高斯—勒让德积分公式 摘要： 高斯—勒让德积分公式可以用较少节点数得到高精度的计算结果,是现在现实生活中经常运用到的数值积分法。然而，当积分区间较大时，积分精度并不理想。 The adva ntage of Gauss-Legendre integral formula is tend to get high-precision calculational result by using fewer Gauss-points, real life is now often applied numerical integration method. But the precision is not good when the length of integral interval is longer. 关键字： 积分计算，积分公式，高斯—勒让德积分公式，MATLAB Keyword: Integral Calculation , Integral formula ,Gauss-Legendre integral formula, Matlab 引言： 众所周知，微积分的两大部分是微分与积分。微分实际上是求一函数的导数，而积分是已知一函数的导数，求这一函数。所以，微分与积分互为逆运算。 实际上，积分还可以分为两部分。第一种，是单纯的积分，也就是已知导数求原函数，称为不定积分。 相对而言，另一种就是定积分了，之所以称其为定积分，是因为它积分后得出的值是确定的，是一个数，而不是一个函数。 计算定积分的
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
很多，而高斯—勒让德公式就是其中之一。 高斯积分法是精度最高的插值型数值积分，具有2n+1阶精度，并且高斯积分总是稳定。而高斯求积系数，可以由Lagrange多项式插值系数进行积分得到。 高斯—勒让德求积公式是构造高精度差值积分的最好方法之一。他是通过让节点和积分系数待定让函数f(x)以此取i=0,1,2....n次多项式使其尽可能多的能够精确成立来求出积分节点和积分系数。高斯积分的代数精度是2n-1，而且是最高的。通常运用的是（-1，1）的积分节点和积分系数，其他积分域是通过变换x=(b-a)t/2 +(a+b)/2 变换到-1到1之间积分。 1. 现有的方法和理论 1.1高斯 勒让德求积公式 在高斯求积公式(4.5.1)中，若取权函数 ，区间为 ，则得公式 我们知道勒让德多项式是区间 上的正交多项式，因此，勒让德多项式 的零点就是求积公式(上式)的高斯点．形如(上式)的高斯公式特别地称为高斯－勒让德求积公式． 若取 的零点 做节点构造求积公式 令它对 准确成立，即可定出 ．这样构造出的一点高斯－勒让德求积公式是中矩形公式．再取 的两个零点 构造求积公式 令它对 都准确成立，有 ． 由此解出 ，从而得到两点高斯－勒让德求积公式 ． 三点高斯－勒让德求积公式的形式是 ． 如表列出高斯－勒让德求积公式的节点和系数． 0 0.0000000 2.0000000 1 0.5773503 1.0000000 2 0.7745967 0.0000000 0.5555556 0.8888889 3 0.8611363 0.3399810 0.3478548 0.6521452 4 0.9061798 0.5384693 0.0000000 0.2369269 0.4786287 0.5688889 公式(4.5.9)的余项由(4.5.8)得 ， 这里 是最高项系数为１的勒让德多项式，由(3.2.6)及(3.2.7)得 ． 当 时，有 ． 它比辛普森公式余项 还小，且比辛普森公式少算一个函数值． 当积分区间不是[－１，１]，而是一般的区间 时，只要做变换 可将 化为［－１，１］，这时 ． 对等式右端的积分即可使用高斯－勒让德求积公式． 1.2复化Gauss-Legendre求积公式 将被积区间m等分, 记 , 作变换 在每个小区间上应用Gauss-Legendre公式, 累加即得复化Gauss-Legendre求积公式 不妨设 则有: Gauss点个数 时, Gauss点个数 时,
总结
初级经济法重点总结下载党员个人总结TXt高中句型全总结.doc高中句型全总结.doc理论力学知识点总结pdf
复化Gauss-Legendre求积过程如下: 1. 分割区间, 记录区间端点值； 2. 通过查表或求解非线性方程组, 在所有小区间上, 将Gauss系数和Gauss点的值代入变量替换后的公式； 3. 将所有区间的结果累加, 即得到整个区间上的积分近似值. 针对Gauss点个数 和 的复化Gauss-Legendre求积公式编写的一个简单的MATLAB函数 compgauss() 如下: function [ ] = compgauss(a, b, n) % Composite Gauss Integration % Equation Type: n=2, n=3 % Coded by Nan.Xiao 2010-05-25 % Step.1 Divide Interval % Step.2 Calculate % Step.3 Sum Results format long f = @(x) exp(x).*sin(x); h=(b-a)/n; xk=zeros(n+1,1); xk(1,1)=a; xk(n+1,1)=b; fk1=zeros(n,1); fk2=zeros(n,1); for i=1:n-1 xk(i+1,1)=a+h*i; end for j=1:n fk1(j)=f((xk(j)+xk(j+1))/2+(h/2)*(-1/sqrt(3)))+... f((xk(j)+xk(j+1))/2+(h/2)*(1/sqrt(3))); end for r=1:n fk2(r)=(5/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(-sqrt(15)/5))+... (8/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(0))+... (5/9)*f((xk(r)+xk(r+1))/2+(h/2)*(sqrt(15)/5)); end mysum1=h*sum(fk1)/2; mysum2=h*sum(fk2)/2; disp('Result of 2 Nodes:') disp(mysum1); disp('Result of 3 Nodes:') disp(mysum2); end 1.3龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德求积法 以下是关于龙贝格，三点，五点以及变步长高斯勒让德之间精度的相互比较 #include
#include #include #define Precision1 0.000000000001 # define e 2.71828183 #define MAXRepeat 10 double function (double x) { double s; s=1/x; return s; } double Romberg(double a,double b,double f(double x)) { int m,n,k; double y[MAXRepeat],h,ep,p,xk,s,q; h=b-a; y[0]=h*(f(a)+f(b))/2.0;//计算T`1`(h)=1/2(b-a)(f(a)+f(b)); m=1; n=1; ep=Precision1+1; while((ep>=Precision1)&&(m=Precision1)&&(fabs(h)>s)) { g=0.0; for(i=0;i>a; cout<<"请输入积分上限:"; cin>>b; cout<<"㏑的真值为:"<
参数
转速和进给参数表a氧化沟运行参数高温蒸汽处理医疗废物pid参数自整定算法口腔医院集中消毒供应
为求积分的表达式，第二三个参数分别为 积分的上下限。 2.2高斯-勒让德数值积分Matlab代码 function [ql,Ak,xk]=guasslegendre(fun,a,b,n,tol) if nargin==1 a=-1;b=1;n=7;tol=1e-8; elseif nargin==3 n=7;tol=1e-8; elseif nargin==4 tol=1e-8; elseif nargin==2|nargin>5 error('The Number of Input Arguments Is Wrong!'); end syms x p=sym2poly(diff((x^2-1)^(n+1),n+1))/(2^n*factorial(n)); tk=roots(p); Ak=zeros(n+1,1); for i=1:n+1 xkt=tk; xkt(i)=[]; pn=poly(xkt); fp=@(x)polyval(pn,x)/polyval(pn,tk(i)); Ak(i)=quadl(fp,-1,1,tol); % 求积系数 end xk=(b-a)/2*tk+(b+a)/2; fun=fcnchk(fun,'vectorize'); fx=fun(xk)*(b-a)/2; ql=sum(Ak.*fx); 3.数值实验 3.1 用4点（n=3）的高斯——勒让德求积公式计算 . 解： 先将区间 化为 ，由（1） .（1） 有 . 根据表4-7中n=3的节点及系数值可求得 . （ 准确值 ） 3.2用 的高斯-勒让德公式计算积分 解： 令 ，则 用 的高斯—勒让德公式计算积分 用 的高斯—勒让德公式计算积分 3.2用四个节点的高斯―勒让德求积公式计算定积分 ，计算过程保留4位小数． 解 ： 高斯－勒让德求积公式只求积分区间为[－1,1]上的积分问
题
快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题
．需作变换，令 ，当x=1时，u=1;当x=0时，u=－1．于是， ＝ ＝ 3. 总结 高斯―勒让德求积公式对定积分的计算拥有高精度的特点，但是这只存在于积分区间在[-1,1]上，区间的变大会导致精度的降低。因此，寻找精度更高，加速更快的算法是必要的。 《参考文献》 [1]《数值计算》 张军、林瑛、钟竞辉 清华大学出版社 2008 6 17 [2]《数值
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
》 陈晓江、黄樟灿· 科学出版社 2010 7 10 [3]《数值分析原理》吴勃英 科学出版社 2009 7 23 [4] 复化两点Gauss-Legendre求积公式的外推算法 《桂林航天工业高等专科学校学报》2007年03期
浙公网安备 33021202002483