浙江省2019年专升本高等数学考试真题卷及参考答案

浙江省2019年选拔优秀高职高专毕业生进入本科学习统一考试高等数学请考生按规定用笔将所有试题答案涂、写在答题卡上选择题部分注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名，准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸规定的位置上。2.每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应的题目的答案标号涂黑，如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上。一、选择题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.设limxna，则说法不正确的是（）n对于正数，一定存在正整数，使得当时，都有A.2NnNXna2B.对于任意给定的无论多么小的正数，总存在整数N,使得nN时，不等式成立XnaC.对于任意给定的a的邻域a,a,总存在正整数N，使得当nN时，所有的点XN都落在a,a内，而只有有限个（至多只有N个）在这个区间外D.可以存在某个小的整数0，使得有无穷多个点0落在这个区间a0,a0外2.设在点x0的某领域内有定义，则在点x0处可导的一个充分条件是（）fx2hfxA.lim00存在h0hfxfxhB.lim00存在h0-hfxhfxhC.lim00存在h0h1存在D.limhfx0fx0hh第1页共11页12n3.lim1sin1sin...1sin等于（）xnnnn1A.sinxdx01B.1sinxdx01C.1sinxdx01D.1sinxdx04.下列级数或广义积分发散的是（）1n1A.n1n100B.cos2nn121C.dx14x21D.dx1221x5.微分方程y4y4y0的通解为（）2xA.yxc1xc2e2xB.yxc1xc2xe2xC.yxc1xc2xe2xD.yxc1c2xxe第2页共11页非选择题部分注意事项：1.用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题纸上，不能答在试题卷上。2.在答题纸上作图，可先用2B铅笔，确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔填写。二、填空题（本大题共10小题，每小题4分，共40分）n16.极限lim1sinnn7.设一雪堆的高度h与时间t的关系为ht100t2，则雪堆的高度在时空t5时的变化率等于1cosx8.当a=时，极限limaex存在且不等于0x0ln1x3xsintd2y设，则9.2ycostdxx10.设gxsint2dt，且当x0时，gx与xn是同阶无穷小，则n0111.定积分1-x2dx0dy12.设函数yyx由方程exyxy0确定，则dx13.曲线yxx33x2的拐点是14.由曲线yx，x1，x2及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周所围成的旋转体体积=15.设y32x，则yn第3页共11页三、计算题（本大题共8小题，其中16-19小题每小题7分，20-23小题每小题8分，共60分，计算题必须写出计算过程，只写答案不给分）ln1xx16.极限lim.x0x217.设yxln2cosxxx，求函数yx在x1处的微分.18.求不定积分sinxdx.cosx,x0,2x19.设fx，求pxftdt在0，上的表达式.0x,x,2第4页共11页3t20.一物体由静止开始以速度vt（米/秒）作直线运动，其中t表示运动t1的时间，求物体运动到8秒时离开出发点的距离.x2a,x021.问是否存在常数a使得函数fx在x0处可导？若存在，求ax1e,x0出常数a，若不存在，请说明原因.求过点且与两平面，都平行的直线的22.A1,0,21:xyz102:xz0方程.第5页共11页n111123.求幂级数xn1的收敛区间及和函数，并计算级数.n1nn1n2四、综合题（本大题共3题，每小题10分，共30分）24.设yfx是第一象限内连接点M0,4，N2,0的一段连续曲线，Px,y为该曲线上任意一点，点B为P在x轴上的投影，O为坐标原点。若梯形OBPM的x4xx4x面积与曲边三角形BPM的面积之和等于另一曲线y在点x,处243243的切线斜率，求曲线fx的方程.（注：曲边三角形BPM是指由直线段BP，x轴以及曲线段PN所围成的封闭图形）第6页共11页25.假设某公司生产某产品x千件的总成本是cx2x312x230x21（万元），售出该产品x千件的收入是rx60x（万元），为了使公司取得最大利润，问公司应生产多少千件产品？（注：利润等于收入减总成本）26.设fx在-1，1上具有二阶连续的导数，且f00.(1)写出fx的带拉格朗日型余项的一阶麦克劳林公式.m1M(2)设M、m分别为fx在-1，1上的最大值与最小值，证明：fxdx3131(3)证明：在-1，1上至少存在一点使得f3fxdx.1第7页共11页浙江省2019年专升本高等数学试卷参考答案一、选择题（每个小题给出的选项中，只有一项符合要求：本题共有5个小题，每小题4分，共20分）、解析：根据极限的精确定义，若，则对于当时，1Dlimxna0,N0,nNn，即只有有限个点落在区间外。xna(a,a)2、A解析：本题考查可导的极限定义。B答案h0错误，改成h0；C答案fxhfxhfxhfxfxfx-hlim00存在，不能推出lim00和lim00存h0hh0hh0h在，因此不能推出f(x)在xx0处可导；D答案和B答案类似，应改成h。ni113、B解析：根据定积分的定义，lim1sin1sinxdx。n0i1nn4、B解析：A答案为交错级数，根据莱布尼茨判别法可得，该级数收敛；B答案根据常数21项级数发散的充分条件limcos2n0可得；C答案为瑕积分，x2为瑕点，dx=n14x22xarcsin，收敛；D答案为无穷积分，令xtant，2126311dx2dt，显然收敛。0(1x2)20sec2t4、解析：其特征方程为2，即，所以通解为2x。5Cr4r40r2y(c1c2x)e二、填空题：(只须在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有10个小题，每小题4分，共40分)11nsin111sinnlimnsin6、e解析：原式=lim(1sin)nenne。nn7、-10解析：导数定义可以看出导数反映了因变量随着自变量变化的快慢程度，瞬时速度就是该时间点上的导数h'(t)2t,h'(5)10。12xx1cosx(ae)8、1解析：lim(aex)lim2(aex)lim，因为极限存在且不x0ln(1x3)x0x3x02x第8页共11页等于0，且lim2x0，所以lim(aex)0，解得a1。x0x0dydysintd2y(tant)'9、sec3t解析：dttant，sec3t。dxdxcostdx2costdtx2g(x)sintdtsinx2x2、解析：由同阶无穷小定义，0103limlimlimlimCx0xnx0xnx0nxn1x0nxn1又C0且C，则n12,n3。111、解析：原式=12。444xyye12、解析：对已知方程两边同时求导：exy(xy)'(xy)'0exyxyexy即exy(1y')(yxy')0，整理得y'。exyx13、(1,2)解析：y''6x60,所以x1，当x1时，y''0，当x1时，y''0。所以在x1处取得拐点，拐点为(1,2)。32223、解析：。14Vx(x)dxxdx211215、32x(ln3)n2n解析：(ax)(n)ax(lna)n，原式=32x(ln3)n2n。三、计算题：（本题共有8个小题，共60分）11ln(1x)x1(1x)1116、解：limlim1xlimlim。x0x2x02xx02x(1x)x02(12x)2117、解：y(x)ln(2cosx)exlnx，则y'(2cosx)'exlnx(xlnx)'2cosx1=(-sinx)xx(1lnx)，y'1，dydx。2cosxx1x118、解：令xt，则xt2,dx2tdt，原式sint2tdt2tsintdt2tdcost2(tcostcostdt)-2(tcostsint)C2(xcosxsinx)C第9页共11页xx19、解：当0x时，p(x)costdtsintsinx；200x2x21212当x时，p(x)costdttdtsint2t1x。0022228283t20、解：设距离为S，则根据运动学的知识，位移的导数为速度可得，Sdt,0t1令ut1,tu21,dt2udu,当t0时，u1；当t8时，u3.283t33(u1)3Sdt2udu6(u21)du400t11u1答：物体运动到8秒时离开出发点的距离为40米。21、解：若f(x)在x0处可导，则可导必连续，即f(x)在x0处连续，故x2,x0，解得此时，limf(x)limf(x)f(0)a0.f(x)x0x00,x02'f(x)f(0)x'f(x)f(0)0f(0)limlim0；f(0)limlim0x0x0x0xx0x0x0xf(x)在x0处可导。综上所述，a0。、解：设直线的方向向量为，平面的法向量为，平面的法向量为22s1n1(1,1,1)2，故由题意有，所以直线方程为n2(1,0,1)sn1,sn2,sn1n2(1,2,1)x1y0z2。121u(x)xnn、解：n1，所以收敛区间为23limlimx1(1,1)nnn1un(x)n1x1设和函数S(x)xn1，当x0时，n1n111x1x11S(x)xntn1dtdtln1x,00xn1nxn1x1tx1ln(1x),x(1,0)(0,1)当x0时，S(0)1，S(x)x，1,x0第10页共11页111令x，则()n12ln2。2n1n2121124、解：由题意可得：(4f(x))xf(t)dtx3，对上式两边求导，可得2x6311114(4f(x))xf'(x)f(x)x2，即f'(x)f(x)x222xx11dx4dx4f(x)ex[(x)exC]x(xC)x2Cx4xx25、解：设利润为f(x)，则f(x)r(x)c(x)60x(2x312x230x21)(x0)f'(x)6x224x30,令f'(x)0，解得x5,x1（舍去）当0x5时，f'(x)0，当x5时，f'(x)0，x5时，f(x)取得极大值，且为最大值。答：当公司生产5千件产品时，取得最大利润。f''()f''()26、解：（1）f(x)f(0)f'(0)xx2f'(0)x2(0x)2!2!''''11f()f()f(x)dx(f'(0)xx2)dx-1123''mf()Mm1M（2）由于mf''()M，所以f(x)dx,333313m1M1（3）f(x)dx，m3f(x)dxM31311由介值定理可得[1,1]，使得f''()3f(x)dx。1第11页共11页