第四章三角形第17课 三角形全等1．三角形全等的判定方法有：__________、__________、__________、__________，直角三角形全等的判定除以上的方法外还有__________．一、考点知识，2．全等三角形的性质：对应边__________，对应角__________，周长________，面积__________．SSSAASASASASHL相等相等相等相等【例1】如图，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC与BD交于点O，AC＝BD.求证：(1)BC＝AD;(2)△OAB是等腰三角形．【考点1】三角形全等的判定与性质二、例题与变式证明：（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴△ABC，△BAD是直角三角形.∵AC=BD，AB=BA,∴△ABC≌△BAD（HL）.∴BC=AD.（2）∵△ABC≌△BAD，∴∠CAB=∠DBA.∴OA=OB∴△OAB是等腰三角形.【变式1】如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC上的点，且AE＝BF.求证：CE＝DF.证明：在正方形ABCD中，AB=BC=CD，∠B=∠BCD=90°，∵AE=BF，∴AB－AE=BC－BF，即BE=CF.在△BCE和△CDF中，BC＝CD，∠B＝∠FCD＝90°，BE＝CF，∴△BCE≌△CDF（SAS）.∴CE=DF.【考点2】三角形全等的判定与性质【例2】如图，BD是菱形ABCD的对角线，点E，F分别在边CD，DA上，且∠DFB＝∠DEB.求证：CE＝AF.证明：∵BD是菱形ABCD的对角线，∴∠ADB=∠CDB，AD=CD.又∵∠DFB=∠DEB,BD=BD,∴△DFB≌△DEB.∴DF=DE.∴AD－DF=CD－DE.∴CE=AF.【变式2】如图，已知菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE＝DF.求证：(1)△ABE≌△ADF；(2)∠AEF＝∠AFE.证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB=AD，∠B=∠D.又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF.（2）∵△ABE≌△ADF，∴AE=AF.∴∠AEF=∠AFE.【考点3】三角形全等的判定与性质【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB边上一点，且不与A，B两点重合，AE⊥AB，AE＝BD，连接DE，DC.(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：△DCE是等腰直角三角形．证明：如图，（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠B=∠2=45°.∵AE⊥AB，∴∠1+∠2=90°．∴∠1=45°．∴∠1=∠B．在△ACE和△BCD中，AE＝BD，∠1＝∠B，AC＝BC，∴△ACE≌△BCD（SAS）.（2）∵△ACE≌△BCD，∴CE=CD，∠3=∠4．∵∠4+∠5=90°，∴∠3+∠5=90°.即∠ECD=90°.∴△DCE是等腰直角三角形.【变式3】如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE.求证：(1)CE＝BD；(2)∠ADB＝∠AEB.证明：（1）∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，即∠BAD=∠CAE.∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴AB=AC，AE=AD，∴△BAD≌△CAE（SAS）.∴CE=BD.（2）∵四边形ACDE是平行四边形，∴AE∥CD.∴∠ADC=∠DAE=90°，AE=CD，∵△ADE是等腰直角三角形，∴AE=AD.∴AD=CD.∴△ADC是等腰直角三角形.∴∠CAD=45°.∴∠BAD=90°+45°=135°.∵∠DAE=∠BAC=90°，∠CAD=45°，∴∠BAE=360°－90°－90°－45°=135°.又∵AB=AB，AD=AE，∴△BAE≌△BAD（SAS），∴∠ADB=∠AEB.A组1．如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，若连接AC，BD相交于点O，则图中全等三角形共有________对．三、过关训练2．已知：如图，点C为AB中点，CD＝BE，CD∥BE.求证：△ACD≌△CBE.3证明：∵C是AB的中点（已知），∴AC=CB．∵CD∥BE（已知），∴∠ACD=∠B．在△ACD和△CBE中，AC＝CB,∠ACD＝∠CBE,CD＝BE,∴△ACD≌△CBE（SAS）.3．如图，点A，B，C，D在一条直线上，AB＝CD，AE∥BF，CE∥DF.求证：AE＝BF.证明：∵AE∥BF，∴∠A=∠FBD.∵CE∥DF，∴∠D=∠ACE.∵AB=CD，∴AB+BC=CD+BC，即AC=BD.在△ACE和△BDF中，∠A=∠FBD,AC=BD，∠D=∠ACE，∴△ACE≌△BDF（ASA）.∴AE=BF．B组4．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O且与AB，CD分别相交于点E，F.求证：△AOE≌△COF.证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC，AB∥CD.∴∠EAO=∠FCO.在△AOE和△COF中，∠EAO＝∠FCO.AO＝CO，∠EOA＝∠FOC，∴△AOE≌△COF（ASA）5．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE于点E，AD⊥CE于点D.求证：△BEC≌△CDA.证明：∵BE⊥CE于点E,AD⊥CE于点D,∴∠BEC=∠CDA=90°.在Rt△BEC中,∠BCE+∠CBE=90°,在Rt△BCA中,∠BCE+∠ACD=90°.∴∠CBE=∠ACD.在△BEC和△CDA中,∠BEC=∠CDA,∠CBE=∠ACD,BC=AC,∴△BEC≌△CDA（AAS）6．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是CB，CD上的点，且BE＝DF，求证：EF⊥AC.证明：分别连接AE,AF，∵菱形ABCD，∴AB=AD=BC=CD，∠B=∠D，又∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF.∴AE=AF.∴点A在EF的垂直平分线上，∵BE=DF，BC=CD，∴CE=CF.∴点C在EF的垂直平分线上，∴EF⊥ACC组7．如图1，等边三角形ABC中，D是AB上一点，以CD为边向上作等边三角形CDE，连接AE.(1)求证：AE∥BC;(2)如图2，若点D在AB的延长线上，其余条件均不变，(1)中结论是否成立？请
说明
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理由．证明：（1）∵△ABC和△DCE是等边三角形，∴BC=AC，DC=EC，∠BCA=∠DCE=∠B=∠BAC=60°，∴∠BCA－∠ACD=∠DCE－∠ACD，即∠BCD=∠ACE.∴△BCD≌△ACE（SAS）.∴∠B=∠CAE，∴∠B=∠CAE=∠BAC=60°.∴∠CAE+∠BAC=∠BAE=120°.∴∠B+∠BAE=180°.∴AE∥BC.（2）成立，证明如下：由（1）,得∵△DBC≌△AEC，∴∠DBC=∠EAC.∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAC=60°.∴∠DBC=180°－60°=120°.∴∠EAC=∠DBC=120°.∴∠EAD=∠EAC－∠BAC=60°.∴∠EAD=∠ABC=60°.∴AE∥BC.(2)如图2，若点D在AB的延长线上，其余条件均不变，(1)中结论是否成立？请说明理由．
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