第2章、无限时期与世代交替模型InfiniteHorizonandOverlapping-GenerationsModelsA部分:Ramsey-Cass-Koopmans模型2.1假设1)厂商生产函数:Y(t)=F(K(t),A(t)L(t)).关于F的假设与第一章相同。要素市场和产出市场都是竞争性的。厂商利润最大化。家庭拥有厂商（企业）。2)家庭家庭效用最大化此处，C(t):家庭中每个成员的消费,u(.):瞬时效用函数,L(t):经济的总人口,dL(t)/dt=nL(t)H:家庭的数量,u(C(t))L(t)/H:家庭的总瞬时效用,:贴现率K(0):初始资本瞬时效用函数为：常数相对风险厌恶效用函数（Constant-relative-risk-aversion(CRRA)utilityfunction）：相对风险厌恶系数为-Cu’’(C)/u’(C)=RRA系数:跨期替代弹性（Elasticityofsubstitution）:1/————————————补充
材料
关于××同志的政审材料调查表环保先进个人材料国家普通话测试材料农民专业合作社注销四查四问剖析材料
：严格定义：Constantinides（1990）和Weil（1989）按照投资者的值函数来定义投资者的RRA系数，RRA，将RRA系数进一步表示为投资者的值函数关于财富的弹性，得到：RRA。因此，投资者的RRA系数的含义是投资者的财富变动1个百分点，投资者的边际效用变动多少个百分点。RRA系数刻画了投资者关于风险的态度。投资者的IES系数则定义为当股票的溢价保持不变时，经济中利率水平增加1个单位，投资者的最优消费增长率增加的幅度，即如下偏微分：IES当投资者的效用函数为CRRA时，投资者的RRA系数和IES系数互为倒数：RRAIES＝1。当投资者的效用函数不再是CRRA时，以上关系式就不再成立。相对风险规避系数的含义：假设某个投资者获得一笔奖金，并且必须在两种支付方法之间选择一种支付方法。第一种支付方法是确定的：投资者得到数量确定的。第二种支付方法是不确定的：投资者以50％的概率得到较多的，以50％的概率得到较少的。那么，多大的可以使得投资者对于这两种支付方式是无差异的？投资者对于两种支付方式是无差异的，因而的选择使得如下方程成立，其中表示是C和y的函数，是严格增加的、严格凹的效用函数。将在C点处泰勒展开，得到将在C点处泰勒展开，得到将在C点处泰勒展开，得到合并，得到因此，只要投资者是风险规避型的投资者，即，那么就会大于0。也就是说，不确定性将会降低投资者的效用水平，风险规避型的投资者需要一定数量的补偿。下面给出CRRA效用函数中的RRA系数的含义。将CRRA型效用函数代入方程（8.5）右边，得到对于给定的C和y，越大，就越大。而更大的意味着投资者在面临同样的不确定性时，宁愿选择更小的确定性支付数量。参数越大，投资者就惧怕风险。因此，参数确实刻画了投资者惧怕风险的程度。通过设定假定的情景（给定C和y），可以调查投资者的是多少。然后就可以估计投资者的相对风险规避系数。大量的统计调查表明一般的美国投资者的是小于2的。————————————————2.2家庭与厂商的行为1)厂商假设资本没有折旧。厂商最优使用资本和劳动以最大化利润K,L=F(K,AL)rKwALw是单位有效劳动的实际工资。此规划问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
的关于资本的一阶条件为FK=r=f’(k)关于有效劳动AL的一阶条件为关于的FOC:FAL=w=f(k)–kf’(k)Hint:Y=F=ALf(K/AL)因此，人均工资为W(t)=A(t)w(t)2)家庭的预算约束家庭将r和w视为给定。定义。问题：0时刻投资一单位产出，在t时获得的回报为eR(t)。[why?]解答：将[0,t]分为n个∆t。0时投资1单位产出t时回报为X=(1+r1∆t)…(1+rn∆t)取对数，lnX=∑ln(1+ri∆t)=∑ri∆t。因此，家庭的预算约束方程为变形得到可以记为家庭在s时刻的资本持有数量为因此，家庭的预算约束方程可以记为含义：极限中家庭所持有资产的现值不能为负。此为非No-Ponzi-gameCondition。3)家庭的最大化问题定义，那么家庭的效用函数可以记为由于L(t)=L(0)ent，所以此处，下面把预算约束方程也改写为单位有效劳动的形式。此处使用了可以将预算约束的No-Ponzi-gameCondition改写为：4)家庭行为（家庭的规划问题以及离散化求解方法）家庭的效用最大化问题可以表示为如下规划问题：s.t.如何求解?此规划问题的目标函数和预算约束方程都是连续时间表达形式。我们采用离散化目标函数和预算约束方程的求解方法。因此，得到如下新的规划问题s.t.从黎曼可积的角度来看，上述新规划问题等价于老规划问题。而新规划问题是典型的离散时间规划问题，因此可以采用拉格朗日方法进行求解。构造拉格朗日方程为其中为预算约束方程所对应的拉格朗日乘子。拉格朗日函数关于消费的一阶条件为消掉时间微分，得到考虑到时间的任意性，得到变形得到方程两边对时间求导，得到上面两个方程相除，得到如下连续时间形式的欧拉方程（Eulerequation）第二个等号使用了定义=还可以计算人均消费C的增长率【注意：以上公式可以用来定义跨期替代弹性。】还可以使用扰动法求得上述欧拉方程。家庭减少所损失的效用为。家庭在时刻的消费可以增加，并且。因此，可以得到化简、变形得到消去时间微分并变形就得到上述欧拉方程。2.3经济的动力系统1)c的动力系统将代入到欧拉方程，得到消费的动力系统为注意：如何理解k较小时，消费增长率增加？答：k较小，r就越大，从家庭欧拉方程的直观含义来看，资本的跨期期望收益就越高，因此消费增加就越高。2)k的动力系统而资本的动态方程为资本不变时，有c=f(k)-(n+g)k,c(0)=f(0)-0=0,andd2c/dk2<0.3)相图问题：为什么有k*
计划
项目进度计划表范例计划下载计划下载计划下载课程教学计划下载
者的规划问题来说明这一点。将会发现中央计划者的规划问题的最优解与分散的竞争性最优解，即拉姆齐模型的最优解，是相同的。中央计划者的目标是最大化家庭的福利水平，s.t.将此连续时间规划问题离散化后，然后可以采用拉格朗日方法或者以资本作为状态变量的贝尔曼方程方法来进行求解。方法1：拉格朗日方法将中央计划者的规划问题离散化，得到预算约束方程为构造如下拉格朗日方程，此处是预算约束方程所对应的拉格朗日乘子。拉格朗日方程关于控制变量消费的一阶条件为关于资本的一阶条件为将两个一阶条件合并，得到变形得到其中。变形，得到变形，得到那么，有使用指数函数的性质，并考虑到时间的任意性，那么得到两边取对数，消去时间微分，得到变形就得到了欧拉方程此欧拉方程与竞争性均衡中的欧拉方程是相同的。由于两个模型中的第二个方程，即预算约束方程，是相同的。因此，中央计划者的最优解和竞争性均衡的解是完全相同的。这就是拉姆齐增长模型中所展示的福利经济学第一定理。方法2：贝尔曼方程方法将中央计划者的规划问题离散化，并构造如下贝尔曼方程预算约束方程为其中以上动态规划问题的控制变量是当期消费和下一期的资本存量，状态变量是当期的资本存量。此规划问题的特点是资本既是下一期的状态变量，也是当期的控制变量。使用预算约束方程将消费解出来，并代入效用函数，得到如下无约束的贝尔曼方程，显然，此规划问题的状态变量是当前资本，控制变量是下一期的资本。对控制变量求一阶条件，得到对状态变量使用包络定理，得到上述两个方程合并，得到而因此，我们在前面已经证明了上面的方程可以推出所要求取的欧拉方程。因此，使用贝尔曼方程方法和拉格朗日方法求得的结果是相同的。2.5平衡增长路径储蓄率为(y-c)/y是内生的，但是不变的。人均资本、人均产出、人均消费的增长率为g。即使储蓄率是内生的，劳动效率的增长仍然是人均产出持续增长的唯一源泉。由于k*
分析
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，所以可以考虑一种线性的情形：经济体沿着一条直线移向(k*,c*)。在这种情形下：按照以上两个方程，消费和资本的运动速度是不变的。经济体与(k*,c*)的距离减少的速度不变，这样才能保证沿着直线移动。
总结
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一下：一阶近似取直线斜率是常数两者移动速度都是常数两者速度相等才能保证沿着直线移动因此，设定：，那么，求解此方程，得到：为负才能确保距离减少，即走向(k*,c*)，因此c和k的线性化动力系统：由于变形得到，因此，在0时刻，c会跳跃至上述方程刻画的路径。然后，c和k均会以速度收敛至平衡增长路径，即，3)调整速度由于,那么，考虑C-D生产函数，f(k)=k。可以计算得到：f’’(k*)=k*r*2/f(k*)此处r*=k*是平衡增长路径上的实际利率。因此，此处=1-c*/f(k*)是储蓄率。在平衡增长路径上，储蓄为(n+g)k*（回忆预算约束方程均衡时有）,因此s*=(n+g)k*/k*(n+g)/r*.由,有。将以上事实代入表达式，得到参数校准：取：ng得到：r*=5%,s*=20%,=2%,=-5.4%.以上结果与索洛模型相比,【注意：此处模型没有折旧】问题：之所以RCK模型收敛速度更快，是因为：当ks*；当k>k*时，s0。故，储蓄率是递减函数。因此，当kk*时，总储蓄率低于其平衡增长路径值。4)一般情形kt+1:的四个部分Outputperunitofeffectivelaboratt,f(kt)Thefractionofthatoutputthatispaidtolabor,[f(kt)-ktf’(kt)]/f(kt)Thefractionofthatlaborincomethatissaved,s(rt+1)Theratiooftheamountofeffectivelaborinperiodttotheamountinperiodt+1.2.13动态无效率的可能性（1）世代交替模型中的分散性均衡不是帕雷图有效的。平衡增长路径上的资本存量可以超过黄金规则水平，从而可能永久增加消费。为方便，取对数效用函数，CD生产函数，g=0。从而，平衡增长路径上的资本的边际产出为而黄金规则资本存量由定义。取充分小时的情形【这对应着资本收益率很低的情形】，此时有：，从而平衡增长路径上的资本存量会大于黄金规则水平。（2）下面解释，大于是无效的：有可能永久增加消费。引入一个社会计划者。图中表示维持资本，因此人均消费为产出减去把k维持在k*水平需要的新投资数量。图中表示，社会计划者在t0时刻增加消费，减少储蓄，使得下一期的人均资本为并维持在这一水平。这一操作使得，t0时期的消费为：。【注意：第二部分是减少资本而增加的消费，第三部分是为了维持所需要的新投资】。之后时期的人均消费为。：这是因为：这是因为这说明，社会计划者通过在年轻人和老年人之间进行配置，会使得每一代人得到改善。（3）为什么世代交替模型中的分散性均衡不是帕雷图有效的。为什么福利经济学第一定理会失效？答案是不符合假设。不但要假设竞争性均衡和不存在外部性，还需要假设有限个家庭。因为人口是无限的，所以赋予了计划者一个独特的非市场工具。而市场化环境中只有通过持有低收益率的资本才能增加老年时的消费。计划者将每个年轻人的1单位劳动收入转移给老年人，特别要注意对每个老年人存在n+1个年轻人，因此这会给每个老年人增加n+1单位的消费。计划者要求年轻的下一代也去做同样的事情。这种将资源在代际之间进行转移的方法比储蓄更加有效。这种无效率称为动态无效率：竞争性市场的结果是无效率的，但中央计划者可以提高效率。（4）经验性应用：现代经济是动态有效的吗？政策含义：Diamond模型表明，分散化经济所积累的资本有可能高于黄金率水平，从而会出现帕累图无效的配置。【书译有误】由于【美国】现实中的资本积累不是由中央计划者决定的，所以现实经济是动态无效的吗？如果是动态无效的，那么这对公共政策有重要意义：美国低储蓄可能被误导了。Abeletal.(1989)表面上，美国经济是动态无效率的，因为实际收益率小于经济增长率【注意：，因此，若实际收益率小于经济增长率n+g，则说明现实中(均衡)资本高于黄金规则水平资本】。用短期政府债券的实际利率度量实际利率，美国1926~1986年间大约为0.1%，远小于经济的平均增长率。但是，Abeletal.(1989)指出统计口径的问题。如果资本获得其边际产出，那么净边际产出可以估计为总资本收入减去总折旧与资本存量的比率。在美国，这个比率大约是10%，远大于经济增长率。结论是矛盾的和模糊的。Abeletal.(1989)指出正确的计算方法应该是：在不确定性情形中，动态有效的充分条件是净资本收入大于投资。Abeletal.(1989)用国民收入减去薪酬与自我雇佣者的部分劳动收入来测度资本收入。【书译有误】投资直接取自国民收入账户。他们发现，在美国等7个主要工业国，资本收入都高于投资。因此，虽然在理论上，分散性经济可能动态无效率，但是在实践中并没有出现。思考：中国呢？2.14OLG模型中的政府（1）永久性增加政府购买假定政府通过总量税融资其支出Gt，k的运动方程为：更高的G对于给定的kt减少了kt+1。与RCK模型不同：k减少，r增加。解释：个体存活两期，但只对年轻时候课税。因此，会减少第一期和第二期的消费。因此，储蓄减少了。（2）暂时性增加政府购买注意每一个人只存活两期。因此，当政府购买较高时，k逐渐下降、r逐渐增加；而一旦政府购买回到较低水平，k逐渐增加、r逐渐减少。
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