中考数学一轮复习课件第4章三角形第19课《勾股定理与解直角三角形的简单应用》（含答案）第四章三角形第19课 勾股定理与解直角三角形的简单应用1．直角三角形的性质：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，则(1)两个锐角的关系：∠A＋∠B＝_____°.(2)三边的数量关系(勾股定理)：________________．(3)边与角的关系：sinA＝，cosA＝________，tanA________．(4)若CD是斜边的中线，则CD与AB的数量关系是__________．(5)若∠B＝30°，则AC与AB的数量关系是__________．一、考点知识，90CD=ABAC2+BC2=AB2AC=AB3...
第四章三角形第19课 勾股定理与解直角三角形的简单应用1．直角三角形的性质：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，则(1)两个锐角的关系：∠A＋∠B＝_____°.(2)三边的数量关系(勾股定理)：________________．(3)边与角的关系：sinA＝，cosA＝________，tanA________．(4)若CD是斜边的中线，则CD与AB的数量关系是__________．(5)若∠B＝30°，则AC与AB的数量关系是__________．一、考点知识，90CD=ABAC2+BC2=AB2AC=AB3．在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，S△ABC＝AC×________＝AB×________．2．直角三角形的判定：(1)定义法：当∠ACB＝______°时，△ABC是直角三角形．(2)勾股定理的逆定理：当△ABC的三边满足____________时，△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°.(3)CD是AB边上的中线，且__________________时，△ABC是直角三角形，且斜边是________．90AC2+BC2=AB2CD=ABABBCCD【例1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC＝8，BD＝6，OE⊥BC，垂足为点E，求OE的长．【考点1】勾股定理，等面积法二、例题与变式解：∵菱形的对角线互相垂直平分，∴OB＝3，OC＝4，∠BOC＝90°.∴BC＝.∵S△OBC＝OB·OC＝BC·OE.∴OB·OC＝BC·OE，即3×4＝5OE.∴OE＝.【变式1】如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D,AE⊥BC于点E，BC＝6,tanB＝，AB＝AC.求AB,AE，CD的长．解：∵AB=AC，AE⊥BC，∴BE=CE=3.∵tanB=，∴在Rt△ABE中，，∴AE=4.∴AB=.∵CD⊥AB，∴S△ABC＝AB·CD.又∵S△ABC＝BC·AE，∴AB·CD＝BC·AE，即5×CD＝6×4.∴CD＝.【考点2】直角三角形边与角的关系【例2】如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB＝6，AC＝，∠A＝30°.(1)求BD和AD的长；(2)求tanC的值．解：（1）∵BD⊥AC，∴∠ADB=90°.在Rt△ADB中，AB=6，∠A=30°，∴BD=AB=3.∴AD=BD=.（2）CD=AC－AD=，在Rt△ADC中，tan∠C=.【变式2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，点E为线段AB上的一点，且AE∶EB＝4∶1，EF⊥AC于点F，连接FB，求tan∠CFB.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，设BC=x，则AB=2x，AC=x.又∵EF⊥AC，∴EF∥BC.∴AF∶FC=AE∶EB=4∶1,CF=AC=.∴在Rt△CFB中,∴tan∠CFB=.【考点3】直角三角形的性质【例3】如图，在△ABC中，∠C＝90°，BD平分∠ABC，若AC＝12cm，DC＝5cm，求sinA的值．解：过点D作DE⊥AB于点E，∵BD是∠ABC的平分线，∠C=90°，DE⊥AB，∴DE=CD=5cm，∵AD=12－5=7cm，∴SinA=.【变式3】如图，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC＝4，求PD的长．解：过点P作PE⊥OB于E，∵∠AOP=∠BOP，PE⊥OB，PD⊥OA，∴PE=PD.∠BOP=∠AOP=15°，∴∠AOB=30°.∵PC∥OA，∴∠BCP=∠AOB=30°.∴在Rt△PCE中，PE=PC=×4=2.∴PD=PE=2.A组1.求图中各的值．三、过关训练2．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，AB＝5，AO＝4，求BD的长．解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于点O，∴AC⊥BD，DO=BO，∵AB=5，AO=4，∴BO=3.∴BD=2BO=2×3=6.3．如图，P是⊙O外一点，PA是⊙O的切线，PO＝13，PA＝12，求sinP的值．解：连接OA,∵PA是⊙O的切线，∴OA⊥AP，即∠OAP=90°．又∵PO=13，PA=12，∴根据勾股定理，得OA=.∴sinP=.B组4．如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是AO，AD的中点，若AB＝6cm，BC＝8cm，求EF的长．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，BD=AC，BO=OD=BD，∵AB=6cm，BC=8cm，∴由勾股定理,得BD=AC=（cm），∴DO=5cm，∵点E,F分别是AO,AD的中点，∴EF=OD=2.5cm解：（1）∵∠A=60°，∠ABE=90°，AB=6，tanA=，∴∠E=30°，BE=tan60°·6=.∵∠CDE=90°，CD=4，sinE=，∠E=30°，∴CE=4÷=8.∴BC=BE－CE=－8.（2）∵∠ABE=90°，AB=6，sinA=，∴设BE=4x，则AE=5x，AB=3x.∴3x=6，得x=2.∴BE=8，AE=10.∴tanE=.解得DE=.∴AD=AE－DE=10－.5．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，∠ADC＝90°，AB＝6,CD＝4,BC的延长线与AD的延长线交于点E.(1)若∠A＝60°，求BC的长；(2)若sinA＝，求AD的长．(注意：本题中的计算过程和结果均保留根号)C组6．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，CD＝10，DA＝，求BD的长．解：连接AC，过点D作BC边上的高，交BC延长线于点H．在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∴AC＝5.又CD＝10，DA＝，可知△ACD为直角三角形，且∠ACD＝90°.易证△ABC∽△CHD，相似比为，则CH＝6，DH＝8.∴BD＝.
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