二次型

第三章 n维向量 第六章 二次型 主要内容：①二次型的概念及其矩阵表示 ②用配方法化二次型为标准型 ③用 合同 劳动合同范本免费下载装修合同范本免费下载租赁合同免费下载房屋买卖合同下载劳务合同范本下载 变换法化二次型为标准型 ④用正交变换化二次型为标准型 ⑤二次型及矩阵的正定性 第一次课：主要介绍二次型的概念及其矩阵表示，用配方法化二次型为标准型。 §6.1二次型及其标准型 6.1.1二次型及其标准型 定义6.1.1 : + (6.1.1) 的 元二次齐次多项式叫做 的二次型,简称 元二次型。其中 称为乘积项 的系数，当（6.1.1）的全部系数均为实数时，称之为实二次型。当（6.1.1）的系数允许有复数时，称之为复次型（本课程只讨论实二次型）。 若记 ，且 （6.1.2） ＝ （6.1.3） 重点：②④⑤ 难点：④⑤ 若记 ，则（6.1.3）式可记为 （6.1.4） （6.1.3）和（6.1.4）式称为二次型的矩阵表示。在 的规定下，显然 为实对称阵，且 与二次型时一一对应的。因此，实对称阵 又称为二次型（6.1.2）的矩阵， 的秩叫做二次型的秩 。 例：二次型 的矩阵 ， 6.1.2二次型的标准型 最简单的二次型是只含平方项的，形如 （6.1.5） 的二次型。其中 是实常数。这种形式的二次型称为 标准形式的二次型。 对一般的二次型（6.1.2），通常采用如下形式（称为变量代换 或线性替换）。 注：二次型矩阵为对称阵 ， （6.1.6） 代入（6.1.2）式后，将其化为关于新变量 的标准形式的二次型： 。系数矩阵 是适当选取的满秩矩阵，即 是可逆阵。 定义6.1.2 二次型（6.1.2）经满秩线性变换（6.1.6）化成形如（6.1.5）的标准形式，称为二次型用满秩线性变换化标准形。所得到的标准形（6.1.5）叫做二次型（6.1.2）的标准形。 用矩阵语言：记 ，线性变换 是可逆阵 则 。 记 ，当 为对角阵时， 由此可见，化一般 元二次型 成标准形等同于对二次型矩阵 寻找一个 阶满秩矩阵 ，使 成对角阵 。 定义6.1.3 设 ，若存在 阶可逆阵 使 成立，则称矩阵 合同于 ，或简称 与 合同。 由定义，二次型矩阵 与其标准形矩阵是合同的，矩阵合同有如下性质：（1）反射性。 与 合同 （2）对称性。 与 合同，则 与 合同 （3）传递性。 与 合同， 与C合同,则A与C合同 （4）若是 实对称阵，且A合同于B，则B也是实对称阵 （5）合同阵的秩相等（但逆不成立）。 注：1。P必须可逆，这样才能保证变换可逆，即 ，变换前后二次型性质不变。2。由 ， P可逆故 ，因 为对角阵。故 是 中主对角线元素不为零的个数，因而有结论:二次型的秩等于标准形中系数不为零的完全平方项的项数，等于标准形矩阵主对角线元素不为零的个数。 §6.2 满秩线性变换化标准形、惯性定理 定理6.2.1 任何 元二次性都可以经过满秩线性变换化成标准形，化二次型为标准型的两个常用方法：配方法、矩阵合同变换法。 6.2.1 配方法化标准形 基本思想：第一步：把给定的二次型经适当的配完全平方，把（6.1.2）配成若干个线性式子的平方之代数和的形式，设二次型已配方成： 第二步：作线性变换 即得标准型： 。 例1、用满秩线形变换化二次型 为标准形。 解： 令 则标准形为 注：用数学归纳法可证用配方法化二次型为标准形所作得线性变换是非退化的。 注：关键是确保所得线性变换是满秩的。 上述线性变换反解可为 即 是满秩石。 例2、用满秩线形变换化二次型 为标准形。 解： 令 有 例1、例2中都含有某变元的平方项，可按该变元配方，若原二次型中不含任何变元的平方项，或配到某一处，只含交叉项，不含平方项。比如 ，这时可先做变换 将原二次型化为以 为变元的二次型 ，这样就含有变元的平方项了，再进行配方。 例3、用满秩线形变换化二次型 为标准形。 解：令 即 原二次型变为 配方得 令 则标准型为 上面变换反解得 即 而 且 例、若给定二次型 如果简单地令 即 变换不是满秩的，应把原二次型平方计算出来，再用配方法。 作业：练习6－1 1（1）（3）、2（1） 练习6－2 1 思考题：练习6－1 3、4 6.2.2矩阵合同变换法化标准型 配方法对二次型进行配方，化为标准型。当然，由于二次型与其矩阵的一一对应可寻求可逆阵 ，使 。由于任一可逆阵 均可分解成 一系列初等阵之积， 设 。 则 。 且有 。 其中 表示对 作一次与 相应的列初等变换，再作一次同样的初等行变换。得到与 合同的矩阵 ，此时称对 作了一次合同变换，然后对 用 作第二次合同变换得到 。 注：用配方法化二次型为标准型的时候，所求线性变换应是满秩的。 注：必须是合同变换，即做一次列初等变换必须有同样的行初等变换。 依次实施 次合同变换，最终得到与 合同的对角矩阵 。从而得到二次型的标准形 。变换所用矩阵 ，即 是由对单位阵作 次与 同样的列初等变换得到的。因而这种方法就是所谓的矩阵合同变换法化二次型成标准形。 例4．用合同变换法将本节例3中的二次型化标准形，并求其所用满秩线性变换，并验证结果的正确性。 解：二次型 的矩阵 。 。 经满秩线性变换 ，二次型化为标准形 。 例3所得的结果 与例4不同。这说明标准形不唯一。但注意到，若对例4最后的结果进一步作合同变换： 这时， 标准形为 。 6.2.3惯性定理 从上面例子可见，二次型的标准形不是唯一的。甚至可以有无穷多个。事实上，从矩阵合同变换看，若可逆矩阵 使 。取 ，并 令 ，则 是满秩的，且有 。若对二次型 作变换 ，得到标准形 。由于这里 可以取任意不为零的常数，上式表明二次型 的标准形的确有无穷多个。 虽然二次型的标准形不唯一。但由于 满秩， 与 的秩总相同。即二次型的标准形中系数不为零的项数是由 唯一确定的，且恰好等于 的秩 。设二次型的秩为 。其标准形为 ，不妨设 为正值，其余 个系数 为负值。 。则标准形可写成 。 取 ，并令 。 注：标准形不唯一 显然 满秩，且有 。若记 ，则二次型 ，经满秩线性变换 得到标准形 。这种形式的标准形成为二次型的规范型。下面证规范型唯一。 定理6.2.2 （惯性定理）任何 元实二次型 都存在满秩线性变换化成规范形，且它的规范型是唯一的。 证：证唯一性。设 经满秩线性变换 化成规范型 设另一个满秩线性变换 化成规范型 只须证 。用反证法，若 。不妨设 ，则对任一向量 ，对应的 满足 ，且恒有 记 。现令 。则有 方程组有 个方程，因 故 即方程组必有非零解，令 是方程组的一个非零解，且必有 由 知 时 ，因 故 不全为零。 又对上面 及 应满足 即 因 不全为零 故上式左端 不全为零 上式右端 ，矛盾， 同理可证 ，因而必有 定义6.2 在实二次型 的规范型中所含正平方项项数 称为二次型的正惯性指数，负平方项项数 称为负惯性指数，差 叫做二次型的符号差。 §6.3 正交变换化标准形 6.3.1 正交变换化标准型 在上章已经证明，任一个 阶实对称阵 都有 个实的特征值（重根按重数计）记作 且相应地有 个标准正交的特征向量，记作 满足 ， 以这 个标准正交的特征向量作为矩阵的列向量给列出一个正交矩阵 ，满足关系式 这样经过变换 ，二次型 可化成标准型 注：正负惯性指数也可由标准形看出 定义6.3当 是正交矩阵时，称 为正交变换。二次型经正交变换化成标准型的过程称为用正交变换化二次型为标准型。 定理（主轴定理）6.3 任一个 元实二次型 总存在正交变换 使二次型 化为标准形 (6.2.1) 其中 是矩阵 的 个特征值 显然 当 是正交变换时， 的 个列向量必然是 的相应于特征值 的标准正交的特征向量，反之亦然。(6.2.1)称为二次型 在正交变换 下的标准形。 例1 用正交变换化二次型 成标准形 解：二次型的矩阵 令 则 的特征值 对 解方程组 ，得线性无关的特征向量 正交单位化得 对 解齐次线性方程组 得特征向量 单位化得 注：1.属于同个特征值的特征向量之间必须正交 2.所得正交阵的各列必须是正交的单位特征向量 正交阵 作正交变换 得二次型的标准形 例2 用正交变换化二次型 成标准型 解二次型的矩阵 ，令 得 的三个特征值 对特征值 ，解方程组 得特征向量 ，单位化得 对特征值 ，解方程组 得特征向量 ，单位化得 对特征值 ，解方程组 得特征向量 ，单位化得 注：正负惯性指数也可由标准型看出。 则正交阵 经正交变换 ，二次型化为标准形 注：对同一个二次型，采用不同的满秩线性变换，得到不同的标准形，但经正交变换化为标准形，平方项的系数是二次型矩阵 的特征值。同时，虽是标准形不同，但秩相同，正负惯性指数相同。正惯性指数是 正特征根的个数，负惯性指数是 负特征根的个数。正、负惯性指数之和即 的秩，即 非零特征根 作业：练习6-2 .2.（1） .3. 练习 6-3 1.（2）（3），2.3.5.6 思考. 习题六1.4. 第三次课：主要介绍二次型正定与矩阵正定的概念及判断方法 §6.4正定二次型 6.4.1二次型正定与矩阵正定 定义6.4.1 元实二次型 称为是正定的，当且仅当对任意非零向量 ，都有 . 若对于任意 都有 ，且至少存在一个非零 向量 ，使 ，则称二次型 是半正定的. 若对于任意非零向量 都有 ，则称 是负定二次型；若对于任意 都有 ， 且至少存在一个非零向量 使 ，则称二次型 是半负定的. 若既存在 使 ，又存在 使 ，则称 是不定的. 对于具有标准形式的二次型 则有： （1）若 全部为正数，则 正定； （2）若 全部为负值，则 负定； （3）若 全部大于等于零，且至少一个是零，则 半正定； （4）若 全部小于等于零，且至少一个是零，则 半负定； （5）若 既有取负值的，又有取正值的，则 是不定的. 定理6.4.1 元实二次型 正定的充要条件是它的正惯性指数 . 证：设二次型 经满秩线性变换 化为标准型 的个数（按重数计算）。 . 先证充分性.若正惯性指数 ，即 全大于零，对 必有 ，即 不全为零.显然有 即 是正定二次型. 必要性（用反证法）.若 正定，而正惯性指数 ，则有 . 取 ，相应地有 .且 与 正定矛盾， . 推论： 元实二次型 正定的充要条件是二次型的矩阵 的 个特征值全为正数. 类似地可证明下述结论： 元实二次型负定 负惯性指数= 或的 的 个特征值全为负数. 元实二次型半正定 正惯性指数 或 的 个特征值全大于等于零，且至少有一个为零. 元实二次型半负定 负惯性指数 或 的 个特征值全小于等于零，且至少有一个为零. 元实二次型不定 或的 的 个特征值既有正又有负. 举例 定义6.4.2 阶实对称阵 被称为是正定、负定、半正定、半负定或不定，当且仅当它相应的二次型 是正定、负定、半正定、半负定或不定. 称阵 正定、负定、半正定、半负定有时分别简记为 . 定理6.4.2 阶实对称阵 正定 与单位阵合同，即存在 阶可逆阵 使分解式 成立 证：充分性. ， 可逆，则对任意非零向量 ，必有 .从而有 ， 正定. 必要性. 正定 的 个特征根 全大于0，且存在可逆 阵 ，使 . 令 ，显然 可逆. 则 即 与单位阵合同且存在可逆阵， ，使 成立. 推论.正定矩阵 的行列式 . 定义6.4.3.设 阶矩阵 ，则 称为 的 阶顺序主子式. 定理6.4.3 阶实对称阵 = 正定 的 个顺序主子式全部大于0. 例1：判别二次型 是否正定. 解： 的矩阵 的各阶顺序主子式： 二次型正定 例2：设 ，问 为何值时使 正定？解：二次型的矩阵 的各阶顺序主子式： f正定 即 . 判定二次型或对称阵是否正定的方法： 1．​ 定义， 正定； 2．​ 用非退化线形变换化二次型为标准型，当正惯性指数 时正定； 3．​ 令 ，求 的全部特征根，当它全大于0时正定； 4．​ 计算 的各阶顺序主子式，当它们全大于0时正定； 例3 判定二次型 是否正定. 解:Ⅰ.二次型的矩阵 ,其各阶顺序主子式 , . Ⅱ.计算 的全部特征值 . . Ⅲ. 显然 ,都有 而 从而有推论. 推论: 负定的充要条件是 的奇数阶顺序主子式 ,偶数阶顺序主子式 . 例 半负定. 作业: 练习 6-4 1、2、3、4、5 思考题：习题六5、7、8、10、11、13 注： 的各阶顺序主子式非负，不能推出 半正定