第】5卷 第2期 上海工业大学学报
I994半 4 月 JOURNAL OF SHANGHAI UNIVERSⅡ Y OF TECH NOLOGY
Voll5 No 2
April 】994
编者按： 本文对溉率论中著名的柯尔奠哥洛夫公理系统提出了新的看法和见解，颇有争
议．今将垒文发
表
关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf
干下，便于学术上展开讨论．
， ，
f J。一 71]
柯尔莫哥洛夫公理系统的外部矛盾性
及合理的概率论公理系统
王 鸣 鹤 f f
(基础课教学部1
摘 要 ．概率论的公理化是希尔怕特于 i900年首先提出的，公认 由柯尔奠哥洛夫于
1933年解决 本文首次提出数学公理系统外部相窑性的新概念，指出柯尔奠哥济夫公
理系统存在着外部矛盾性，井提出了一个更加合理的公理系统一系统 在系统 下，
对【0，1) 均匀分布的随机试验，能够唯一确定【0，1)dJ任意子集的概率，而且对美国罗斯
(S Ross)教授所著的教科书中提到的一个概率论悸论，首次给出了正确的解释 因此．本文
有效地发展了柯尔奠哥洛夫的理论
关键词 数学公理系统；外部相容性或外部矛盾性；系统 Ross悖论
中围分类号 O211
刖 舌
年日缓
1900年在巴黎召开的第二次国际数学家会议上，著名数学家希尔伯特在具有历史意义的重
要
报告
软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载
l11中提出了23个数学问题。其中概率论的公理化公认是由苏联的柯尔奠哥洛夫于 1933
年发表的专著12]所解决．柯尔莫哥洛夫概率论公理系统的建立使概率论的发展有了严密的理论
基础，有效地建立了测度论与概率论的联系，对概率论在近 50多年来得 的重大进展起了奠基的
作用 因此，柯尔奠哥洛夫公理系统的历史贡献是不容怀疑的．但是否能再加以发展或改进了呢?
本文将提出公理系统外部相容性的新概瓴念．然后证实柯尔莫哥洛夫公理系统存在着外部矛
盾性，并提出了更为合理的 新的概率论公理系统．当然，本文的思想将会与近几十年来对概率
论的传统认识发生矛盾．
由于本文涉及的内容，观点和方法完垒是新的，因此在理论上还不可能十分完善．希望本文
能得到大家的关心 补充和指导，共同为概率论的发展开创一个新的领域．同时也希望本文能对
I993年 5月 2】日收到
王呜鹤 副教授，上海市延长路 I49号(200072}
维普资讯 http://www.cqvip.com
2期 王鸣鹤：柯尔哥洛夫公理系统的外部矛盾性及合理的概率论公理系统
测度论、积分论等其它数学学科的发展提供一种新的源泉
1 柯尔莫哥洛夫公理系统的概述
在概率论的初始阶段，人们是在没有明确随机试验这一概念的条件下，直接讨论随机事件的
概念．这样不可避免地会产生一些矛盾的认识．近代概率论的研究则把随机试验作为概率论最原
始的概率，然后通过样本空间E来进行系统的讨论．
1933年柯尔莫哥洛夫的专著口 则越过随机试验、直接从样本空间E出发．提出六条公理作为
概率论的公理系统：
I ，是以 E的子集为集合元素的 一个环：
1I Es
Ⅲ 对任意 As F 存在一个实数P(A)≥0：
Ⅳ P(E)：1：
V 对任意A，BsF，若AB=．则 P(aUB)=e(a)+P( )；
Ⅵ 对F中任意递减序歹¨ ．3A 2 3⋯一，且n ：中，刚 limP(A )：0．
⋯
专著中论述了公理 I．Ⅵ的相容性，相互独立性及无范畴性 其实公理V、Ⅵ等价于概率的可列可
加性公理．根据测度论的测度扩展定理，环 F上的测度可唯一扩展到包含 ，的最小的波雷耳域 ，
上．以上就是柯尔奠哥洛夫公理系统的全部核心，我们简称为系统 正 按现代概率论的术语，系
统 的概率空间就是垒空间测度为 l(flfl规范化)的测度空间．因此 所有勒贝格测度论，积分论的
定理和公式在系统 中都能得到有效的应用，选样就完整地建立了概率论的理论基础．
近 5O年来．建立在系统 下的概率论已发展成为--fq庞大的数学学科，特别对随机过程理
论研究已达到了相当深刻的程度．但是其中有一些基本结论还是耐人寻味的．例如：
1) 对不可数样本空间，不能在它的任意子集上定义概率，
2) 对连续参数的随机过程{x⋯；一。。
>中提到的一个悖论．【 懈 设有一个无限大的箱子
及无限多个球，在时刻 71前 lmin时将 1至 1O号球放人箱子后再随机取出一只球．在时刻 71前
1 1
min时将 1 1—2O号球放人箱子再从箱子中随机取出一只球．一般，在71前÷rain时将10，斗1 2
号一l0 +1)号球放入箱子再从箱子中随机取出一只球．(假定放球取球不占时间)如此继续下去，观
察在 71时刻箱子中有多少球?
记事件 =f时刻71时i号球在箱子里}，易证 =0．所以根据系统 的概率公式，
∞
P( F．)≤∑P ．)=0．结论竟然是在时刻71箱子是空的．但事实上箱子中的球数是每次取放
- 』
。 l= l 。
后增加了 9只，因此罗斯称它为概率论的一个悖论．虽然罗斯发现这一悖论．遗憾的是他仍在系
统 的束缚下，接受了箱子是空的错误结论．
很显然．箱子中的球数是在增加的，所以
P(uF)=1>∑P(F．)=0
i- I I— I
这一例证有力地说明了系统 A是比系统 吏合理的概率论公理系统
结束语：本文在讨论系统 的外部矛盾性的基础上，提出了更符合概率论客观背景的系统
及广义系统 由于这些新的概率论公理系统不像系统 那样有现成的勒贝格测度论，积分论作
为工具．因此要使它们真正成为概率论公理系统，然后建立一系列的概率论基本理论，必须寻找
新的测度论工具 本文仅作为这方面工作的一个开端，还有大量工作需要我们今后不断地去探索．
维普资讯 http://www.cqvip.com
2期 王鸣鹤：柯尔哥洛夫公理系统的外部矛盾性及台理的概率论公理系统 1 17
参 考 文 献
1 Hilbert D Sur les problemes futurs des mathematiques Comptes Rendus dn Deuxieme Congres
InternationaI des M athematiciens． Gauthier．ViIlars． 1902：58-I14
2 Kolmogorov， A． N． Grundbegriffe der W
(Berlin)，2(3)1933
Ergehn M ath
3 M ires，R．Ven 、 W ahrscheinlichkeitsrechnung． Leipzig U．W ien，Fr Deuticke， 193l
4 Halmos．Paul R．M easure theory．Van Nostrand．1950
5 Godel，K．，Uber Formal Unentscheidbare Satze der Principia Mathemafiea und Verwandter
Sys~me I，M onatsh M ath．P 38,1931：173—198
6 Kline，M ．Mathematical thought from ancient tO modern Times Oxford Univ Press， New
York， 1972
7 Rloss，S A First course in probability．New York，M acmillan Pub．Co Co． 1976
EXTERNAL CONTRADICTION OF KOLM 0GOROV AXIOM SYSTEM
AND RATIONAL AXIOM SYSTEM OF PROBAB[LITY THE0RY
Wang Ming he(Dept of Fundamental Courses)
(Received May 2l，1993)
Abstrad
It is wel1．known that the axiomatization ofprobability theory was presented by Hilbert in
1900 and resolved by Kolmogorov in 1933 This paper advances the concept of the external
consistency of the mathematical axiom system ， indicates that there is an external
inconsistency in the Kolmogorov axiom system ，and presents a more rational axiom system ：the
system A．Under the system A．the probability ofarbitrary subsets of【0，1)for the uniform dis-
tribution on【0，1)can be defined uniquely and a paradox of probability theory mentioned in
Ross S textbook obtains the correct explanation．So this pape r effectively extends Kolmogorov S
theory ．
Key words mathematical axiom system；external consistency and inconsistency；
system ：Ross paradox
维普资讯 http://www.cqvip.com
浙公网安备 33021202002483