null§9.2 一元回归分析第九章
回 归 分 析§9.1 相关关系与回归分析 §9.2 一元回归分析null§1 相关关系与回归分析 Ex.1 球的直径 X 与球的体积 V 之间有确定的函数关系 在现实世界中存在大量的变量, 它们有相互依存、相互制约的关系，一般分为两类：确定性关系与非确定性关系.一. 相关关系与回归函数nullEx.2 随机信号 Ex.3 （救救长江）江河上游地区森林覆盖面积Y与下游的水流量X之间的关系.还有另一类变量关系，如： Ex.4 农作物产量Y与降雨量 X1 ，氮、磷、钾的施肥量X2 、X3 、X4 之间的关系.null EX. 5 产品的价格X与需求量M之间存在关系. 特点 变量间的关系无法用确定的函数来明确表述.问
题
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如何描述变量间的各类关系？ 将作为考察目标的变量称为因变量(记为Y), 而将影响它的各个变量称为自变量或可控变量, 记为(X1，X2，... Xk)null1.确定性的函数关系用第三章方法可求随机变量函数的分布. 若已知随机变量X的分布就可以确定函数的分布. 由振幅和初相角的分布可以完全确定随机信号的分布.null2.非确定性的相关关系 EX. 6 已测得SCS系统的输入和输出信号，如何确定输入和输出之间的关系？（P228非线性交调的频率
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） 设想 构造某种函数来描述输入和输出之间的非确定关系. null 考虑单个因变量Y与单个自变量X的情形. 1) μ(x)可理解为在“X=x ” 的条件下，随机变量Y 取值的集中点；随机变量的相关关系引进：在“X=x”时，Y (连续型)的条件数学期望为null 对于X的不同取值x1, x2, …, xnx1x2x3……方程y =μ(x)null 将可控变量X1，X2，... Xk的取值记为x1, x2.,…, xk, 存在，称Y 与X1，X2，... Xk具有相关关系.若条件数学期望： 2）方程 y =μ(x) 描述了Y 与 X 间非确定性的关系.相关关系是一种非确定性关系null定义9.1.1 称为Y 关于X1，X2，... Xk的回归函数，称为Y 对 X1，X2，... Xk的回归方程.方程注 回归函数是确定性的函数. 回归分析是从回归函数出发处理相关关系的方法.“回归”一词的由来“回归”一词的由来 高尔顿，生物统计学派的奠基人，他的表哥达尔文的巨著《物种起源》问世以后，触动他用统计方法研究智力遗传进化问题，第一次将概率统计原理等数学方法用于生物科学，明确提出“生物统计学”的名词.
统计学上的“相关”和“回归”的概念是由高尔顿首先引进。null 高尔顿的学生卡尔·皮尔逊（Karl Pearson ）测量了1078个父亲及其成年儿子的身高.null 1870年，高尔顿在研究人类身长的遗传问题时，发现下列关系：
1. 高个子的父亲有着较高身材的儿子，而矮个子父亲的儿子身材也比较矮 ;
2. 高个子父母的子女，其身高有低于其父母身高的趋势;
3. 而矮个子父母的子女，其身高有高于其父母的趋势;
即有“回归”到平均值的趋势，这就是统计学上最初出现“回归”时的涵义.null得数学模型：可视为随机误差，通常
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:其它未知的、未考虑的因素以及随机因素的影响所产生.3.回归模型的引进若Y 关于X1，X2，... Xk的回归函数为null 建立模型涉及三个问题： σ2 是用回归函数近似因变量Y产生的均方误差.1) 确定对因变量Y 影响显著的自变量；2) 确定回归函数 (x)的类型；3) 对参数进行估计. 1) E(ε)=0; 2) D(ε)= E(ε2)=σ2 尽可能小.本章内容null二. 回归函数类型的估计确定实际问题中，通常未知回归函数形式.回归分析的基本思想：
根据自变量X1，X2，... Xk与因变量Y的观察值去估计回归函数. 本节仅讨论最简单的情形：可控变量Y关于单个因变量X的回归函数存在null 为估计回归函数，可依据问题的背景，确定或假定回归函数的形式.称 问题的提法 对两个变量X、Y 间的回归函数 y=μ(x)，选择某个函数S(x) 作为其估计函数： 常通过分析数据散布图获得对变量间相关关系的初步认识.为Y关于X的经验回归方程.null例9.1.1 身高体重关系 希望根据某地区人的15对身高h 和体重数据m，用简洁的函数关系式描述该地区人的身高体重的对应关系. 呈现幂函数的增长趋势，可设其中a, b是待定参数.null例9.1.2 施肥效果分析 某地区作物生长所需的营养素主要是氮(N)、钾(K)、磷(P).某作物研究所在某地区对土豆做了一定数量的实验,实验数据如下列表所示,其中ha表示公顷,试分析施肥量与土豆产量之间关系.nullN P Knull土豆产量—氮肥量数据散布图null土豆产量—磷肥量数据散布图可选null 思考 是否能由数据散布图完全确定回归函数的类型和形式？结论 仅是初步感性的认识，需进行检验.问题 观察法的依据？ 根据小概率实际推断原理，做一次试验得到的数据最可能密集在其回归曲线及其附近. 因回归函数μ(x) 为在“X=x ” 的条件下Y的数学期望，随机变量Y 取值的集中点.
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