数量积向量积混合积

JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ 1lÙ ˜m)ÛAۆ•þ“ê § 8.2 êþÈ •þÈ ·ÜÈ �+ ênÆ� �®nóŒÆ¾°Æ� School of Science Zhuhai Campus of Beijing Institute of Technology YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ Jj 1 ü•þ�êþÈ 2 ü•þ�•þÈ 3 •þ�·ÜÈ YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ µe 1 ü•þ�êþÈ 2 ü•þ�•þÈ 3 •þ�·ÜÈ YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�êþÈ ¢~ ˜ÔN3~å~FŠ^e÷†‚l:M1£Ä�:M2§ ±~sL« £ −−−−→ M1M2§Kå~F ¤Š�õ W = |~F ||~s| cos θ, Ù¥§θ~F†~s�Y�" é« ü•þŠù��$Ž§(J´˜‡êþ" YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�êþÈ ½Â •þ~a†~bêêêþþþÈÈȏ~a · ~b,= ~a · ~b = |~a ||~b | cos θ,Ù¥§θ~a†~b�Y�" ∵ |~b | cos θ = Prja~b , |~a | cos θ = Prjb~a, ∴ ~a · ~b = |~b |Prjb~a = |~a |Prja~b (Ø üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ���uuuÙÙÙ¥¥¥˜˜˜‡‡‡•••þþþ������ÚÚÚ,,,˜˜˜‡‡‡•••þþþ333ùùù •••þþþ���•••þþþ���ÝÝÝKKK���¦¦¦ÈÈÈ"""êþȏ¡::È!SÈ YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�êþÈ ½Â •þ~a†~bêêêþþþÈÈȏ~a · ~b,= ~a · ~b = |~a ||~b | cos θ,Ù¥§θ~a†~b�Y�" ∵ |~b | cos θ = Prja~b , |~a | cos θ = Prjb~a, ∴ ~a · ~b = |~b |Prjb~a = |~a |Prja~b (Ø üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ���uuuÙÙÙ¥¥¥˜˜˜‡‡‡•••þþþ������ÚÚÚ,,,˜˜˜‡‡‡•••þþþ333ùùù •••þþþ���•••þþþ���ÝÝÝKKK���¦¦¦ÈÈÈ"""êþȏ¡::È!SÈ YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�êþÈ 'uêþÈ�`²1 ~a · ~a = |~a |2 yµ∵ θ = 0,∴ ~a · ~a = |~a ||~a | cos θ = |~a |2 'uêþÈ�`²2 ~a · ~b = 0⇐⇒ ~a⊥~b yµ�•þ~a†~b–�k˜‡´"•þž§(ؤ á"e¡y²�~a†~bÑ´š"•þ�œ/µ XJ~a · ~b = 0§du|~a | , 0§|~b | , 0§¤ ±cos θ = 0§l θ = pi 2 §=~a⊥~b¶ ‡ƒ§XJ~a⊥~b§@oθ = pi 2 §cos θ = 0§u ´~a · ~b = |~a ||~b | cos θ = 0" YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�êþÈ êþÈÎÜe�$Ž5Ƶ �†Æ ~a · ~b = ~b · ~a, ©�Æ (~a + ~b) · ~c = ~a · ~c + ~b · ~c, (ÜÆ (λ~a) · ~b = λ(~a · ~b),λê. YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�êþÈ -êêêþþþÈÈÈ���‹‹‹IIILLLˆˆˆªªª: �~a = ax~i + ay~j + az~k§~b = bx~i + by~j + bz~k" UêþÈ�$Ž5ƌ�µ ~a · ~b = (ax~i + ay~j + az~k) · (bx~i + by~j + bz~k) = ax~i · (bx~i + by~j + bz~k) + ay~j · (bx~i + by~j + bz~k) +az~k · (bx~i + by~j + bz~k) = axbx~i ·~i + axby~i ·~j + axbz~i · ~k +aybx~j ·~i + ayby~j ·~j + aybz~j · ~k +azbx~k ·~i + azby~k ·~j + azbz~k · ~k YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�êþÈ -êêêþþþÈÈÈ���‹‹‹IIILLLˆˆˆªªª: �~a = ax~i + ay~j + az~k§~b = bx~i + by~j + bz~k" UêþÈ�$Ž5ƌ�µ ~a · ~b = (ax~i + ay~j + az~k) · (bx~i + by~j + bz~k) = ax~i · (bx~i + by~j + bz~k) + ay~j · (bx~i + by~j + bz~k) +az~k · (bx~i + by~j + bz~k) = axbx~i ·~i + axby~i ·~j + axbz~i · ~k +aybx~j ·~i + ayby~j ·~j + aybz~j · ~k +azbx~k ·~i + azby~k ·~j + azbz~k · ~k YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�êþÈ du~i!~j!~kpƒR†§¤± ~i ·~j =~j · ~k = ~k ·~i = 0;~j ·~i = ~k ·~j =~i · ~k = 0. qdu~i!~j!~k��þ1§¤± ~i ·~i =~j ·~j = ~k · ~k = 1 Ï �ü‡•þ�êþÈ�‹IL«ªµ ~a · ~b = axbx + ayby + azbz . YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�êþÈ du~i!~j!~kpƒR†§¤± ~i ·~j =~j · ~k = ~k ·~i = 0;~j ·~i = ~k ·~j =~i · ~k = 0. qdu~i!~j!~k��þ1§¤± ~i ·~i =~j ·~j = ~k · ~k = 1 Ï �ü‡•þ�êþÈ�‹IL«ªµ ~a · ~b = axbx + ayby + azbz . YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�êþÈ du~i!~j!~kpƒR†§¤± ~i ·~j =~j · ~k = ~k ·~i = 0;~j ·~i = ~k ·~j =~i · ~k = 0. qdu~i!~j!~k��þ1§¤± ~i ·~i =~j ·~j = ~k · ~k = 1 Ï �ü‡•þ�êþÈ�‹IL«ªµ ~a · ~b = axbx + ayby + azbz . YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�êþÈ du~a · ~b = |~a ||~b | cos 觤±�~a!~bÑØ´"•þž§k cos θ = ~a · ~b |~a ||~b | ±êþÈ�‹IL«ª=•þ���‹IL«ª“\þª§ ��ü‡•þY�{u�‹IL«ªµ cos θ = axbx + ayby + azbz√ a2x + a 2 y + a 2 z √ b2x + b 2 y + b 2 z ¤±§~a ⊥ ~b ⇐⇒ axbx + ayby + azbz = 0 YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�êþÈ du~a · ~b = |~a ||~b | cos 觤±�~a!~bÑØ´"•þž§k cos θ = ~a · ~b |~a ||~b | ±êþÈ�‹IL«ª=•þ���‹IL«ª“\þª§ ��ü‡•þY�{u�‹IL«ªµ cos θ = axbx + ayby + azbz√ a2x + a 2 y + a 2 z √ b2x + b 2 y + b 2 z ¤±§~a ⊥ ~b ⇐⇒ axbx + ayby + azbz = 0 YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�êþÈ du~a · ~b = |~a ||~b | cos 觤±�~a!~bÑØ´"•þž§k cos θ = ~a · ~b |~a ||~b | ±êþÈ�‹IL«ª=•þ���‹IL«ª“\þª§ ��ü‡•þY�{u�‹IL«ªµ cos θ = axbx + ayby + azbz√ a2x + a 2 y + a 2 z √ b2x + b 2 y + b 2 z ¤±§~a ⊥ ~b ⇐⇒ axbx + ayby + azbz = 0 YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�êþÈ ~1: ®n:M(1, 1, 1)!A(2, 2, 1)!ÚB(2, 1, 2)§ ¦∠AMB" ) ‰•þ −−→ MA9 −−→ MB§∠AMBÒ´§‚ƒm�Y�"ù p§l −−→ MA · −−→MB = 1 × 1+ 1 × 0+ 0 × 1 |−−→MA | = √ 12 + 12 + 02 = √ 2 |−−→MB | = √ 12 + 02 + 12 = √ 2 “\ü•þY�{u�Lˆª§�� cos ∠AMB = −−→ MA · −−→MB |−−→MA ||−−→MB | = 1 2 dd��§∠AMB = pi 3 " YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ µe 1 ü•þ�êþÈ 2 ü•þ�•þÈ 3 •þ�·ÜÈ YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�•þÈ ¢~ �O˜Šm\L�|:§k˜å~FŠ^uùm\þP:?© å~F† −−→ OP�Y�θ§å~Fé|:O�åÝ´˜•þ~M§§� � |~M| = |OQ ||~F | = |−−→OP ||~F | sin θ 5µ ~M�•R†u −−→ OP†~F¤û½�²¡§•ÎÜmÃX" YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�•þÈ ¢~ �O˜Šm\L�|:§k˜å~FŠ^uùm\þP:?© å~F† −−→ OP�Y�θ§å~Fé|:O�åÝ´˜•þ~M§§� � |~M| = |OQ ||~F | = |−−→OP ||~F | sin θ 5µ ~M�•R†u −−→ OP†~F¤û½�²¡§•ÎÜmÃX" YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�•þÈ ½Â •þ~a†~b�•••þþþÈÈȏ~c = ~a × ~b ~c��:|~c | = |~a ||~b | sin θ, θ~a†~b�Y�, 5µ ~c�•QR†u~a§qR†u~b§•ÎÜmÃX"•þÈ ¡µ�È! È YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�•þÈ ½Â •þ~a†~b�•••þþþÈÈȏ~c = ~a × ~b ~c��:|~c | = |~a ||~b | sin θ, θ~a†~b�Y�, 5µ ~c�•QR†u~a§qR†u~b§•ÎÜmÃX"•þÈ ¡µ�È! È YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�•þÈ 'u•þÈ�`²1 ~a × ~a = ~0 yµ∵ θ = 0,∴ |~a × ~a | = |~a |2 sin 0 = 0 'u•þÈ�`²2 ~a ∥ ~b ⇐⇒ ~a × ~b = ~0 yµ�•þ~a†~b–�k˜‡´"•þž§(ؤ á"e¡y²�~a†~bÑ´š"•þ�œ/µ XJ~a × ~b = ~0§du|~a | , 0§|~b | , 0§¤ ±sin θ = 0§l θ = 0§=~a ∥ ~b¶ ‡ƒ§XJ~a ∥ ~b§@oθ = 0½θ = pi§sin θ = 0§ u´|~a × ~b | = |~a ||~b | sin θ = 0" YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�•þÈ •þÈÎÜe�$Ž5Ƶ ~a × ~b = −~b × ~a, ©�Æ (~a + ~b) × ~c = ~a × ~c + ~b × ~c, (ÜÆ (λ~a) × ~b = ~a × (λ~b) = λ(~a × ~b),λê. YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�•þÈ -•••þþþÈÈÈ���‹‹‹IIILLLˆˆˆªªª: �~a = ax~i + ay~j + az~k§~b = bx~i + by~j + bz~k" U•þÈ�$Ž5ƌ�µ ~a × ~b = (ax~i + ay~j + az~k) × (bx~i + by~j + bz~k) = ax~i × (bx~i + by~j + bz~k) + ay~j × (bx~i + by~j + bz~k) +az~k × (bx~i + by~j + bz~k) = axbx(~i ×~i) + axby(~i ×~j) + axbz(~i × ~k) +aybx(~j ×~i) + ayby(~j ×~j) + aybz(~j × ~k) +azbx(~k ×~i) + azby(~k ×~j) + azbz(~k × ~k) YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�•þÈ -•••þþþÈÈÈ���‹‹‹IIILLLˆˆˆªªª: �~a = ax~i + ay~j + az~k§~b = bx~i + by~j + bz~k" U•þÈ�$Ž5ƌ�µ ~a × ~b = (ax~i + ay~j + az~k) × (bx~i + by~j + bz~k) = ax~i × (bx~i + by~j + bz~k) + ay~j × (bx~i + by~j + bz~k) +az~k × (bx~i + by~j + bz~k) = axbx(~i ×~i) + axby(~i ×~j) + axbz(~i × ~k) +aybx(~j ×~i) + ayby(~j ×~j) + aybz(~j × ~k) +azbx(~k ×~i) + azby(~k ×~j) + azbz(~k × ~k) YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�•þÈ du~i!~j!~kpƒR†§¤± ~i ×~i =~j ×~j = ~k × ~k = 0 qk ~i ×~j = ~k ,~j × ~k =~i, ~k ×~i =~j;~j ×~i = −~k , ~k ×~j = −~i,~i × ~k = −~j. Ï �ü‡•þ�•þÈ�‹IL«ªµ ~a × ~b = (aybz − azby)~i + (azbx − axbz)~j + (axby − aybx)~k . YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�•þÈ du~i!~j!~kpƒR†§¤± ~i ×~i =~j ×~j = ~k × ~k = 0 qk ~i ×~j = ~k ,~j × ~k =~i, ~k ×~i =~j;~j ×~i = −~k , ~k ×~j = −~i,~i × ~k = −~j. Ï �ü‡•þ�•þÈ�‹IL«ªµ ~a × ~b = (aybz − azby)~i + (azbx − axbz)~j + (axby − aybx)~k . YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�•þÈ du~i!~j!~kpƒR†§¤± ~i ×~i =~j ×~j = ~k × ~k = 0 qk ~i ×~j = ~k ,~j × ~k =~i, ~k ×~i =~j;~j ×~i = −~k , ~k ×~j = −~i,~i × ~k = −~j. Ï �ü‡•þ�•þÈ�‹IL«ªµ ~a × ~b = (aybz − azby)~i + (azbx − axbz)~j + (axby − aybx)~k . YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�•þÈ PÁ |^n�1�ª§•þÈ�‹IL«ªŒ±�¤µ ~a × ~b = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k ax ay az bx by bz ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ Ö¿ |~a × ~b |L«±~aÚ~b�>�²1o>/�¡È" YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�•þÈ PÁ |^n�1�ª§•þÈ�‹IL«ªŒ±�¤µ ~a × ~b = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k ax ay az bx by bz ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ Ö¿ |~a × ~b |L«±~aÚ~b�>�²1o>/�¡È" YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�•þÈ ~2 �~a = (2, 1,−1)§~b = (1,−1, 2)§OŽ~a × ~b" ) ~a × ~b = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 2 1 −1 1 −1 2 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ =~i − 5~j − 3~k YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ ü•þ�•þÈ ~3 ®n�/ABC�º:©O A(1, 2, 3)!B(3, 4, 5)ÚC(2, 4, 7)§ ¦n�/ABC�¡È" ) Šâ•þÈ�½Â§Œn�/ABC�¡Èµ S∆ABC = 1 2 |−−→AB ||−−→AC | sin ∠A = 1 2 |−−→AB × −−→AC | du −−→ AB = (2, 2, 2)§ −−→ AC = (1, 2, 4)§Ïd −−→ AB × −−→AC = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ~i ~j ~k 2 2 2 1 2 4 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 4~i − 6~j + 2~k u´S∆ABC = 1 2 |4~i − 6~j + 2~k | = 1 2 √ 56 = √ 14 YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ µe 1 ü•þ�êþÈ 2 ü•þ�•þÈ 3 •þ�·ÜÈ YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ •þ�·ÜÈ ½Â �®n‡•þ~a!~bÚ~c§êþ(~a × ~b) · ~c ¡ùn‡•þ �·ÜȧPŠ[~a~b~c]. �~a = ax~i + ay~j + az~k§~b = bx~i + by~j + bz~k§ ~c = cx~i + cy~j + cz~k" n•þ·ÜÈ�‹ILˆªµ [~a~b~c] = (~a × ~b) · ~c = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ax ay az bx by bz cx cy cz ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ •þ�·ÜÈ ½Â �®n‡•þ~a!~bÚ~c§êþ(~a × ~b) · ~c ¡ùn‡•þ �·ÜȧPŠ[~a~b~c]. �~a = ax~i + ay~j + az~k§~b = bx~i + by~j + bz~k§ ~c = cx~i + cy~j + cz~k" n•þ·ÜÈ�‹ILˆªµ [~a~b~c] = (~a × ~b) · ~c = ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ax ay az bx by bz cx cy cz ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ •þ�·ÜÈ ···ÜÜÜÈÈÈ���AAAÛÛÛ¿¿¿Âµ [~a~b~c] = (~a × ~b) · ~c´ù�� ˜‡ê§§�ýéŠL«±• þ~a!~b!~cc�²18¡N� NÈ. YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ •þ�·ÜÈ ···ÜÜÜÈÈÈ���AAAÛÛÛ¿¿¿ÂÂÂ)))ºººµ ±•þ~a!~b!~cc�²18 ¡N�.�¡ÈS3êŠþ� u|~a × ~b |§§�ph�u•þ~c3 •þ~a×~bþ�ÝK�ý銧= h = |Prj~a×~b~c | = |~c || cos θ| Ù¥§θ´•þ~a×~b†~c�Y�" YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ •þ�·ÜÈ ···ÜÜÜÈÈÈ���AAAÛÛÛ¿¿¿ÂÂÂ)))ºººµ du[~a~b~c] = (~a × ~b) · ~c = |~a × ~b ||~c | cos θ XJ•þ~a!~b!~c|¤mÃX £=~c�•UmÃ5Kl~a= •~b5(½¤§@o·ÜÈ�Î Ò´��£θ´b�¤¶ XJ•þ~a!~b!~c|¤†ÃX £=~c�•U†Ã5Kl~a= •~b5(½¤§@o·ÜÈ�Î Ò´K�£θ´ð�¤" YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ •þ�·ÜÈ ¤±§²18¡N�Nȏµ V = Sh = |~a × ~b ||~c || cos θ| = |[~a~b~c]|. n‡•þ~a!~b!~c�¡�¿‡^‡´·ÜÈ[~a~b~c] = 0§=∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ax ay az bx by bz cx cy cz ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ •þ�·ÜÈ ¤±§²18¡N�Nȏµ V = Sh = |~a × ~b ||~c || cos θ| = |[~a~b~c]|. n‡•þ~a!~b!~c�¡�¿‡^‡´·ÜÈ[~a~b~c] = 0§=∣∣∣∣∣∣∣∣∣ ax ay az bx by bz cx cy cz ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ •þ�·ÜÈ ~4 ®A(1, 2, 0)!B(2, 3, 1)!C(4, 2, 2)!M(x, y, z)o :�¡§¦:M�‹Ix, y, z¤÷v�'Xª" ) A(1, 2, 0)!B(2, 3, 1)!C(4, 2, 2)!M(x, y, z)o:� ¡ƒ�un•þ −−→ AM, −−→ AB , −−→ AC �¡§ùp −−→ AM = (x − 1, y − 2, z),−−→AB = (1, 1, 1),−−→AC = (3, 0, 2) Un•þ�¡�¿‡^‡Œ�µ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ x − 1 y − 2 z 1 1 1 3 0 2 ∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = 0 =2x + y − 3z − 4 = 0. YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê JJJjjj üüü•••þþþ���êêêþþþÈÈÈ üüü•••þþþ���•••þþþÈÈÈ •••þþþ���···ÜÜÜÈÈÈ � Thank you! YUAN Peng SS, at ZHBIT 111lllÙÙÙ ˜˜˜mmm)))ÛÛÛAAAÛÛۆ††•••þþþ“““êêê 两向量的数量积 两向量的向量积 向量的混合积