单位根的性质及其应用

© 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 过球面上这两点的圆所夹劣弧中最短者. 这样 ,一个 平面上的张角问题却很容易地转化为球面上两点间 的距离问题. 再回到张角最大问题上 , 其实际背景是十分丰 富的 ,典型而最常见的是足球比赛中边锋带球射门 问题. 边锋带球沿球场边线向球门运球 ,选择合适的 位置射门 ,总希望射门命中率最高 ,除了球员的射球 技术外 ,首先应考虑的是射球点与球门所张角为最 大. 这里的数学问题即是 :在边线 l 上求一点 P ,使 P 点对球门 M N 所张角 ∠M PN 最大 ,利用上面的方法 很容易计算出最佳射球点的位置 (图 4) . 从光线的镜面反射 ,到两定点距离之和最小 ,再 到张角最大 ,最后又转到球面上两点的球面距离 ,一 道十分简单的解析几何练习题引出了一连串的思 考. 数学就像一个变化多端的万花筒 ,又是一个变幻 莫测的迷宫 , 转动万花筒 , 使你看到千变万化的景 象 ,走进数学迷宫迎接你的将是逻辑思维训练 ,抽象 概括的熏陶 ,灵感加勤奋操作得到智慧与毅力的升 华 ,和谐美与成功的享受. 教数学首先要喜欢数学 , 并且要千方百计地让 学生喜欢数学 ,不能放过丝毫的联想机会 ,要让学生 思维的火花在一步步地联想中燃烧 ,成为探求未知 , 获取成功永不熄灭的火种. 单位根的性质及其应用 党效文 (陕西省西安市五环中学 　710038) 　　我们把 1 的任何一个 n 次方根叫 n 次单位根或 单位根 ( n ∈N) . 以单位根为背景的题目是数学竞赛 的热点内容. 1 　n 次单位根的常用性质 设 n个单位根为ε0 ,ε1 ,ε2 , ⋯,εn - 1 ,其中ε0 = 1 , εk = cos 2 kπ n + isin 2 kπ n = εk1 ( k ∈N) 则有 (1) | εk | = 1 ; (2)εk ·εj = εk + j ( k、j ∈Z) ; (3) (εk) m = εmk ( m ∈Z) ; (4) €εk = εn - k ; (5) 1 +ε1 +ε2 + ⋯+εn - 1 = 0 ; (6) 1 +εm1 +εm2 + ⋯+εmn - 1 = n ( n | m) 0 ( n 8 m) . 2 　应用 例 1 　(2001 年全国高中数学联赛题) 若 (1 + x + x 2) 1000 的展开式为 a0 + a1 x + ⋯+ a2000 x2000 ,求 a0 + a3 + a6 + ⋯+ a1998 的值. 解 　令 S1 = a0 + a3 + ⋯+ a1998 , S2 = a1 + a4 + ⋯+ a1999 , S 3 = a2 + a5 + ⋯+ a2000 , 在 (1 + x + x2) 1000 = a0 + a1 x + a2 x2 + ⋯+ a2000 x 2000 中 ,分别令 x = 1 ,ω(ω是三次单位根 ,ω ≠1) ,得 　　　S1 + S 2 + S3 = 31000 , (1) (1 + ω + ω2) 1000 = a0 + a1ω + a2ω2 + ⋯ + a2000ω2000 , 即 　S 1 + ωS 2 + ω2 S3 = 0 , ∴S 1 + ωS 2 + …ωS 3 = 0. (2) 在 (2) 中将ωS2 、…ωS3 按实、虚部分别展开 ,并由 复数相等可得 S 1 - 1 2 ( S 2 + S3) = 0 , (3) S 2 · 32 - S3 · 3 2 = 0 . (4) 所以由 (1) 、(3) 、(4) 得 S1 = 31000 ÷3 , 故 a0 + a3 + a6 + ⋯+ a1998 = 3999 . 例 2 　(1978 年我国八省市中学数学竞赛题) 分 解因式 x12 + x9 + x6 + x3 + 1. 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 　ω是 3 次单位根 (ω ≠1) ,则ω10 +ω5 + 1 = 0 ,说明 x10 + x5 + 1 能被 x2 + x + 1 整除. 解 　1 + x3 + x6 + x9 + x12 = 1 - ( x3) 5 1 - x3 = ( x5) 3 - 1 x 3 - 1 = x 5 - 1 x - 1 · x 10 + x 5 + 1 x 2 + x + 1 = ( x4 + x3 + x2 + x + 1) ( x8 + x5 - x7 - x4 + x3 - x 2 + 1) . 例 3 　(2000年全国高中数学联赛题) 设ω = cos π 5 + isin π 5 ,求以ω、ω 3 、ω7 、ω9 为根的方程. 932002 年第 2 期 　　　　　　　　　　　　　数 学 教 学 研 究 © 1994-2010 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. http://www.cnki.net 解 　由ω = cos 2π10 + isin 2π 10 ,知ω、ω 2 、ω3 、⋯、 ω10 是 1 的 10 个 10 次方根 , ∴( x - ω) ( x - ω2) ⋯( x - ω10) = x10 - 1 . (1) 又ω2 、ω4 、ω6 、ω8 、ω10 是 1 的 5 个 5 次方根 , ∴( x - ω2) ( x - ω4) ( x - ω6) ( x - ω8) ( x - ω10) = x 5 - 1. (2) 由 (1) ÷(2) 得 ( x - ω) ( x - ω3) ( x - ω5) ( x - ω7) ( x - ω9) = x 5 + 1 , 而 　ω5 = - 1 , x - ω5 = x + 1 , ∴( x - ω) ( x - ω3) ( x - ω7) ( x - ω9) = x 5 + 1 x + 1 = x 4 - x 3 + x 2 - x + 1. 例 4 　求 cosπ n + cos 2π n + ⋯+ cos n - 1 n π的值 ( n ∈N且 n ≥2) . 解 　设 z = cos π n + isin π n , 则 x2 n - 1 = ( x - 1) ( x - z) ( x - z2) ⋯( x - z2 n - 1) 故有 ( x - z) ( x - z2) ( x - z3) ⋯( x - z2 n - 1) = 1 + x + x2 + ⋯+ x2 n - 1 . 比较等式两边 x 项的系数 ,可得 z + z2 + ⋯+ z2 n - 1 = - 1. 比较等式两边的实部 ,可得 cos π n + cos 2π n + ⋯+ cos n - 1 n π = 0. 一类三元分式不等式及其应用 姜坤崇 (山东省邹平县教委教研室 　256200) 　　本文给出关于三元 a , b , c轮换对称的一类不等 式及其应用. 1 　几个命题 命题 1 　设 a、b、c 为正实数 , k 为常数 , k ≥2 , 则 (1) a a + kc + b b + ka + c c + kb ≥ 3 1 + k ; ( A ) (2) aka + b + b kb + c + c kc + a ≤ 3 1 + k . ( B) 证明 　(1) 由柯西不等式得 ( A ) 式 左 边 = a 2 a ( a + kc) + b2 b ( b + ka) + c 2 c ( c + kb) ≥ ( a + b + c) 2 a ( a + kc) + b ( b + ka) + c ( c + kb) = ( a + b + c) 2 a 2 + b2 + c2 + k ( ab + bc + ca) . 又 a2 + b2 + c2 + k ( ab + bc + ca) = a 2 + b2 + c2 + k - 23 ( ab + bc + ca) 　+ 2 (1 + k)3 ( ab + bc + ca) ≤ a2 + b2 + c2 + k - 23 ( a 2 + b2 + c2) 　+ 2 (1 + k)3 ( ab + bc + ca) = 1 + k 3 ( a + b + c) 2 , ∴ ( a + b + c) 2 a 2 + b2 + c2 + k ( ab + bc + ca) ≥ 3 1 + k . ∴不等式 ( A ) 成立. (2) 将不等式 ( A ) 两边同减 3 得 - ka b + ka - kb c + kb - kc a + kc ≥- 3 k 1 + k , 上式两边同乘以 - 1k 即得不等式 ( B) . 命题 2 　设 a、b、c为正实数 , k为常数 ,0 < k ≤ 1 2 ,则 (1) aka + b + b kb + c + c kc + a ≥ 3 1 + k ( C) (2) a a + kc + b b + ka + c c + kb ≤ 3 1 + k ( D) 证明 　(1) 由柯西不等式得 ( C) 式左边 = a 2 a ( ka + b) + b2 b( kb + c) + c 2 c( kc + a) ≥ ( a + b + c) 2 a( ka + b) + b( kb + c) + c( kc + a) = ( a + b + c) 2 k ( a2 + b2 + c2) + ab + bc + ca. 又 ∵k ( a2 + b2 + c2) + ab + bc + ca 04 数 学 教 学 研 究 　　　　　　　　　　　　　2002 年第 2 期