PAGE1/NUMPAGES152022版新高考数学总复习--第十章 圆锥曲线§10.1 椭圆—专题检测—一、单项选择题1.(2021北京东城一模,9)已知椭圆C1:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2:y2=2px(p>0)的焦点重合,P为椭圆C1与抛物线C2的公共点,且PF⊥x轴,那么椭圆C的离心率为( )A.2-1 B.33 C.22 D.3-1答案 A 由点P在抛物线C2上且PF⊥x轴,得Pp2,±p,又由点P在椭圆C1上得Pc,±b2a,因为P为椭圆C1与抛物线C2的公共点,所以b2a=2c,即2ac=a2-c2,结合离心率e=ca,得e2+2e-1=0,解得e=2-1,或e=-2-1(舍),故选A.思路
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先分别由椭圆、抛物线的
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方程求得点P的坐标,再由点P是椭圆与抛物线的公共点,从而得b2a=2c,最后结合离心率的定义e=ca与a2=b2+c2求解.2.(2021浙江“超级全能生”3月模拟,7)在直角坐标系中,已知O为坐标原点,A(-1,0),B(1,0).点P满足kPA·kPB=3且|PA|+|PB|=4,则|OP|=( )A.71313 B.855 C.51313 D.132答案 B 设点P(x,y),由kPA·kPB=3得yx+1·yx-1=3,即x2-y23=1(x≠±1)①.又|PA|+|PB|=4>2=|AB|,所以点P在以A,B为焦点且长轴长2a=4的椭圆上,所以点P的坐标满足椭圆方程x24+y23=1②,联立①②,解得x2=85,y2=95,所以|OP|=x2+y2=855,故选B.3.(2021浙江新高考研究卷(一),8)设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F,O为坐标原点,过F且斜率为1的直线交椭圆于A,B两点(A在x轴上方).A关于x轴的对称点为D,连接DB并延长交x轴于点E,若S△DOF,S△DEF,S△DOE成等比数列,则椭圆的离心率e的值为( )A.3-12 B.22 C.5-12 D.32答案 C 由题意知S△DEF2=S△DOF·S△DOE,所以|EF|2=|OF|·|OE|①.易知lAB:y=x+c,设A(x1,x1+c),B(x2,x2+c),x1+c>0,x2+c<0,则D(x1,-x1-c),直线DB的方程为y-x2-c=x1+x2+2cx2-x1(x-x2),令y=0,则xE=-(x2-x1)(x2+c)x1+x2+2c+x2=2x1x2+c(x1+x2)x1+x2+2c②.联立得x2a2+y2b2=1,y=x+c,消去y可知,(a2+b2)x2+2a2cx+a2c2-a2b2=0,则x1+x2=-2a2ca2+b2,x1x2=a2c2-a2b2a2+b2,将其代入②,得xE=-a2c,由①得c·a2c=a2c-c2⇒c2a2=(a2-c2)2,即a4-3c2a2+c4=0,所以e4-3e2+1=0⇒e2=3-52,即e=5-12.选C.4.(2021河南驻马店一模,7)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个焦点为F,点P是椭圆C上的一个动点,|PF|的最小值为3-1,且存在点P,使得△OPF(点O为坐标原点)为正三角形,则椭圆C的焦距为( )A.2 B.22C.23 D.4答案 D 不妨设F为椭圆C的右焦点,F1为椭圆C的左焦点,如图,连接PF1.因为△OPF为等边三角形,所以|OF|=|OF1|=|OP|=|PF|=c,所以△F1PF是直角三角形,所以|PF1|=3c.因为|PF|+|PF1|=c+3c=2a,所以e=ca=23+1=3-1.因为|PF|的最小值为3-1,所以a-c=3-1,所以c=2,故椭圆C的焦距为4.5.(2021云南昆明“三诊一模”高三复习教学质量检测,10)已知F1,F2分别是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M是椭圆短轴的端点,点N在椭圆上,若MF1=3NF2,则椭圆E的离心率为( )A.13 B.12C.22 D.63答案 C 设M(0,b),F1(-c,0),F2(c,0),N(x,y),因为MF1=3NF2,所以(-c,-b)=3(c-x,-y),所以x=43c,y=b3,代入椭圆方程并化简得,169e2+19=1,解得e=22,故选C.6.(2021山西运城3月模拟,7)已知椭圆x24+y22=1上一点P,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,若△F1PF2为直角三角形,则满足条件的点P有( )A.8个 B.6个C.4个 D.2个答案 B 由椭圆的方程可知c=a2-b2=2,所以当点P为直角顶点时,点P只能在短轴端点处,所以满足条件的点P有2个;当F1或F2为直角顶点时,结合椭圆的对称性可知满足条件的点P有4个,综上可知符合条件的点P有6个,故选B.知识拓展 已知点P是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)上的一点,F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,满足PF1⊥PF2的点P的个数:①当b>c时,椭圆上不存在满足条件的点P;②当b=c时,椭圆上有2个满足条件的点P;③当b
b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P为椭圆上不同于左、右顶点的任意一点,I为△F1PF2的内心,且S△IPF1=λS△IF1F2-S△IPF2.若椭圆的离心率为e,则λ=( )A.1e B.2e C.e D.2e答案 A 设△PF1F2内切圆的半径为r,则S△IPF1=12r·|PF1|,S△IPF2=12r·|PF2|,S△IF1F2=12r·|F1F2|,因为S△IPF1=λS△IF1F2-S△IPF2,所以12r·|PF1|=λ2·r·|F1F2|-12r·|PF2|,整理得,λ|F1F2|=|PF1|+|PF2|,又因为点P为椭圆上的点,所以λ·2c=2a,解得λ=1e,故选A.8.(2021黑龙江顶级名校4月联考,10)已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆上,O是坐标原点,∠F1PF2=∠F1OP=23π,则椭圆的离心率为( )A.3-22 B.3-32C.10-32 D.10-22答案 D 根据∠F1PF2=∠F1OP=23π以及∠PF1F2=∠OF1P,得△PF1O∽△F2F1P,于是|PF1||F1F2|=|F1O||PF1|,所以|PF1|=2c,又|PF1|+|PF2|=2a,所以|PF2|=2a-2c,在△F2F1P中,由余弦定理,得4c2=(2c)2+(2a-2c)2-2×2c×(2a-2c)×-12,即c2+2ac-2a2=0,所以e2+2e-2=0,又0b>0)的左、右焦点,点P是该椭圆在第一象限内的点,∠F1PF2的平分线交x轴于Q点,且满足OF2=4OQ,则椭圆的离心率e可能是( )A.18 B.14 C.12 D.34答案 CD ∵OF2=4OQ,∴|QF2|=34c,|OQ|=14c,|QF1|=54c.∵PQ是∠F1PF2的平分线,∴|PF1||PF2|=|QF1||QF2|=53,又|PF1|+|PF2|=2a,∴|PF1|=5a4,|PF2|=3a4.在△PF1F2中,由余弦定理的推论得cos∠F1PF2=2516a2+916a2-4c22×5a4×3a4=1715-3215e2,∵-1b>0)的右焦点为F,点P在椭圆C上,点Q在圆E:(x+3)2+(y-4)2=4上,且圆E上的所有点均在椭圆C外,若|PQ|-|PF|的最小值为25-6,且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,则下列说法正确的是( )A.椭圆C的焦距为2B.椭圆C的短轴长为3C.|PQ|+|PF|的最小值为25D.过点F的圆E的切线斜率为-4±73答案 AD 圆E的圆心为E(-3,4),半径长为2,由于椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等,则2a=4,可得a=2,设椭圆的左焦点为点F1,由椭圆的定义可得|PF|+|PF1|=2a=4,∴|PF|=4-|PF1|,∴|PQ|-|PF|=|PQ|-(4-|PF1|)=|PF1|+|PQ|-4≥|PF1|+|PE|-2-4≥|EF1|-6=25-6,当且仅当P、Q、E、F1四点共线,且P、Q分别为线段EF1与椭圆C、圆E的交点时,等号成立,则|EF1|=(-3+c)2+(4-0)2=(c-3)2+16=25,∵02,则直线x=1与圆E相离,不合题意;则所求切线的斜率存在,可设切线的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0,由题意可得|-3k-4-k|k2+1=4|k+1|k2+1=2,整理得3k2+8k+3=0,解得k=-4±73,D选项正确.故选AD.11.(2020山东4月全真模拟,11)已知P是椭圆C:x26+y2=1上的动点,Q是圆D:(x+1)2+y2=15上的动点,则( )A.C的焦距为5 B.C的离心率为306C.圆D在C的内部 D.|PQ|的最小值为255答案 BC 依题意可得c=6-1=5,则C的焦距为25,e=56=306.设P(x,y)(-6≤x≤6),由题意知D(-1,0),则|PD|2=(x+1)2+y2=(x+1)2+1-x26=56x+652+45≥45>15,所以圆D在C的内部,且|PQ|的最小值为45-15=55.故选BC.12.(2020山东菏泽期中,8)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心F为一个焦点的椭圆,如图所示,已知它的近地点A(离地面最近的点)距地面m千米,远地点B(离地面最远的点)距地面n千米,并且F、A、B三点在同一直线上,地球半径约为R千米,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a、2b、2c,则( )A.a-c=m+R B.a+c=n+RC.2a=m+n D.b=(m+R)(n+R)答案 ABD 由题设条件可得m=a-c-R,①n=a+c-R,②∴a-c=m+R,故A正确;a+c=n+R,故B正确;①+②得m+n=2a-2R,可得2a=m+n+2R,故C不正确;由m+R=a-c,n+R=a+c可得(m+R)(n+R)=a2-c2,∵a2-c2=b2,∴b2=(m+R)(n+R)⇒b=(m+R)(n+R),故D正确.故选ABD.三、填空题13.(2021浙江温州二模,14)已知F1,F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,过F1的直线与椭圆交于P、Q两点,若|PF1|∶|PF2|∶|QF1|=2∶3∶1,则cos∠F1PF2= ,椭圆的离心率为 . 答案 19;10515解析 连接QF2,由|PF1|∶|PF2|∶|QF1|=2∶3∶1,|PF1|+|PF2|=2a,解得|PF1|=4a5,|PF2|=6a5,|QF1|=2a5,则|QF2|=8a5.在△QPF2中,由余弦定理得cos∠QPF2=|PQ|2+|PF2|2-|QF2|22|PQ|·|PF2|=19,在△F1PF2中,cos∠F1PF2=5225a2-4c24825a2=19,解得e=ca=10515.14.(2021河南顶级名校4月冲刺考试,15)已知点F1,F2分别为椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左,右焦点,点A为C的左顶点,C上的点到点F2的最小距离为2.过原点O的直线l交C于P,Q两点,直线QF1交AP于点B,且|AB|=|BP|,则椭圆C的标准方程为 . 答案 x29+y28=1解析 如图,连接OB,AQ,则OB是△PAQ的中位线,所以OB∥AQ,所以|OB||AQ|=|OF1||F1A|=12,即ca-c=12,所以a=3c.由C上的点到点F2的最小距离为2,得a-c=2,解得a=3,c=1,所以b=22.故椭圆C的标准方程为x29+y28=1.15.(2021四川绵阳二模,15)已知F(1,0)为椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点,过E的下顶点B和F的直线与E的另一个交点为A,若4BF=5FA,则a= . 答案 3解析 如图,设椭圆的左焦点为F',则F'(-1,0),连接AF',BF',则|BF|=|BF'|=a,由4BF=5FA,得|AF|=4a5,由椭圆的定义可知,|AF'|=2a-|AF|=65a,设∠AFF'=θ,则∠BFF'=π-θ,则cosθ=|AF|2+|FF'|2-|AF'|22×|AF|×|FF'|=45a2+4-65a22×45a×2=4-2025a2165a=5-a24a①,而cos(π-θ)=|BF|2+|FF'|2-|BF'|22×|BF|×|FF'|=a2+4-a22×a×2=1a②,由①+②得1a+5-a24a=0,解得a=3.16.(2021安徽皖北协作体4月联考,14)“天问一号”推开了我国行星探测的大门,通过一次发射,将实现火星环绕、着陆、巡视,是世界首创,也是我国真正意义上的首次深空探测.2021年2月10日,天问一号探测器顺利进入火星的椭圆环火轨道(将火星近似看成一个球体,球心为椭圆的一个焦点).2月15日17时,天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点(椭圆轨迹上距离火星
表
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面最远的一点)平面机动”,同时将近火点高度调整至约265公里.若此时远火点距离约为11945公里,火星半径约为3400公里,则调整后“天问一号”的运行轨迹(环火轨道曲线)的离心率约为 .(精确到0.1) 答案 0.6解析 设椭圆的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),由椭圆的性质可得椭圆上的点到焦点的距离的最小值为a-c,最大值为a+c,根据题意可得近火点满足a-c=3400+265=3665,远火点满足a+c=3400+11945=15345,解得a=9505,c=5840,所以椭圆的离心率为e=ca=58409505≈0.6.思路分析 设出椭圆方程,利用椭圆的几何性质得出a-c,a+c的几何意义,然后根据已知条件求出a,c的值,进而求出离心率.四、解答题17.(2021北京首师大二附中高三开学测试,19)已知直线x-2y+2=0经过椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左顶点A和上顶点D,椭圆C的右顶点为B,点S为椭圆C上位于x轴上方的动点,直线AS,BS与直线l:x=103分别交于M,N两点.(1)求椭圆C的方程;(2)求证:直线AS与BS的斜率的乘积为定值;(3)求线段MN的长度的最小值.解析 本题考查椭圆的标准方程、直线方程、基本不等式,考查学生运用代数的
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体现综合性.(1)由已知得,椭圆C的左顶点为A(-2,0),上顶点为D(0,1),∴a=2,b=1,故椭圆C的方程为x24+y2=1.(2)证明:设S(x0,y0),得x024+y02=1,∴y02=1-x024,故kAS·kBS=y0x0+2·y0x0-2=y02x02-4=-14.(3)设直线AS的斜率为k,k显然存在,且k>0,故可设直线AS的方程为y=k(x+2),从而M103,16k3,由(2)知kAS·kBS=-14,因而有kBS=-14k,所以直线BS的方程为y=-14k·(x-2),∴N103,-13k,故|MN|=16k3+13k,又k>0,∴|MN|=16k3+13k≥216k3·13k=83,当且仅当16k3=13k,即k=14时等号成立,∴k=14时,线段MN的长度取最小值83.思路分析 (1)先求得椭圆C的左顶点A和上顶点D的坐标,从而可得a,b,然后可求椭圆C的方程;(2)设点S(x0,y0),可得kAS·kBS=y0x0-2·y0x0+2=y02x02-4,然后由点S在椭圆上可证明kAS·kBS为定值;(3)设直线AS的方程得M的坐标,然后利用kAS·kBS=-14,进而得直线BS的方程,从而得N的坐标,求出|MN|后,利用基本不等式求线段MN长度的最小值.18.(2021天津和平二模,18)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的右焦点为F,点A(-a,0)与点B(0,b)是椭圆的顶点,|BF|=23|AF|.(1)求椭圆C的离心率e;(2)设以离心率e为斜率的直线l经过点A,与椭圆C相交于点P(点P不在坐标轴上).(i)证明:点F在以线段AP为直径的圆上;(ii)若AP·BF+AB·BP=8,求椭圆C的方程.解析 (1)设点F的坐标为(c,0),则|BF|=b2+c2=a,|AF|=a+c,由|BF|=23|AF|,求得a=2c,所以离心率e=ca=12.(2)设直线l的方程为y=12(x+2c),由(1)可知b=a2-c2=3c,所以椭圆C的方程可化为x24c2+y23c2=1.(i)证明:将直线l的方程与椭圆C的方程联立,y=12x+c,3x2+4y2=12c2,消去y得x2+cx-2c2=0,解得x=-2c或x=c,结合题意可得Pc,32c,因此AF⊥FP,所以点F在以线段AP为直径的圆上.(ii)AP=3c,32c,BF=(c,-3c),AB=(2c,3c),BP=c,32-3c,故AP·BF+AB·BP=3c2-332c2+2c2+332c2-3c2=2c2=8,解得c2=4.所以椭圆C的方程为x216+y212=1.19.(2021四川顶级名校3月联考,19)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率是12,椭圆C过点1,32.(1)求椭圆C的方程;(2)已知F1,F2是椭圆C的左、右焦点,过点F2的直线l(不过坐标原点)与椭圆C交于A,B两点,求F1A·F1B的取值范围.解析 (1)由条件知a2-b2a2=14,1a2+94b2=1,解得a2=4,b2=3,因此椭圆C的方程为x24+y23=1.(2)由(1)知F1(-1,0),F2(1,0).设A(x1,y1),B(x2,y2),则F1A=(x1+1,y1),F1B=(x2+1,y2),设直线l的方程为x=my+1,代入椭圆C的方程消去x,得(3m2+4)y2+6my-9=0,由根与系数的关系得y1+y2=-6m3m2+4,y1y2=-93m2+4,F1A·F1B=(x1+1)(x2+1)+y1y2=(my1+2)(my2+2)+y1y2=(1+m2)y1y2+2m(y1+y2)+4=(1+m2)-93m2+4+2m-6m3m2+4+4=-9m2+73m2+4=-3+193m2+4,∵3m2+4≥4,∴0<193m2+4≤194,∴-3<-3+193m2+4≤74,所以F1A·F1B∈-3,74.20.(2021河南3月适应性测试,20)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),直线l:y=kx+a,直线l与椭圆C交于M,N两点,与y轴交于点P,O为坐标原点.(1)若k=1,且N为线段MP的中点,求椭圆C的离心率;(2)若椭圆长轴的一个端点为Q(2,0),直线QM,QN与y轴分别交于A,B两点,当PA·PB=1时,求椭圆C的方程.解析 (1)由题意知直线l:y=x+a与x轴交于点(-a,0),∴点M为椭圆C的左顶点,即M(-a,0).∴N-a2,a2,代入x2a2+y2b2=1,得14+a24b2=1,即b2a2=13.∴e2=c2a2=1-b2a2=23.∴e=63,即椭圆C的离心率e=63.(2)由题意得a=2,∴椭圆C的方程为b2x2+4y2=4b2(b>0).由b2x2+4y2=4b2,y=kx+2消去y,得(4k2+b2)x2+16kx+16-4b2=0.∴Δ=16b2(4k2+b2-4)>0,xM+xN=-16k4k2+b2,xM·xN=16-4b24k2+b2.∵直线QM:y=yMxM-2(x-2),∴A0,-2yMxM-2,PA=0,2yM+2xM-42-xM.∵yM=kxM+2,∴yM-2=kxM,即PA=0,2(k+1)xM2-xM.同理PB=0,2(k+1)xN2-xN,∴PA·PB=4(k+1)2xMxNxMxN-2(xM+xN)+4=4-b2=1.∴b2=3.∴椭圆C的标准方程为x24+y23=1.21.(2021浙江百校3月联考,21)如图,已知椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0),离心率为32,F1(-3,0),F2(3,0)为椭圆的左、右焦点,P为椭圆上一动点,Q为△PF1F2的内心,连接PQ并延长,交x轴于点M.(1)求椭圆E的方程;(2)设△F1QM,△F2QP的面积分别为S1,S2,求S1S2的取值范围.解析 (1)因为离心率为32,所以ca=32.因为F1(-3,0),F2(3,0)为椭圆的左、右焦点,所以c=3,所以a=2,则b=1,所以椭圆E的方程为x24+y2=1.(6分)(2)因为Q为△PF1F2的内心,所以Q为△PF1F2各内角角平分线的交点,故根据角平分线定理可知,|PQ||QM|=|PF1||F1M|,|PQ||QM|=|PF2||F2M|,∴|PQ||QM|=|PF1||F1M|=|PF2||F2M|=|PF1|+|PF2||F1M|+|F2M|=2a2c=ac=23.(8分)设△F1QM,△F2QP中QM,PQ上的高分别为h1,h2,则S1S2=12|QM|·ℎ112|PQ|·ℎ2=|QM|·ℎ1|PQ|·ℎ2=3·ℎ12·ℎ2.(10分)又ℎ1ℎ2=|F1M||F2M|=|PF1||PF2|,设P(x0,y0),∴|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,(12分)∴S1S2=32·2+32x02-32x0=32·-2+32x0+42-32x0=32·-1+42-32x0.∵P为椭圆上一动点,且P,F1,F2能构成三角形,∴x0∈(-2,2),∴S1S2=32·-1+42-32x0∈732-6,732+6.(15分)22.(2021浙江湖丽衢三地市4月联考,21)已知F1,F2是椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,动点P在椭圆上,且|PF1|的最小值和最大值分别为1和3.(1)求椭圆的标准方程;(2)如图,动点M在抛物线C:y2=4x上,且在直线x=a的右侧,过点M作椭圆E的两条切线分别交直线x=-a于A,B两点,当|AB|=10时,求点M的坐标.解析 (1)由a-c=1,a+c=3,解得a=2,c=1,则b=3,所以椭圆的标准方程为x24+y23=1.(2)不妨设kMA=k1,kMB=k2,A(x1,y1),B(x2,y2),M(t2,2t),t2>2,设过点M所作椭圆的切线方程为y=k(x-t2)+2t,由y=kx+(2t-t2k),3x2+4y2=12,得(3+4k2)x2+8k(2t-t2k)x+4(2t-t2k)2-12=0.由Δ=0得(t4-4)k2-4t3k+4t2-3=0,所以k1+k2=4t3t4-4,k1·k2=4t2-3t4-4,令x=-2,则|AB|=|y1-y2|=(t2+2)|k1-k2|.因为|k1-k2|=Δ|a|=23t4+16t2-12|t4-4|,所以|AB|=(t2+2)23t4+16t2-12|(t2-2)(t2+2)|=23+4(7t2-6)t4-4t2+4=10,解得t2=4t2=1411舍去,所以点M的坐标为(4,±4).
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