量子力学解答(5章)

量子力学解答 (钱伯初<量子力学>) Chap5 中心力场 5-2 限于l=1 的情形。分别求L2，Lx的共同本征函数和L2，Ly的共同本征函数，把它们 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 成Ylm的线性叠加。然后验证：Lx=0的本征函数，Ly=0的本征函数，Lz=0的本征函数（Y10） 三者互相正交。你能否不依赖本征函数的具体形式而对此结果给与理论证明？ 解：利用 4-23题结果：在L2,Lz表象中，Lx和Ly的对应本征值(ħ,0,−ħ)的本征态分别为： Lx= ħ, 0, −ħ Ly= ħ, 0, −ħ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 2 1 2 1 1ϕ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 1 2 2 0ϕ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=− 1 2 1 2 1 1ϕ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 2 1 2 1 1 iψ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 0 1 2 2 0ψ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − −=− 1 2 1 2 1 1 iψ Lz的本征函数为： Lz= ħ, 0, −ħ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 1 1φ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 0 0φ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =− 1 0 0 1φ 容易验证正交关系： 0 1 0 1 2 2)0,1,0(| 00 =⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − >=< ϕφ ， 0 1 0 1 2 2)0,1,0(| 00 =⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ >=< ψφ ， 0)101( 2 1 1 0 1 2 2)1,0,1( 2 2| 00 =−+=⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − >=< ϕψ 即三者正交。或者在坐标表象中， ， 10 11 10 11 0 )0,1,0( Y Y Y Y = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = − φ )( 2 2)1,0,1( 2 2 1111 11 10 11 0 − − −= ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= YY Y Y Y ϕ ， )( 2 2)1,0,1( 2 2 1111 11 10 11 0 − − += ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = YY Y Y Y ψ ， 利用球谐函数的正交性： 0)||( 2 2)( 2 2|| 1110111011111000 =><−><>=−>=<< −− YYYYYYYϕφ 1 ? ? ? ? ? w w w .k h d a w .c o m 0)||( 2 2)( 2 2|| 1110111011111000 =><+><>=+>=<< −− YYYYYYYψφ 0)|00|( 2 1)( 2 2|)( 2 2| 111111111111111100 =><−−+><>=−+>=<< −−−− YYYYYYYYϕψ 此结果不依赖本征函数的具体形式的理论证明如下： l =1时，m=1，0，−1。Lz =0的本征函数为Y10， 利用升降算符表示 Lx,Ly： )( 2 1 −+ += LLLx ， )(2 +− −= LL iLy 2222 )( 4 1,)( 4 1 −+−+ −−=+= LLLLLL yx 而 >+±>= ±± 1|)1)((| lmlm YmlmlYL mh ，所以，在Y10中的平均值为： 2 101010 2 11111010 2 1010 2 10 )0||0(| 2 )|(|2)(| 4 1|)(| 4 1|| hh h =+>+>+<= >+>+<>=+<>=< −−+−+ YYY YYLLYYLLYYLY x Lx本征值仅有三个：ħ，0，-ħ， 对应本征函数记为：|11〉，|10〉，|1-1〉。将Y10按它们展开： |Y10〉=a|11〉+b|10〉+c|1-1〉,则 a2,b2,c2分别是在Y10态中测得Lx的本征值取ħ，0，-ħ的概率。 于是： 222222222 10 2 10 )(0|| hhhh =+=+×+>=< cacbaYLY x ，即： 122 =+ ca 归一化： ，利用上式，得：b=0。于是 1| 2221010 =++>=< cbaYY |Y10〉=a|11〉+c|1-1〉，不含|10〉项。立即可得： <10| Y10〉=a<10|11〉+c<10|1-1〉=0+0=0 即Lx=0 的本征函数与Lz=0 的本征函数（Y10）正交。同理可证，Ly=0 的本征函数与Lz=0 的 本征函数（Y10）正交，Lx=0的本征函数与Ly=0的本征函数正交。 5-3 求Y11态下Lx的可能测值及相应概率，用下述两种方法。 (a) 将Y11按L2,Lz共同本征函数展开。 (b)对Y11态计算Lx及Lx2的平均值。 解：(a) 在L2,Lz表象中，Lx和Lz对应本征值(ħ,0,−ħ)的本征态分别为： Lx= ħ, 0, −ħ Lz= ħ, 0, −ħ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 2 1 2 1 1ϕ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 1 2 2 0ϕ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=− 1 2 1 2 1 1ϕ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 1 11Y ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 0 10Y ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =− 1 0 0 11Y 将Y11按L2,Lz共同本征函数展开： 10111 −++= ϕϕϕ cbaY 2 ? ? ? ? ? w w w .k h d a w .c o m 展开系数分别为： 2 1 0 0 1 )1,2,1( 2 1| 111 =⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ >==< Ya ϕ ， 2 2 0 0 1 )1,0,1( 2 2| 110 =⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −>==< Yb ϕ ， 2 1 0 0 1 )1,2,1( 2 1| 111 =⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −>==< − Yc ϕ ，于是： 10111 2 1 2 2 2 1 −++= ϕϕϕY Lx测值 ħ 0 −ħ 概率=|系数|2 1/4 1/2 1/4 (b) 利用升降算符表示： )( 2 1 −+ += LLLx ， 22 )(4 1 −+ += LLLx 而 >+±>= ±± 1|)1)((| lmlm YmlmlYL mh ，利用Ylm的正交性，在Y11中的平均值为： 0)|0(2| 4 1|)(| 2 1|| 101111111111 =>+<>=+<>=< −+ YYYLLYYLY x h 2 )0(|| 2 )|0(2)(| 4 1|)(| 4 1|| 2 1111 2 101111 2 1111 2 11 hh h =+><= >++<>=+<>=< −+−+ YY YLLYYLLYYLY x Lx本征值仅有三个：ħ，0，-ħ， 对应本征函数记为：|11〉，|10〉，|1-1〉。将Y11按它们展开： |Y11〉=a|11〉+b|10〉+c|1-1〉,则 a2,b2,c2分别是在Y11态中测得Lx的本征值取ħ，0，-ħ的概率。 于是： 0)()(0|| 222221111 =−=−+×+>=< hhh cacbaYLY x ，得：a2=c2 2/20|| 2222222211 2 11 hhhh ==+×+>=< acbaYLY x ,得：a2=c2=1/4 归一化： ，利用上式，得：b1| 2221111 =++>=< cbaYY 2=1/2。于是 Lx测值 ħ 0 −ħ 概率=|系数|2 1/4 1/2 1/4 5-4 设粒子状态为 )0(,)2( >++= − λψ λrezyxA 求 (a) L2的取值 (b) zL (c) Lz= ħ的概率 (d) Lx的可能测值及相应概率。 解：利用球谐函数的具体形式，可以将态写为： ) 2 12 2 1( 3 4 111011 − − +++−= YiYYiAre r πψ λ (a) 可见为L2的属于l=1的本征态，故：L2的取值=l(l+1) ħ2=2 ħ2 3 ? ? ? ? ? w w w .k h d a w .c o m (b) 设对应Lz三个本征值ħ，0，-ħ的本征态的展开系数分别为a,b,c, 则相对概率之比为： a2：b2：c2=1：4：1，归一化得概率为： Lz测值 ħ 0 −ħ 概率=|系数|2 1/6 4/6=2/3 1/6 所以： 0)( 6 10 3 2 6 1 =−+×+= hhzL (c) Lz= ħ的概率为 1/6。 (d) 在L2,Lz表象中，Lx和Lz对应本征值(ħ,0,−ħ)的本征态分别为： Lx= ħ, 0, −ħ Lz= ħ, 0, −ħ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 1 2 1 2 1 1ϕ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = 1 0 1 2 2 0ϕ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −=− 1 2 1 2 1 1ϕ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 0 1 11Y ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = 0 1 0 10Y ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ =− 1 0 0 11Y 即： 1110111 2 1 2 2 2 1 1 0 0 2 1 0 1 0 2 2 0 0 1 2 1 1 2 1 2 1 −++=⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = YYYϕ ， )( 2 2 1 0 0 2 2 0 0 1 2 2 1 0 1 2 2 11110 −−=⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −+ ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = YYϕ 1110111 2 1 2 2 2 1 1 0 0 2 1 0 1 0 2 2 0 0 1 2 1 1 2 1 2 1 −− −+=⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ + ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎜ ⎝ ⎛ − = YYYϕ 于是： ) 2 21 2 21( 3 4 101 − − −+−+= ϕϕϕπψ λ iiAre r Lx=(ħ,0,−ħ)的概率之比为：5/2：1：5/2，即Lx=(ħ,0,−ħ)的概率分别为：5/12，1/6，5/12。 5-6 质量为μ 的粒子在中心力场 中运动，试用不确定关系估算基态能 量。 )0()( 2/3 >−= − λλrrV 解：能量平均值为： 2/32 2 1 −−=+= rp m VTE λ ，由不确定关系： h~~ prprΔΔ 2/32 2 2/322/32 22 1 2 1 −−−− −≈−≈−=+= rr m rp m rp m VTE λλλ h 4 ? ? ? ? ? w w w .k h d a w .c o m 令： 0=∂ ∂ r E ，即： 2 2 )( 9 4 λmr h= ，代入上式，得： 6 43 6 43 84.0)( 32 27 hh λλ mmE −=−≈ 5-9 对氢原子基态 ψ100，计算电子出现在经典禁区的概率。 解：由能量关系： VTE += ，动能T =0时,E=V=−e2/r,显然，大于r=-e2/E的区域是经典禁区。 对于基态，r=-e2/E1=-e2/(-e2/2a0)=2a0. 电子出现在经典禁区的概率 2381.013) 224 (44 4 2 0 2 0 3 0/2 3 0 2 2 /2 3 0 2 2 2 10 0 0 0 0 ==++−=== −−∞ −∞ ∫∫ eraraaeadrreadrrRw ara ara 5-11 对于氢原子的(n,n-1,m)态，求最概然半径及 .,, 2 rrr Δ 解：u(r)=Rr,径向概率密度为：w(r)=|Rnl|2r2=|unl(r)|2 对于氢原子的(n,n-1,m)态, l=n-1, 而 n=nr+l+1,即 nr=0。由书上p182式（19）上面知：a=-nr=0， 于是，由书上p181式（14）知：F=1, 再由书上p180式（6）知： rnrl nn eCrFeCru αα −−+ − == 11, ，其中， 0 1 na =α 最概然半径条件为（极值条件）： 0)( 11, =−= −−− rnnnn ernrC dr du αα ，解得： 0 2annrm == α ∫∫ ∫∫∫ +∞∞− −+∞∞− +∞∞− −+−++∞∞− −+∞∞− ==== drerdrerdrerCrdrurdrrRr rnrnrnnn ααα 2221221222 1,22 / 分子分部积分，得： ∫ ∫∫ ∞+∞− ∞+∞− −−∞+∞−−+∞+∞− −+ +=++−= drerndrernerdrer rnrnrnrn αααα ααα 2222212212 2 122 1221 于是： 02 )2 ( 2 12 annnr +=+= α ∫∫ ∫∫ +∞∞− −+∞∞− +∞∞− −+−+∞∞− === drerdrerdrrudrrrRr rnrnnn αα 2222222 1,2222 / 分子分部积分两次，得： ∫ ∫∫ ∞+∞− ∞+∞− −−+∞+∞−−+∞+∞− −+ ++=++−= drernndrernerdrer rnrnrnrn αααα αααα 22212222222 2 122 222 2221 于是： 022 2 )1)( 2 1( 4 )22)(12( annnnnr ++=++= α 5 ? ? ? ? ? w w w .k h d a w .c o m 4 1 2 ]) 2 1()1)( 2 1([ )( 0 2 0 2222 +=+−++=−=Δ nnaannnnrrr 5-12 原子核突然发生β−衰变，电荷突然由Ze变成(Z+1)e.衰变过程中核外的电子波函数不受 影响。对于原来处于原子(Z)的K层(1s层，nlm=100)的电子，衰变后仍旧处于原子(Z+1)的K 层的概率是多少？ 解：原来处于原子(Z)的 K层的电子波函数为： 0/ 2/1 3 0 3 100 ),( aZre a ZrZ −⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛= πψ ， 衰变后处于原子(Z+1)的 K层的电子波函数为： 0/)1( 2/1 3 0 3 100 )1(),1( arZe a ZrZ +−⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +=+ πψ 跃迁概率由 ),(100 rZψ 按衰变后的态 ),1( rZnlm +ψ 展开的系数决定。与 ),1(100 rZ +ψ 对应 的展开系数为： 2/1 6 33 3 3 0 2/1 3 0 32/1 3 0 3 2/)12( 0 2/1 3 0 32/1 3 0 3 100100 )2/1( )1( )12( 8)1( 4)1(),(|),1( 0 ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ + +=+⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ += ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ ⎟⎟⎠ ⎞ ⎜⎜⎝ ⎛ +>=+< +−∞∫ Z ZZ Z a a Z a Z drre a Z a ZrZrZ arZ π ππ πππψψ 于是，衰变后仍旧处于原子(Z+1)的 K层的概率是 6 33 2 100100 )2/1( )1(|),(|),1(| + +=>+<= Z ZZrZrZP ψψ 5-13 单价原子的外层电子（价电子）所受原子核及内层电子的平均作用势可以近似表示成： 10,)( 2 2 0 2 <<<−−= λλ r ea r erV 试求价电子能级，与氢原子比较，列出主量子数 n的修正 公式 小学单位换算公式大全免费下载公式下载行测公式大全下载excel公式下载逻辑回归公式下载 。 解：将势函数带入径向方程 )()()]( 2 )1( 2 [ 2 2 2 22 rEururV mr ll dr d m =+++− hh ，得： )()(] 2 2)1( 2 [ 2 2 2 0 2 2 22 rEuru r e mr eamll dr d m =−−++− λhh 如令： ，注意：2022 2)1()1(' eamllll λ−+=+′ hh 2 2 0 me a h= ，即 6 ? ? ? ? ? w w w .k h d a w .c o m λ2)1()1(' −+=+′ llll 则方程退化为氢原子问题，价电子能级为： 11 2 2 2 4 ++′=′⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ′−= rnlnn eE h μ 如令： ，则：Δ+=′ ll Δ+=Δ+++=++′=′ nnlnln rr 11 由于λ<<1， λ2)1()12()1()1)(()1(' 2 −+=Δ+Δ+++=+Δ+Δ+=+′ lllllllll 忽略二阶小量，得： )2/1/( +−=Δ lλ 。可见能级与 n和 l都有关。 7 ? ? ? ? ? w w w .k h d a w .c o m