第28卷第9期
2007年9月
湖南科技学院学报
JournalofHunanUniversityofScienceandEngineering
Vbl．28NO．9
常用旋转体体积的简捷求法
刘新文
(湖南工业科技职工大学，湖南衡阳421008)
摘要：本文弄‘用定积分系统研究求旋转体体积的四种基本模式及其体积公式，并在此基础上探索出了一套关于常用旋
转体体积的简捷求法。
关键词：旋转体；体积；求法
中图分类号：0172．2 文献标识码：A 文章编号：1873—2219(2007)09-0009—03
旋转体体积的求法是高等
数学
数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划
教学中的重点和难点，但令人遗憾的是，笔者在长期的数学教学过程中发现：不少教材只
简单地列出了圆柱、圆锥、圆台和球体这些最常见的旋转体的体积公式，鲜有提及诸如椭球体、球缺、圆筒和抛物旋转体等
稍为复杂的旋转体的体积公式，也没有系统地给出这些旋转体体积的一般求法，更不必说揭示它们之间的规律性。为了弥补
高等数学教材在这方面的缺陷，充分满足广大学生强烈的求知欲望，帮助他们更好地学习高等数学，笔者在概括出旋转体统
一定义的基础上，系统提出求旋转体体积的四种基本模式及其体积公式，并在此基础上探索出了一套常用旋转体体积的简捷
求法。
1概念
旋转体就是由一个平面图形绕着一条与它同在一个平面内、且不通过该平面图形内部的定直线旋转一周所形成的封闭的
几何体。这条定直线就叫做旋转体的轴，即旋转轴。常用的旋转体有圆柱、圆锥、圆台、圆筒、椭球、球、球缺、球台、抛
物旋转体等。
圆柱、圆锥、圆台、球体可以分别看成是由矩形绕它的一条边、直角三角形绕它的直角边、直角梯形绕它的直角腰、半
圆绕它的直径旋转一周而形成的封闭的几何体。其他旋转体与此相似。
2定理
定理1．由连续曲线y=f(x)，直线x--a，x=b(a
表
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示为：
y：丢万(，i：+1吒+4>h：l(xrt：+√；彳夏孺)|ll：i1(_+√而)．Il5 J 3
若令rl=r2-----1"，则该圆台的体积公式变为圆柱的体积公式V--oh
若令rl：0，r2=r，则圆台的体积公式变为圆锥的体积公式V=13兀T2h
【例5】计算由椭圆丢+冬=1所围成的图形绕X轴和Y轴旋转一周而形成的旋转椭球体的体积。
a。 扫。
解：(1)这个椭球体如果看作是由半个椭圆y=旦√7。了及X轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的几何体，那么由定理
1可求得该椭球体的体积为：
y=万￡【，(枷2出=万￡(鱼a也F了)2出=万笔a(以2石一三3工3)l：。=吾肋易2‘n pd ‘ j
(2)这个椭球体如果看作是由半个椭圆x=旦√6z—y：及Y轴所围成的平面图形绕Y轴旋转而成的几何体，那么由定理2
b’
知可求得该椭球体的体积为：
V=对幺吣)rdy_虬b(詈厢)'dy=，c蔷(b2y-{y3)Ib_。=詈躺
若令a=b=r，则该旋转椭球体就变成半径为r的球体，其体积为：V=詈万r3
万方数据
【例6】设半径为R的球被距球心分别为a，b(oO，h>0)
解：由定理1易知该抛物旋转体的体积为：
y=r砸m)】2dx=rx(2Px)dx=xPh2
注：抛物y2=．2Px(．h
分析
定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析
【M】．北京：高等教育出版社，2004．
【3】同济大学数学教研室．高等数学【M】．北京：高等教育出版社，1996．
(
责任
安全质量包保责任状安全管理目标责任状8安全事故责任追究制幼儿园安全责任状占有损害赔偿请求权
编校：何俊华)
Thesimpleanddirectfindingmethodonthecubatureof
commonsolidofrotation
LIUXin-wen
(HunanInstituteofTechnology,Hengyang，421008)
Abstract：MakingUSeofdefinitintegal，thispaperdoesasystematicstudyoffourbasicmathematicmodelstofindthevolume
forthesolidsofrotations．Onthefoundationofthetheorom，W色havedeterminedthesimpleanddirectfindingmethodOilthe
cubatureformulaofcommonsolidofrotation．
Keywords：Solidofrotation；Cubature；Finding-method
万方数据
常用旋转体体积的简捷求法
作者： 刘新文， LIU Xin-wen
作者单位： 湖南工业科技职工大学,湖南,衡阳,421008
刊名： 湖南科技学院学报
英文刊名： JOURNAL OF HUNAN UNIVERSITY OF SCIENCE AND ENGINEERING
年，卷(期)： 2007，28(9)
被引用次数： 0次
参考文献(3条)
1.同济大学数学教研室 高等数学 1996
2.陈纪修 数学分析 2004
3.刘巍 高等数学 2006
相似文献(10条)
1.期刊论文 李艳丽.王逸迅.LI Yan-li.WANG Yi-xun 旋转体体积的计算
方法
快递客服问题件处理详细方法山木方法pdf计算方法pdf华与华方法下载八字理论方法下载
-西安理工大学学报2008,24(3)
为解决计算旋转体体积尚无具有普遍适用性的统一公式的问题,依据古鲁金第二定理推证得到:利用曲面积分计算空间某一平面图形∑绕直线(轴)L旋
转而成的旋转体体积的通用公式;利用二重积分计算xoy面上的平面图形D绕直线(轴)L旋转而成的旋转体体积的通用公式.依据本文所证得的通用计算公式
推证得到:在某些特定情形下利用定积分计算旋转体体积的具有针对性的公式.
2.期刊论文 节存来 关于求旋转体体积的一个注记 -承德民族职业技术学院学报2004,9(3)
证明了求旋转体体积的一个简便公式,阐释了其几何意义.
3.期刊论文 节存来 求旋转体体积的一种新方法 -河北农业大学学报2004,27(5)
利用通常的方法求旋转体的体积是相当繁琐的,本方法由重积分微元法推导出一个求旋转体体积的新公式,并给出了它的几何解释,该公式将旋转体的
体积与生成旋转体的平面图形的重心联系起来,使计算简便直观.
4.期刊论文 葛淑梅.马秀芬 旋转体体积的两个公式的证明及应用 -中州大学学报2003,20(4)
用微元法证明了旋转体体积的两个公式,从而使旋转体体积的计算更直接、简便.
5.期刊论文 杨振.窦龚伟 讨论平面图形的形心与其绕坐标轴旋转的旋转体体积的关系 -科技信息2010(28)
本文通过对一些实际问题的分析、研究、证明.得到平面图形的形心与其绕坐标轴旋转的旋转体体积之间所存在的关系,利用两者之间的这种关系,在
一些情况下我们就可以较为便捷的求得平面图形绕坐标轴旋转的旋转体体积.
6.期刊论文 袁俊华.张文武.YUAN Jun-hua.ZHANG Wen-wu 一般旋转体的体积和侧面积计算公式 -安庆师范学院学
报（自然科学版）2008,14(2)
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y=f(x)经坐标变换后,有时会变得非常复杂,为此提出将微元法和解析法相结合,推出一般旋转体体积和侧面积的计算公式,使这类计算变得简洁明了.
7.期刊论文 李志海 柱壳法求旋转体体积的适用条件 -科技资讯2009(32)
求曲线所围成的平面图形绕坐标轴旋转所得旋转体的体积,通常采用的是柱体法(也称切片法),对于某些平面图形采用"柱体法"求解比较繁琐,而采用
"柱壳法"却较快捷方便.本文就示例将两种计算方法加以比较,提出"柱壳法"求旋转体体积的适用条件.
8.期刊论文 隋亚莉.SUI Ya-li 用二重积分求旋转体的体积 -宁德师专学报（自然科学版）2007,19(1)
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计算则比较复杂.通过微元法讨论如何用二重积分计算平面图形绕任意不穿过其内部的共面直线旋转一周所成旋转体的体积的一般方法,进而得出一般积
分公式.
9.期刊论文 王培吉.王尚户.王嘉谋.WANG Pei-ji.WANG Shang-hu.WANG Jia-mou 基于微元法旋转体体积的计算 -
高师理科学刊2010,30(1)
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的特殊形式.
10.期刊论文 刘丽红.王喜林.LIU Li-hong.WANG Xi-lin 新的计算旋转体体积原理 -新乡学院学报（自然科学版）
2009,26(3)
讨论了应用定积分和二重积分的知识计算旋转体体积的新方法,并根据理论需要提出了面积矩和面心的概念.
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