c3-功 和 能

nullnull第3章 内容提要 功、势能 功能原理 机械能守恒定律null1.功—力与力作用点位移的标积§3-1 功 质点动能定理null2.质点动能定理 质点动能定理说明:合外力对质点所作的功等于质点动能的增量。 (1)功是标量,且有正负。 (2)功是相对量,其大小随所选参考系的不同而不同。功率 例： 重力对m的功: 地面参考系： A=mgh 物体m参考系： A=0null (3)在直角坐标系中 功是沿质点运动轨道进行积分计算的。一般地说,功的值既与质点运动的始末位置有关,也与运动路径的形状有关。  (4)应当明白,动能定理只在惯性系中成立,相应的功也只能在同一惯性系中计算。 学习要点：变力的功。null 例题3-1 今有一倔强系数为k的轻弹簧，竖直放置，下端连接一质量为m的物体，开始时使弹簧为原长而物体m恰好与地面接触。今将弹簧上端缓慢地提起，直到物体m刚能脱离地面时止，求此过程中外力作的功。 解 将弹簧上端缓慢地提起的过程中，需要用多大的外力？ 外力: F=kx ，这是一个变力。 物体m脱离地面的条件是什么？ kxomg 所以外力作的功为null完成积分得： = 10(m/s) 。 解 因力是坐标的函数，应用动能定理null 解 因: x=acos t, y=bsin t 当t=0时，x=a, y=0; 当t= /(2)时，x=0, y=b。 合外力的功为合外力:分力：Fx=-m2x, Fy=-m 2ynull 分力Fx、Fy的功为 (1)显然合外力的功等于分力的功之和： (2)合外力的功也可由动能定理直接求出。 Fx=-m2x Fy=-m 2ynull由动能定理得合外力的功为null 例题3-4 在光滑的水平桌面上，平放着如图3-3所示的固定的半圆形屏障。质量为m的滑块以初速度0沿切线方向进入屏障内，滑块和屏障间的摩擦系数为µ。求滑块滑过屏障的过程中，摩擦力的功。 解 滑块在水平面内受两个力的作用：摩擦力fr、屏障给它的支持力N, 如图3-3所示。 将式(1)代入式(2), 有在自然坐标系中，null化简后得：d = -µd 由于支持力N不作功， 由动能定理得摩擦力的功为null 质点m沿曲线L从a到b(高度分别为ha和hb)，重力对质点m作的功为 §3-2 保守力和非保守力 重力作功只与质点的始末位置有关,而与质点所经过的实际路径形状无关。一.几个力的功 重力的功 -null 小球由a到b的过程中，弹性力所作的功为 由此可见，弹性力的功和重力的功一样，只与运动质点的始末位置有关，而与其经过的实际路径形状无关。弹性力的功null 质点m在M的引力场中,由a点到b点,万有引力对质点m所作的功为 由式(3-8)可见,万有引力的功也只与质点始末位置有关,而与质点所经过的实际路径形状无关。万有引力的功注意：dscos(-)=dr。null 如果一个力的功只与质点的始末位置有关,而与路径形状无关，这种力称为保守力。相应的力场称为保守力场。否则叫做非保守力。 显然重力、弹性力、万有引力都是保守力。上式表明：保守力的环流(沿任意闭合路径L的线积分)为零。这也是保守力的一种定义和 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 判据。 见P94例3-4。二.保守力和非保守力 null可见，保守力的功可写为 定义：Epa是系统在位置a的势能; Epb是系统在位置b的势能。§3-3 势 能一.保守力场中的势能null 式(3-10)的意义是: 保守力的功等于势能增量的负值。 若取b点为零势点，则由式(3-10)我们得到系统在位置a的势能为 式(3-11)表示，系统在位置a的势能等于系统从该位置移到势能零点时保守力所作的功。这就是计算势能的方法。 原则上讲，势能的零点是可以任意选择的，因此势能仅具有相对的意义。null 重力势能 (1)零势面可任意选择,由问题的方便而定。 (2)重力势能为 Ep=±mgh (3-12) (3)物体在零势面以上,重力势能为正,否则为负。 弹性势能 (3)弹性势能总是正值。 (1)通常规定弹簧无形变(即未伸长也未压缩)时的势能为零。 (2)弹簧伸长或压缩x时的弹性势能,按定义应为二.势能零点的选择null (1)通常选取两物体相距无穷远时(此时引力为零)的势能为零。 (3)引力势能总是负值。 应当注意：势能是属于相互作用着的物体所组成的系统的,不应把它看作是属于某一个物体的。引力势能 (2)两物体M、m相距r时的引力势能, 按定义式(3-11)为 Ep=±mghnull*三.已知保守力场F求势能函数上式的微分式为计算不定积分得积分常数C可由选定的势能零点定出。null用x=xo处，Ep=0, 得出nullnull*四.已知势能函数Ep求保守力场引入梯度算符:式(3-17)可简写为 如已知重力势能Ep=mgz ,则重力null§3-4 内力的功 一.质点系 内力和外力 质点系(系统)—作为研究对象的质点的集合。 内力—系统内各质点间的相互作用力。 外力—系统以外的物体对系统内质点的作用力。 二.内力的功这一对内力所作的元功之和为null这一对内力所作的元功之和为 (2)因相对位移和相对元位移与参考系无关，故一对内力所作的功之和也与参考系无关。　　　　可见，一对内力的元功之和仅与两质点的相对元位移有关。null 设系统由n个质点组成, 对mi 应用动能定理,有§3-5 功能原理 机械能守恒定律 这就是系统动能定理：外力的功与内力的功之和等于系统动能的增量。式中：i=1,2,3,……。对上式求和得一.系统动能定理null 将上述结果代入动能定理: A内+A外 = Ek- Ek0 二.功能原理 内力的功A内也可以写成 A内=A保守内力+A非保守内力 式中:E=Ek+Ep是系统的机械能。式(3-20)表明:系统外力和非保守内力的功的代数和等于系统机械能的增量。这一结论称为系统的功能原理。null A外+A非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0) 如果外力的功与非保守内力的功之和为零(即A外+A非保守内力=0)时, 则  Ep+Ek=恒量 (3-18) 这一结论称为机械能守恒定律。 应当指出，机械能守恒的条件是A外+A非保守内力=0,这当然是对惯性系而言的。 还应看到,在某一惯性系中系统的机械能守恒,并不能保证在另一惯性系中系统的机械能也守恒,因为A非保守内力虽然与参考系的选择无关,但A外却取决定于参考系的选择。 三.机械能守恒定律null 例题3-5 如图3-11所示，一链条总长为L、质量为m，放在桌面上，一端下垂，下垂一端的长度为a，链条与桌面之间的滑动摩擦系数为µ,令链条由静止开始运动，求链条末端离开桌面时的速率。 解 链条受三个力作用：摩擦力、重力(保守力)以及桌面对它的支持力(此力不作功)。此题宜用功能原理求解。 建立如图所示的坐标ox, 先求摩擦力(变力)的功：null 取桌面为零势面，由功能原理:解得A外+A非保守内力=(Ep+Ek) - (Ep0+Ek0) 对链条、细棒这样一些有一定长度的物体，计算重力势能和重力的力矩时可将其质量集中在质心，从而当作一个质点处理。null 例题3-6 若从地面以一定初速度o发射一质量为m的卫星,并使卫星进入离地心为r的圆轨道。设地球的质量和半径分别为me和Re，不计空气阻力，则o =？ 解 圆轨道：机械能守恒：null讨论：(1)当r=Re时, =7.9km/s, 称为第一宇宙速度。若以这个速度垂直地球半径方向发射，卫星将贴近地面沿圆轨道飞行。 称为第二宇宙速度。以此速度发射的卫星将飞离地球。(2)当r时，null 例题3-7 在光滑水平面上,质量分别为m和3m 的物体A、B用一根倔强系数为k的轻弹簧连接起来，并使物体A紧靠墙壁。现用力推B，使弹簧压缩xo，然后静止释放。求：释放后弹簧的最大伸长量，以及此时物体A、B的速率。 解 何时弹簧伸长最大？A、B的速率相等时。压缩xo 原长:null原长弹簧伸长最大(A、B的速率相等时): 解得null 例题3-8 质量为m1的物体A与倔强系数为K的轻弹簧相连,静止在光滑水平桌面上，A右边结一细绳饶过光滑的轻滑轮悬挂一质量为m2的物体B,计算将B轻轻挂上后所能达到的最大速度。 解 物体B 达到最大速度的条件是什么？由机械能守恒：a=0null 解