第五章 四边形第24课 矩形1．矩形的定义：有____________的平行四边形是矩形．一、考点知识，2．矩形具有平行四边形的一切性质．此外，具有如下特殊性质：四个角都是________，对角线________．一个角是直角3．矩形的判定：(1)有__________________的四边形是矩形．(2)对角线________的平行四边形是矩形．(3)对角线________且__________的四边形是矩形．直角相等三个角都是直角相等相等互相平分【例1】在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于O，∠ACD＝30°，AB＝4.(1)判断△AOD的形状；(2)求对角线AC，BD的长．【考点1】矩形的性质二、例
题
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与变式解：(1)△AOD是等边三角形（2）AC=BD=【变式1】已知：如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，且AC＝2BC.求证：△BOC是等边三角形．证明：在矩形ABCD中，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴AC=2OC，BD=2OB.又∵AC=2BC，∴OC=OB=BC，即△BOC是等边三角形.【考点2】矩形的判定【例2】如图，O是矩形ABCD的对角线AC与BD的交点，E，F，G，H分别是AO，BO，CO，DO上的一点，且AE＝BF＝CG＝DH.求证：四边形EFGH是矩形．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD.AO=BO=CO=DO.∵AE=BF=CG=DH，∴OE=OF=OG=OH.∴四边形EFGH是平行四边形.∵OE+OG=FO+OH即EG=FH，∴四边形EFGH是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）．【变式2】如图，▱ABCD中，BC＝6，AB＝8，AC＝10，求证：▱ABCD是矩形．证明：因为62+82=102,即AB2+BC2=AC2,所以∠B就是直角.在平行四边形ABCD中,有一个角是直角,所以,四边形ABCD是矩形.【考点3】矩形与轴对称【例3】把一张矩形纸片(矩形ABCD)按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF.若AB＝3，BC＝5，求重叠部分△DEF的面积．解：∵按题图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF，∵AB=3，BC=5，∴A′D=AB=3.假设AE=x，则A′E=x，DE=5－x.∴A′E2+A′D2=ED2.∴x2+9=(5－x)2.解得x=1.6.∴DE=5－1.6=3.4.∴△DEF的面积是0.5×3.4×3=5.1.【变式3】在矩形纸片ABCD中，AB＝，BC＝6，沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P外，点D落在点Q处，AD与PQ相交于点H，∠BPE＝30°.求BE，QF的长．解：设BE=x，在Rt△PBE中，∠BPE=30°，∴PE=2x，PB=，由题意,得EC=EP=2x.∵BE+EC=BC，∴3x=6，x=2，即BE=2.∴EC=4，PB=，∴PA=，在Rt△APH中，∠APH=60°，∴AH=3，PH=.∴HQ=PQ－PH=，在Rt△HQF中，∠QHF=30°，tan∠QHF=，∴QF=1.A组1．如图，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是( )A．AB＝CD B．AD＝BCC．AB＝BC D．AC＝BD三、过关训练3．下列命题是假命题的是( )A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形2．已知矩形的一条对角线长为10，两条对角线的一个交角为120°，则矩形的边长分别为__________________．DCB组4．如图，在▱ABCD中，E，F为BC两点，且BE＝CF，AF＝DE.求证：(1)△ABF≌△DCE；(2)四边形ABCD是矩形．证明：（1）∵BE＝CF,BF＝BE＋EF,CE＝CF＋EF,∴BF＝CE.又∵在平行四边形ABCD中，AB＝CD.∴△ABF≌△DCE（SSS）（2）由（1）知，△ABF≌△DCE，∴∠B=∠C.又∵在平行四边形ABCD中，AB∥CD,∴∠B+∠C=180.∴∠C=90°.∴四边形ABCD是矩形.5．在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(1)求证：D是BC的中点；(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．证明：（1）在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点，则AE=DE.过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,即AF∥CD，得∠FAE=∠CDE.又∵∠AEF=∠CED，∴△AEF≌△CDE，∴AF=CD.∵AF=BD，∴BD=CD，∴D是BC的中点.（2）∵AF∥BD，AF=BD.∴四边形AFBD是平行四边形.∵AB=AC,D是BC的中点,AD⊥BC，∠ADB=90°∴平行四边形AFBD是矩形.C组6．(1)操作发现 如图，在矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部．小明将BG延长交DC于点F，认为GF＝DF，你同意吗？
说明
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理由．(2)问题解决 保持(1)中的条件不变，若DC＝2DF，求的值；(3)类比探求 保持(1)中条件不变，若DC＝nDF，求的值解：(1)同意,连接EF，∵Rt△BAE≌△BGE，∴AE=EG.∵AE=ED，∴EG=ED.∵四边形ABCD为矩形，∴∠EGF=∠A=∠D=90°.∵EF=EF，∴Rt△EGF≌Rt△EDF.∴GF=DF.(2)(3)
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