线性方程组的解法 注意：考试以非齐次线性方程组的无穷多解为主要考查点，但是同学们学得时候要系统，要全面，要完整。下面是解线性方程组各种情况的标准格式，请同学们以此为准，进行练习。 一、齐次线性方程组的解法 定理 齐次线性方程组一定有解： (1) 若齐次线性方程组 ，则只有零解； (2) 齐次线性方程组有非零解的充要条件是 .（注：当 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 .） 注：1、基础解系不唯一，但是它们所含解向量的个数相同，且基础解系所含解向量的个数等于 . 2、非齐次线性方程组 的同解方程组的导出方程组（简称“导出组”）为齐次线性方程组 所对应的同解方程组。 由上面的定理可知，若 是系数矩阵的行数（也即方程的个数）， 是未知量的个数，则有：（1）当 时， ，此时齐次线性方程组一定有非零解，即齐次方程组中未知量的个数大于方程的个数就一定有非零解； （2）当 时，齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 ； （3）当 且 时，此时系数矩阵的行列式 ，故齐次线性方程组只有零解； （4）当 时，此时 ，故存在齐次线性方程组的同解方程组，使“ ”. 例 解线性方程组 解法一：将系数矩阵A化为阶梯形矩阵 显然有 ，则方程组仅有零解，即 . 解法二：由于方程组的个数等于未知量的个数（即 ）（注意：方程组的个数不等于未知量的个数（即 ），不可以用行列式的
方法
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来判断），从而可计算系数矩阵A的行列式： ，知方程组仅有零解，即 . 例 解线性方程组 解：将系数矩阵A化为简化阶梯形矩阵 可得 ，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 （其中 ， ， 为自由未知量） 令 ， ， ，得 ；令 ， ， ，得 ；令 ， ， ，得 ，于是得到原方程组的一个基础解系为 ， ， . 所以，原方程组的通解为 （ ， ， ）. 例3 求齐次线性方程组 的一个基础解系，并以该基础解系
表
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示方程组的全部解. 解：将系数矩阵 化成简化阶梯形矩阵 可得 ，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 （其中 , 为自由未知量） 令 ， ，得 ；令 ， ，得 ，于是得到原方程组的一个基础解系为 , 所以，原方程组的通解为 （其中 , 为任意实数）. 二、非齐次线性方程组的解法 ⑴ 唯一解： 线性方程组有唯一解 例 解线性方程组 解： 可见 ，则方程组有唯一解，所以方程组的解为 ⑵ 无解： 线性方程组无解（或若阶梯形方程组出现 ，则原方程组无解） 例 解线性方程组 解： ，可见 ，所以原方程组无解. ⑶ 无穷多解： 线性方程组有无穷多解 例 解线性方程组 解： 可见 ，则方程组有无穷多解，其同解方程组为 （其中 , 为自由未知量） 令 得原方程组的一个特解 . 又原方程组的导出组的同解方程组为 （其中 , 为自由未知量） 令 ， ，得 ；令 ， ，得 ，于是得到导出组的一个基础解系为 ， 。 所以，原方程组的通解为 （ ， ）. 例 求线性方程组 的全部解. 解： 可见 ，所以方程组有无穷多解，其同解方程组为 （其中 为自由未知量） 令 ，可得原方程组的一个特解 . 又原方程组的导出组的同解方程组为 （其中 为自由未知量） 令 （注：这里取-2为了消去分母取单位向量的倍数），得， ，于是得到导出组的一个基础解系为 . 所以，原方程组的通解为 （ ）.
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