的二元关系有（）个。A．23；B．32；C．233；D．322。4、设R，S是会合A上的关系，则下列说法正确的选项是（）A．若R，S是自反的，则RS是自反的；B．若R，S是反自反的，则RS是反自反的；C．若R，S是对称的，则RS是对称的；D．若R，S是传达的，则RS是传达的。5、设A={1，2，3，4}，P（A）（A的幂集）上规定二元系如下R{s,t|s,tp(A)(|s||t|}则P（A）/R=（）A．A；B．P(A)；C．{{{1}}，{{1，2}}，{{1，2，3}}，{{1，2，3，4}}}；D．{{}，{2}，{2，3}，{{2，3，4}}，{A}}6、设A={，{1}，{1，3}，{1，2，3}}则A上包含关系“”的哈斯图为（）7、下列函数是双射的为（）A．f:IE,f(x)=2x；B．f:NNN,f(n)=；C．f:RI,f(x)=[x]；D．f:IN,f(x)=|x|。（注：I—整数集，E—偶数集，N—自然数集，R—实数集）8、图中从v1到v3长度为3的通路有（）条。A．0；B．1；C．2；D．3。9、下列图中既不是Eular图，也不是Hamilton图的图是（）10、在一棵树中有7片树叶，3个3度结点，其余都是4度结点则该树有（）个4度结点。A．1；B．2；C．3；D．4。三、证明26%１、R是会合X上的一个自反关系，求证：R是对称和传达的，当且仅当和在R中有<.b,c>在R中。（8分）２、f和g都是群到的同态映射，证明是的一个子群。其中C={x|xG1且f(x)g(x)}(8分)３、G=(|V|=v，|E|=e)是每一个面起码由k（k3）条边围成的连通平面k(v2)e2，由此明彼得森（Peterson）是非平面。（11分），k四、逻辑推演16%用CP明下（每小8分）1、ABCD,DEFAF2、x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x)五、计算18%1、会合A={a，b，c，d}上的关系R={,,,}用矩运算求出R的包t(R)。（9分）2、如下所示的表示某七个城市v1,v2,,v7及先算出它之的一些直接通信路造价，出一个
方案
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，使得各城市之能通信而且造价最小。（９分）试卷二试题与答案一、填空20%（每题2分）1、P：你努力，Q：你失。“除非你努力，否你将失”的翻；“然你努力了，可是失了”的翻。2、域D={1，2}，指定PP(1,1)P(1,2)P(2,1)P(2,2)TTFF公式xyP(y,x)真。2、S={a1，a，⋯，a}，B是S的子集，由B31所表达的子集是28i。3、设A={2，3，4，5，6}上的二元关系R{x,y|xyx是质数}，则R=（列举法）。R的关系矩阵MR=。5、设A={1，2，3}，则A上既不是对称的又不是反对称的关系R=；A上既是对称的又是反对称的关系R=。6、设代数系统，其中A={a，b，c},*abcaabcbbbc则幺元是；是否有幂等cccb性；是否有对称性。7、4阶群必是群或群。8、下面偏序格是分派格的是。9、n个结点的无向完全图Kn的边数为，欧拉图的充要条件是。10、公式(P(PQ))((PQ)R的根树表示为。二、选择20%（每题2分）1、在下述公式中是重言式为（）A．(PQ)(PQ)；B．C．(PQ)Q；D．(PQ)((PQ)(QP))；P(PQ)。2、命题公式(PQ)(QP)中极小项的个数为（），成真赋值的个数为（）。A．0；B．1；C．2；D．3。3、设S{,{1},{1,2}}，则2S有（）个元素。A．3；B．6；C．7；D．8。4、设S{1,2,3}，定义SS上的等价关系R{a,b,c,d|a,bSS,c,dSS,adbc}则由R产生的SS上一个区分共有（）个分块。A．4；B．5；C．6；D．9。5、设S{1,2,3}，S上关系R的关系图为则R拥有（）性质。A．自反性、对称性、传达性；B．反自反性、反对称性；C．反自反性、反对称性、传达性；D．自反性。6、设,为普通加法和乘法，则（）S,,是域。A．S{x|xab3,a,bQ}B．S{x|x2n,a,bZ}C．S{x|x2n1,nZ}D．S{x|xZx0}=N。7、下面偏序集（）能组成格。8、在如下的有向图中，从V1到V4长度为3的道路有（）条。A．1；B．2；C．3；D．4。9、在如下各图中（）欧拉图。10、设R是实数会合，“”为普通乘法，则代数系统是（）。A．群；B．独异点；C．半群。三、证明46%1、设R是A上一个二元关系，S{a,b|(a,bA)(对于某一个cA,有a,cR且c,bR)}试证明若R是A上一个等价关系，则S也是A上的一个等价关系。（9分）2、用逻辑推理证明：所有的舞蹈者都很有风采，王华是个学生且是个舞蹈者。因此有些学生很有风采。11分）3、若f:AB是从A到B的函数，定义一个函数g:B2A对随意bB有g(b){x|(xA)(f(x)b)}，证明：若f是A到B的满射，则g是从B到2A的单射。（10分）4、若无向图G中只有两个奇数度结点，则这两个结点一定连通。（8分）5、设G是拥有n个结点的无向简单图，其边数Hamilton图（8分）m1(n1)(n2)22，则G是四、计算14%1、设是一个群，这里+是模6加法，Z={[0]，[1]，[2]，[3]，[4]，[5]}，6666试求出的所有子群及其相应左陪集。（7分）2、权数1，4，9，16，25，36，49，64，81，100结构一棵最优二叉树。（7分）试卷二答案：试卷三试题与答案一、填空20%（每空2分）1、设f，g是自然数集N上的函数xN,f(x)x1,g(x)2x，则fg(x)。2、设A={a，b，c}，A上二元关系R={,,,},则s（R）=。3、A={1，2，3，4，5，6}，A上二元关系T{x,y|xy是素数}，则用列举法T=；T的关系图为；T拥有性质。4、集合A{{,2},{2}}的幂集2A=。5、P，Q真值为0；R，S真值为1。则wff(P(RS))((PQ)(RS))的真值为。6、wff((PQ)R)R的主合取范式为。7、设P（x）：x是素数，E(x)：x是偶数，O(x)：x是奇数N(x,y)：x能够整数y。则谓词wffx(P(x)y(O(y)N(y,x)))的自然语言是。8、谓词wffxy(z(P(x,z)P(y,z))uQ(x,y,u))的前束范式为。二、选择20%（每题2分）1、下述命题公式中，是重言式的为（）。A、(pq)(pq)；B、(pq)((pq))(qp))；C、(pq)q；D、(pp)q。2、wff(pq)r的主析取范式中含极小的个数（）。A、2；B、3；C、5；D、0；E、8。3、定推理x(F(x)G(x))F(y)G(y)xF(x)F(y)G(y)xG(x)x(F(x)G(x))xG(x)推理程中在（）。PUS①PES③T②④IUG⑤A、①->②;B、②->③;C、③->④;D、④->⑤;E、⑤->⑥4、S={1，2，⋯，8，9}，S={2，4，6，8}，S={1，3，5，7，9}，S={3，4，5}，12345XS1且XS3下X与（）会合相等。S={3，5}，在条件A、X=S或S；B、X=S或S；2545C、X=S1，S2或S4；D、X与S1，⋯，S5中任何会合都不等。5、R和S是P上的关系，P是所有人的会合，R{x,y|x,yPx是y的父亲}，S{x,y|x,yPx是y的母亲}S1R表示关系（）。A、{x,y|x,yPx是y的丈夫}；B、{x,y|x,yPx是y的孙子或孙女}；C、；D、{x,y|x,yPx是y的祖父或祖母}。6、下面函数（）是射而非射。A、f:RR,f(x)x22x1；B、f:ZR,f(x)lnx；C、f:RZ,f(x)[x],[x]表示不大于x的最大整数；D、f:RR,f(x)2x1。其中R数集，Z整数集，R+，Z+分表示正数与正整数集。7、S={1，2，3}，RS上的关系，其关系R拥有（）的性。A、自反、称、；B、什么性也没有；C、反自反、反称、；D、自反、称、反称、。8、S{,{1},{1,2}}，有（）S。A、{{1,2}}；B、{1,2}；C、{1}；D、{2}。9、A={1,2,3}，A上有（）个二元关系。A、23；B、32；C、223；D、232。10、全体小合取式（）。A、可足式；B、矛盾式；C、永真式；D、A，B，C都有可能。三、用CP规则证明16%（每题8分）1、ABCD,DEFAF2、x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x)四、（14%）会合X={<1,2>,<3,4>,<5,6>,⋯}，R={<,>|x1+y2=x2+y1}。1、明R是X上的等价关系。（10分）2、求出X对于R的商集。（4分）五、（10%）会合A={a,b,c,d}上关系R={,,,}要求1、写出R的关系矩和关系。（4分）2、用矩运算求出R的包。（6分）六、（20%）1、（10分）f和g是函数，明fg也是函数。2、（10分）函数g:STf:TS，明f:TS有一左逆函数当且当f是入射函数。答案：一、填空20%（每空2分）1、2(x+1)；2、{a,a,a,b,a,c,c,c,b,a,c,a}；3、{2,1,3,1,5,1,4,2,6,2,6,3；4、反对称性、反自反性；4、{,{{,2}},{{2}},{{,2},{2}}}；5、1；6、(PQR)(PQR)(PQR)；7、随意x，如果x是素数则存在一个y，y是奇数且y整除x；8、xyzu(P(x,z)P(y,z)Q(x,y,u))。二、选择20%（每题2分）题目12345678910答案CCCCABDADC三、证明16%(每题8分)1、①AP（附加前提）②ABT①I③ABCDP④CDT②③I⑤DT④I⑥DET⑤I⑦DEFP⑧FT⑥⑦I⑨AFCP2、xP(x)xQ(x)(x)P(x)xQ(x)此题可证x(P(x)Q(x))(xP(x)xQ(x)①(xP(x))P（附加前提）②x(P(x))T①E③P(a)ES②④x(P(x)Q(x))⑤P(a)Q(a)Q(a)⑦xQ(x)⑧(xP(x)xQ(x)四、14%（1）证明：1、自反性：x,yx,y,x,yPUS④T③⑤IEG⑥CPX,由于xyxyR自反2、对称性：x1,y1X,x2,y2X当x1,y1,x2,y2R时即x1y2x2y1也即x2y1x1y2故x2,y2,x1,y1RR有对称性3、传达性：x1,y1X,x2,y2Xx3,y3X当x1,y1,x2,y2R且x2,y2,x3,y3R时x1y2x2y1(1)即y3x3y2(2)x2(1)(2)x1y2x2y3x2y1x3y2即x1y3x3y1故x1,y1,x3,y3RR有传达性由（1）（2）（3）知：R是X上的先等价关系。2、X/R={[1,2]R}五、10%0100MR101000011、0000；关系图1010MR2MRMR010100002、0000MMM0101MR21010R3MR000000001010MR30101MR2R4MR00000000MR5MR3,MR6MR4,1111MRMR2MR1111t(R)3MR400100000t(R)={,,,,,,,,}。六、20%fg{x,y|xdomfxdomgyf(x)yg(x)}1、（1）{x,y|xdomfdomgyf(x)g(x)}令hfgdomfgdomh{x|xdomfdomg,f(x)g(x)}（2）h{x,y|xdomfdomgyh(x)f(x)g(x)}xdomh若有y1,y2使得y1h(x)f(x)g(x),y2h(x)f(x)g(x)由于f(或g)是函数,有y1y2即xdomh有唯一y使得yh(x)fg也是函数。2、证明：""若f有一左逆g,则对tTgf(t)t故gf是入射,所以f是入射。""f是入射,f:T定义如下:Ssf(T),由f入射,|tT,使f(t)s此季节g(s)t,若sf(T)令g(s)cT则对s只有一个值t或c且若f(t)sS,g(s)则gf(t)g(s)t,故g是f的左逆元即若f入射,必能结构函数g,使g为f左逆函数。试卷四试题与答案一、填空10%（每题2分）1、若P，Q，为二命题，PQ真值为0当且仅当。2、命题“对于随意给定的正实数，都存在比它大的实数”令F(x)：x为实数，L(x,y):xy则命题的逻辑谓词公式为。3、谓词合式公式xP(x)xQ(x)的前束范式为。4、将量词辖域中出现的和指导变元互换为另一变元符号，公式其余的部分不变，这种
方法
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称为换名规则。5、设x是谓词合式公式A的一个客体变元，A的论域为D，A(x)对于y是自由的，则被称为存在量词消去规则，记为ES。二、选择25%（每题2.5分）1、下列语句是命题的有（）。A、明年中秋节的晚上是晴天；B、xy0；C、xy0当且仅当x和y都大于0；D、我正在谎话。2、下列各命题中真值为真的命题有（）。A、2+2=4当且仅当3是奇数；B、2+2=4当且仅当3不是奇数；C、2+2≠4当且仅当3是奇数；D、2+2≠4当且仅当3不是奇数；3、下列符号串是合式公式的有（）A、PQ；B、PPQ；C、(PQ)(PQ)；D、(PQ)。4、下列等价式成立的有（）。A、PQQP；B、P(PR)R；C、P(PQ)Q；D、P(QR)(PQ)R。5、若A1,A2An和B为wff，且A1A2AnB则（）。A、称A1A2An为B的前件；B、称B为A1,A2An的有效结论C、当且仅当A1A2AnBF；D、当且仅当A1A2AnBF。6、A，B为二合式公式，且AB，则（）。A、AB为重言式；B、A*B*；C、AB；D、A*B*；E、AB为重言式。7、“人老是要死的”谓词公式表示为（）。（论域为全总个体域）M(x)：x是人；Mortal(x)：x是要死的。A、M(x)Mortal(x)；B、M(x)Mortal(x)C、x(M(x)Mortal(x))；D、x(M(x)Mortal(x))8、公式Ax(P(x)Q(x))的解释I为：个体域D={2}，P(x)：x>3,Q(x)：x=4则A的真值为（）。A、1；B、0；C、可知足式；D、无法判断。9、下列等价关系正确的选项是（A、x(P(x)Q(x))xP(x)B、x(P(x)Q(x))xP(x)C、x(P(x)Q)xP(x)D、x(P(x)Q)xP(x)10、下列推理
步骤
新产品开发流程的步骤课题研究的五个步骤成本核算步骤微型课题研究步骤数控铣床操作步骤
错在（①x(F(x)G(x))F(y)G(y)xF(x)F(y)G(y)xG(x)）。xQ(x)；xQ(x)；；。）。PUS①PES③T②④IEG⑤A、②；B、④；C、⑤；D、⑥三、逻辑判断30%1、用等值演算法和真值表法判断公式A((PQ)(QP))(PQ)的类型。（10分）2、下列问题，若成立请证明，若不可立请举出反例：（10分）（1）已知ACBC，问AB成立吗？（2）已知AB，问AB成立吗？3、如果厂方拒绝增加薪资，那么罢工就不会停止，除非罢工超过一年并且工厂撤换了厂长。问：若厂方拒绝增加薪资，面罢工刚开始，罢工是否能够停止。（10分）四、计算10%1、设命题A1，A2的真值为1，A3，A4真值为0，求命题(A1(A2(A3A1)))(A2A4)的真值。（5分）2、利用主析取范式，求公式(PQ)QR的种类。（5分）五、谓词逻辑推理15%符号化语句：“有些人喜欢所有的花，可是人们不喜欢杂草，那么花不是杂草”。并推证其结论。六、证明：（10%）设论域D={a,b,c}，求证：xA(x)xB(x)x(A(x)B(x))。答案：六、填空10%（每题2分）1、P真值为1，Q的真值为0；2、x(F(x)L(x,0)y(F(y)L(y,x))；3、x(P(x)Q(x))；4、拘束变元；5、xA(x)A(y)，y为D的某些元素。七、选择25%（每题2.5分）题目12345678910答案A,CA,DC,DA,DB,CA,B,C,D,ECAB(4)八、逻辑判断30%1、（1）等值演算法A((PQ)(QP))(PQ)(PQ)(PQ)T（2）真值表法PQPQQP(PQ)(QP)PQA1111111100100101100010011111所以A为重言式。2、（1）不可立。若取CT则ATTBTT有ACBCTA与B不一定等价，可为随意不等价的公式。（2）成立。证明：AB充要条件ABTT(AB)(BA)(AB)(BA)即：(BA)(AB)(AB)(BA)AB所以ABT故AB。3、解：设P：厂方拒绝增加薪资；Q：罢工停止；R罢工超壶过一年；R：撤换厂长前提：P((RS)Q),P,R结论：Q①P((RS)Q)P②PP③(RS)QT①②I④RP⑤RST④I⑥(RS)T⑤E⑦QT③⑥I罢工不会停止是有效结论。四、计算10%(1(100)))(11)(1(10)1（1）解：(10)1111(PQ)QR(PQ)(QR)（2）(PQ)(QR)PQQRF它无成真赋值，所以为矛盾式。五、谓词逻辑推理15%解：M(x):x是人;F(x):x是花;G(x):x是杂草;H(x,y):x喜欢yx(M(x)y(F(y)H(x,y)))x(M(x)y(G(y)H(x,y)))x(F(x)G(x))证明：⑴x(M(x)y(F(y)H(x,y)))⑵M(a)y(F(y)H(a,y))⑶M(a)y(F(y)H(a,y))⑸x(M(x)y(G(y)H(x,y)))⑹M(a)y(G(y)H(a,y))⑺y(G(y)H(a,y))⑻y(H(a,y)G(y))⑼F(z)H(a,z)⑽H(a,z)G(z)⑾F(z)G(z)⑿x(F(x)G(x))九、证明10%PES⑴T⑵IT⑵IPUS⑸T⑶⑹IT⑺EUS⑷US⑻T⑼⑽IUG⑾xA(x)xB(x)(A(a)A(b)A(c)(B(a)B(b)B(c)(A(a)B(a))(A(a)B(b))(A(a)B(c))(A(b)B(a))(A(b)B(b))(A(b)B(c))(A(c)B(a))(A(c)B(b))(A(c)B(c))(A(a)B(a))(A(b)B(b))(A(c)B(c)x(A(x)B(x))试卷五试题与答案一、填空15%（每空3分）1、设G为9阶无向图，每个结点度数不是5就是6，则G中起码有个5度结点。2、n阶完全图，Kn的点数X(Kn)=。3、有向图中从v1到v2长度为2的通路有条。4、设[R，+，·]是代数系统，如果①[R，+]是互换群②[R，·]是半群③则称[R，+，·]为环。5、设[L,,]是代数系统，则[L,,]知足幂等律，即对aL有。二、选择15%（每题3分）1、下面四组数能组成无向简单图的度数列的有（）。A、（2，2，2，2，2）；C、（1，1，2，2，2）；2、下列图中是哈密顿图的为（B、（1，1，2，2，3）；D、（0，1，3，3，3）。）。3、如果一个有向图D是强连通图，则D是欧拉图，这个命题的真值为（）A、真；B、假。4、下列偏序集（）能组成格。s{1,1,2,1,3,1,4}5、设234，*为普通乘法，则[S，*]是（）。A、代数系统；B、半群；C、群；D、都不是。三、证明48%1、（10%）在起码有2个人的人群中，起码有2个人，他有相同的朋友数。2、（8%）若G中恰有两个奇数度点，两个点是通的。3、（8%）明在6个点12条的通平面中，每个面的面数都是4、（10%）明循群的同像必是循群。3。5、（12%）[B,,,,0,1]是布代数，定运算*a*b(ab)(ab)，求[B，*]是阿群。四、计算22%1、在二叉中1）求2，3，5，7，8的最二叉T。（5分）2）求T的二元前。（5分）2、下所示中最投路并求出投路度（局在D点）。答案：一、填空（15%）每空3分1、6；2、n；3、2；4、+·分派且·+分派均成立；5、aaa且aaa。二、选择（15%）每题3分目12345答案A,BB,DBCD三、证明（48%）1、（10分）明：用n个点v1，⋯，vn表示n个人，组成点集V={v1，⋯，vn}，E{uv|u,vV,且u,v是朋友（uv）}，无向G=（V，E）G中起码有两个点度数相同。事上，（1）若G中孤立点个数大于等于2，成立。（2）若G中有一个孤立点，G中的起码有3个点，既不考孤立点。G中每个点度数均大于等于1，又因G，所以每个点度数都小于等于n-1，由于G中n点其度数取只能是1，2，⋯，n-1，由巢原理，必然起码有两个点度数是相同的。2、（8分）：G中两个奇数度点分u，v。若u，v不通起码有两个通分支G1、G2，使得u，v分属于G1和G2。于是G1与G2中各含有一个奇数度点，与握手定理矛盾。因而u，v必通。3（8分）：n=6,m=12欧拉公式n-m+f=2知f=2-n+m=2-6-12=8由基本定理知：deg(F)2m24，而deg(Fi)3，所以必有deg(Fi)3，即每个面用3条成。4（10分）：循群[A，·]的生成元a，同映射f，同像[f（A），*]，于是an,amA都有f(anam)f(an)*f(am)n=1有f(a)f(a)n=2,有f(a2)f(aa)f(a)*f(a)(f(a))2若n=k-1有f(ak1)(f(a))k1n=k，f(ak)f(ak1a)f(ak1)*f(a)(f(a))k1*f(a)(f(a))k表示，f(A)中每一个元素均可表示(f(a))n，所以[f(A),*]f(a)生成的循群。5、：（1）交律：a,bB有a*b(ab)(ab)(ba)(ba)b*a（2）合律：a,b,cB有(a*b)*c(abcabcabcabc而：((ab)(ab))*c(((ab)(ab))c)((ab)(ab))cabc)((ab)(ab))cabc(aaabbabb)cabcbacabcabcabcabca*(b*c)a*((bc)(bc))(a(bc)(bc))((a(bc)(bc))a(bc)(bc)abcabcabcabcabcabc(a*b)*ca*(b*c)（3）幺：aB有a*0(a0)(a0)a0a0*a(0a)(0a)0aa0是[B，*]幺元。（4）逆：aBa*a(aa)(aa)000a是a的逆元。综上所述：[B，*]是阿贝尔群。四、计算（22%）1、（10分）（1）（5分）由Huffman方法,得最正确二叉树为：（2）（5分）最正确前缀码为：000，001，01，10，112、（12分）图中奇数点为E、F，d(E)=3,d(F)=3,d(E,F)=28p=EGF复制道路EG、GF，得图G‘，则G‘是欧拉图。D开始找一条欧拉回路：DEGFGEBACBDCFD。道路长度为：35+8+20+20+8+40+30+50+19+6+12+10+23=281。试卷六试题与答案一、填空15%（每题3分）1、n阶完全图结点v的度数d(v)=。2、设n阶图G中有m条边，每个结点的度数不是k的是k+1，若G中有Nk个k度顶点，Nk+1个k+1度极点，则Nk=。3、算式((a(b*c)*d)(e*f)的二叉树表示为。4、如图给出格L，则e的补元是。5、一组学生，用二二扳腕子比赛法来测定臂力的大小，则幺元是。二、选择15%（每题3分）1、设S={0,1,2,3},≤为小于等于关系，则{S，≤}是（）。A、群；B、环；C、域；D、格。2、设[{a,b,c}，*]为代数系统，*运算如下：*abcaabcbbaccccc则零元为（A、a；）。B、b；C、c；D、没有。3、如右图相对于完全图K5的补图为（）。4、一棵无向树T有7片树叶，3个3度极点，其余极点均为4度。则T有（）度结点。A、1；B、2；C、3；D、4。5、设[A，+，·]是代数系统，其中+，·为普通加法和乘法，则A=（）时，[A，，·]是整环。A、{x|x2n,nZ}；B、{x|x2n1,nZ}；C、{x|x0,且xZ}；D、{x|xab45,a,bR}。三、证明50%n2m1、设G是（n,m）简单二部图，则4。（10分）m1(n1)(n2)2、设G为拥有n个结点的简单图，且2，则G是连通图。（10分）3、记“开”为1，“关”为0，反应电路规律的代数系统[{0，1}，+，·]的加法运算和乘法运算。如下：+01·01001000110101证明它是一个环，并且是一个域。（14分）4、[L,,]是一代数格，“≤”为自然偏序，则[L，≤]是偏序格。（16分）四、10%设E(x1,x2,x3)(x1x2)(x2x3)(x2x3)是布尔代数[{0,1},,,]上的一个布尔表达式，试写出E(x1,x2,x3)的析取范式和合取范式（10分）五、10%如下列图所示的赋权图表示某七个城市v1,v2,,v7及预先算出它们之间的一些直接通信成路造价（单位：万元），试给出一个
设计
领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计
方案，使得各城市之间既能够通信又使总造价最小。答案：一、填空15%（每题3分）1、n-1；2、n(k+1)-2m；3、如右；4、0；5、臂力小者二、15%（每小3分）目12345答案DCAAD三、明50%（1）：G=（V，E）VXY,Xn1,Yn2,n1n2n完全二部有mn1n2n1(nn1)n12n1n(n1n)2n224n1nn22，完全二部(n,m)的数m有最大4当n2(n,m)m4故随意二部有。（2）：反法：若G不通，不妨G可分红两个通分支G1、G2，假G1和G2的点数分n1和n2，然n1n2nn11n21n1n1n2n1mn1(n11)n2(n21)(n1)(n1n22)(n1)(n2)2222与假矛盾。所以G通。3）（1）[{0，1}，+，·]是[{0，1}，+]是交群乘：由“+”运算表知其封性。由于运算表的称性知：+运算可交。群：（0+0）+0=0+（0+0）=0；（0+0）+1=0+（0+1）=1；0+1）+0=0+（1+0）=1；（0+1）+1=0+（1+1）=0；（1+1）+1=1+（1+1）=0⋯⋯合律成立。幺：幺元0。逆：0，1逆元均其本身。[{0，1}，·]是半群乘：由“·”运算表知封群：（0·0）·0=0·（0·0）=0；（0·0）·1=0·（0·1）=0；0·1）·0=0·（1·0）=0；（0·1）·1=0·（1·1）=0；1·1）·1=1·（1·1）=0。③·对+的分派律x,y{0,1}0·（x+y）=0=0+0=(0·x)+(0·y)；Ⅱ1·（x+y）当x=y(x+y)=0则1(xy)10000(10)(10)(1x)(1y)11(11)(11)；当xy（xy1）则1(xy)1110(11)(10)(1x)(1y)11(10)(11)0所以x,y,z{0,1}均有z(xy)(zx)(zy)同理可证：(xy)z(xz)(yz)所以·对+是可分派的。由①②③得，[{0，1}，+，·]是环。2）[{0，1}，+，·]是域因为[{0，1}，+，·]是有限环，故只要证明是整环即可。①乘交环：由乘法运算表的对称性知，乘法可互换。②含幺环：乘法的幺元是1③无零因子：1·1=1≠0因此[{0，1}，+，·]是整环，故它是域。4、证：（1）“≤”是偏序关系，≤自然偏序a,bLaba①反自反性：由代数格幂等关系：aaaaa。②反对称性：a,bL若ab,ba即：aba,bab，则aabbabba③传达性：ab,bc则：ac(ab)cab即abaa(bc)联合律abbc即bcbaab即abaac（2）x,yL在L中存在{x,y}的下（上）确界设x,yL则：xyinf{x,y}事实上：x(xy)(xx)yxyxyx同理可证:xyy若{x,y}有另一下界c，则c(xy)(cx)ycyccxyxy是{x,y}最大下界，即xyinf{x,y}同理可证上确界情况。四、14%解：函数表为：x1x2x3E(x1,x2,x3)00000011010001111000101111011111E(x1,x2,x3)(x1x2x3)(x1x2x3)(x1x2x3)析取范式：(x1x2x3)(x1x2x3)合取范式：E(x1,x2,x3)(x1x2x3)(x1x2x3)(x1x2x3)五、10%解：用库斯克（Kruskal）算法求产生的最优树。算法为：w(v1,v7)1选e1v1v7w(v7,v2)4选e2v7v2w(v7,v3)9选e3v7v3w(v3,v4)3选ev3v4w(v4,v5)17选ev4v5w(v1,v6)23选ev1v6结果如图：树权C(T)=23+1+4+9+3+17=57（万元）即为总造价试卷七试题与答案一、填空15%（每题3分）1.任何(n,m)图G=(V,E),边与极点数的关系是。2.当n为时,非平庸无向完全图Kn是欧拉图。已知一棵无向树T有三个3极点,一个2度极点,其余的都是1度极点,则T中有个1度极点。4.n阶完全图Kn的点色数X(KN)=。一组学生,用两两扳腕子比赛来测定臂力大小,则幺元是。二、选择15%（每题3分）1、下面四组数能组成无向图的度数列的有()。A、2,3,4,5,6,7；B、1,2,2,3,4；C、2,1,1,1,2；D、3,3,5,6,0。2、图的毗邻矩阵为()。100011110100010001011111001101011101111111011101A、1000；B、1111；C、1000；D、1000。3、下列几个图是简单图的有()。A.G=(V,E),其中V={a,b,c,d,e},E1={ab,be,eb,ae,de}；1111B.G2=(V2,E2)其中V2=V1,E2={,,,,,}；C.G=(V3,E3),其中V3=V1,E3={ab,be,ed,cc}；D.G=(V,E),其中V=V,E={（a,a）,（a,b）,（b,c）,（e,c）,（e,d）}。444144、下列图中是欧拉图的有()。5、G(2S,)，其中S{1,2,3}，为会合对称差运算，则方程{1,2}x{1,3}的解为（）。A、{2,3}；B、{1,2,3}；C、{1,3}；D、。三、证明34%1、证明：在起码有2个人的人群中，起码有2个人，他的有相同的朋友数。（8分）2、若图G中恰有两个奇数极点，则这两个极点是连通的。（8分）3、证明：在6个结点12条边的连通平面简单图中，每个面的面度都是3。（8分）4、证明循环群的同态像必是循环群。（10分）四、中国邮递员问题13%求带权图G中的最优投递路线。邮局在v1点。五、根树的应用13%在通讯中，八进制数字出现的频次如下：0：30%、1：20%、2：15%、3：10%、4：10%、5：5%、6：5%、7：5%求传输它们最正确前缀码（写出求解过程）。六、10%B4={e,a,b,ab}，运算*如下表，*eababeeababaaeabbbbabeaababbae是一个群（称作Klein四元群答案：十、填空15%（每小3分）d(v)2m；2、奇数；3、5；4、n；5、臂力小者1、vV十一、15%（每小3分）目12345答案BCBBA十二、明34%1、（10分）明：用n个点v，⋯，v表示n个人，组成点集V={v1，⋯，vn}，1nE{uv|u,vV,且u,v是朋友（uv）}，无向G=（V，E）G中起码有两个点度数相同。事上，（1）若G中孤立点个数大于等于2，成立。（2）若G中有一个孤立点，G中的起码有3个点，不考孤立点。G中每个点度数均大于等于1，又因G，所以每个点度数都小于等于n-1，由于G中点数到只能是1，2，⋯，n-1n-1个数，因而取n-1个的n个点的度数起码有两个点度数是相同的。2、（8分）：G中两个奇数度点分u，v。若u，v不通，即它中无任何通路，起码有两个通分支G1、G2，使得u，v分属于G1和G2。于是G1与G2中各含有一个奇数度点，与握手定理矛盾。因而u，v必通。3、（8分）：n=6,m=12欧拉公式n-m+f=2知f=2-n+m=2-6-12=8由基本定理知：deg(F)2m24，而deg(Fi)3，所以必有deg(Fi)3，即每个面用3条成。4、（10分）证：设循环群[A，·]的生成元为a，同态映射为f，同态像为，于是an,amA都有f(anam)f(an)*f(am)对n=1有f(a)f(a)n=2,有f(a2)f(aa)f(a)*f(a)(f(a))2若n=k-1时有f(ak1)(f(a))k1对n=k时，f(ak)f(ak1a)f(ak1)*f(a)(f(a))k1*f(a)(f(a))k这表示，f(A)中每一个元素均可表示为(f(a))n，所以是以f(a)生成元的循环群。十三、中国邮递员问题14%解：图中有4个奇数结点，d(v1)3,d(v2)5,d(v3)3,d(v5)5（1）求v1,v2,v3,v5任两结点的最短路d(v1v2)3,d(v2v3)5,d(v1v5)4,d(v2v3)2,d(v2v5)3,d(v3v5)4p1v1v2,p2v1v2v3,p3v1v7v5,p4v2v3,p5v2v6v5,p6v3v7v5再找两条道路使得它们没有相同的起点和终点，且长度总和最短：p3v1v7v5,p4v2v3,2）在原图中复制出p3,p4，设图G‘，则图G‘中每个结点度数均为偶数的图G‘存在欧拉回路Cv1v7v3v2v4v5v6v2v7v5v.3v2v1v7v5v1，欧拉回路C权长为43。十四、根树的应用13%解：用100乘各频次并由小到大排列得权数w15,w25,w35,w410,w510,w615,w720,w830（1）用Huffman算法求最优二叉树：（2）前缀码用00000传送5；00001传送6；0001传送7；100传送3；101传送4；001传送2；11传送1；01传送0（频次越高传送的前缀码越短）。十五、10%证明：（1）乘：由运算表可知运算*是关闭的。（2）群：即要证明(x*y)*zx*(y*z)，这里有43=64个等式需要考证但：①e是幺元，含e的等式一定成立。②ab=a*b=b*a，如果对含a，b的等式成立，则对含a、b、ab的等式也都成立。③剩下只要考证含a、b等式，共有23=8个等式。即：(a*b)*a=ab*a=b=a*(b*a)=a*ab=b；(a*b)*b=ab*b=a=a*(b*b)=a*e=a；(a*a)*a=e*a=a=a*(a*a)=a*e=a；(a*a)*b=e*b=b=a*(a*b)=a*ab=b；(b*b)*a=e*a=a=b*(b*a)=b*ab=a；(b*b)*b=e*b=b=b*(b*b)=b*e=b；(b*a)*a=ab*a=b=b*(a*a)=b*e=b；(b*a)*b=ab*b=a=b*(a*b)=b*ab=a。3）幺：e为幺元4）逆：e-1=e；a-1=a；b-1=b；(ab)-1=ab。所以为群。试卷八试题与答案一、填空15%（每题3分）1、n阶完全图Kn的边数为。2、右图的邻接矩阵A=。3、图的对偶图为。4、完全二叉树中，叶数为nt，则边数m=。5、设<{a,b,c},*>为代数系统，*运算如下：*abcaabcbbaccccc则它的幺元为；零元为；a、b、c的逆元分别为。二、选择15%（每题3分）1、图相对于完全图的补图为（）。2、对图G则k(G),(G),(G)分（）。A、2、2、2；B、1、1、2；C、2、1、2；D、1、2、2。3、一棵无向T有8个点，4度、3度、2度的分枝点各1个，其余点均叶，T中有（）片叶。A、3；B、4；C、5；D、64、是代数系，其中+，·普通的加法和乘法，A=（）是整。A、{x|x2n,nZ}；B、{x|x2n1,nZ}；C、{x|x0,且xZ}；D、{x|xab45,a,bR}。5、A={1，2，⋯，10}，下面定的运算*对于A封的有（）。A、x*y=max(x,y)；B、x*y=数p的个数使得xpy；C、x*y=gcd(x,y)；(gcd(x,y)表示x和y的最大公数)；D、x*y=lcm(x,y)（lcm(x,y)表示x和y的最小公倍数）。三、证明45%mn24。（8分）1、G是（n,m）二部，m11)(n2)(
浙公网安备 33021202002483