量子力学与统计物理习题解答
第一章
1. 一维运动粒子处于
)0(0
)0(
)(
x
xAxe
x
x
的状态,式中>0,求
(1)归一化因子 A;
(2)粒子的几率密度;
(3)粒子出现在何处的几率最大?
解:(1) 0 222)()( dxexAdxxx x
令 x 2 ,则
3
2
3
2
3
2
0
2
3
2
0
222
4
!2
8
)3(
8
8
A
A
A
deAdxexA x
由归一化的定义
1)()( dxxx
得 2/32A
(2)粒子的几率密度
xexxxxP 2234)()()(
(3)在极值点,由一阶导数
0)(
dx
xdP
可得方程
0)1( 2 xexx
而方程的根
0x ; x ; /1x
即为极值点。几率密度在极值点的值
0)0( P ; 0)(lim xPx ;
24)/1( eP
由于 P(x)在区间(0,1/)的一阶导数大于零,是升函数;在区间(1/,)的一阶导数小
于零,是减函数,故几率密度的最大值为 24 e ,出现在 /1x 处。
2. 一维线性谐振子处于状态
tix
Aetx
2
1
2
1 22
),(
(1)求归一化因子 A;
(2)求谐振子坐标小 x 的平均值;
(3)求谐振子势能的平均值。
解:(1) dxeAdx x 222
02 222 dxeA x
0
2
22
deA
2A
由归一化的定义
1 dx
得
A
(2) dxxeAdxxxPx x 222)(
因被积函数是奇函数,在对称区间上积分应为 0,故
0x
(3) dxxPxUU )()(
dxekx x 22221
0 2 22 dxexk x
0 22 2 dek
002 2221 deek
02 221 dek
22
1
2
k
24
k
将 2k 、
2 代入,可得
02
1
4
1 EU
是总能量的一半,由能量守恒定律
UTE 0
可知动能平均值
UEUET 00 2
1
和势能平均值相等,也是总能量的一半。
3.设把宽为a 的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点,有
)2/|(|,
)2/|(|,0
)(
ax
ax
xU
试通过具体解定态薛定谔方程,证明势阱中粒子的波函数为
2/||
,6,4,2,sin2
,5,3,1,cos2
)( ax
nx
a
n
a
nx
a
n
axn
粒子的能量为
,4,3,2,1,
2
2
2
22
nn
a
En
证明:势函数与时间无关,是定态问题。
由于是无限深势阱,粒子不可能到达阱外,因此在阱外
2/||,0)( axx
在阱内,波函数满足定态薛定谔方程
2/||)()(
2
2
axxEx
上式可变形为
0)(2)( 2 xEx
令 2
2 2
Ek ,则方程化为
0)()( 2 xkx
该方程的通解为
kxBkxAx cossin)(
在边界上,波函数应满足连续性条件,即
0)(
0)(
2/
2/
ax
ax
x
x
将通解代入有
0
2
cos
2
sin
0
2
cos
2
sin
kaBkaA
kaBkaA
由此可得
0
2
cos
0
2
sin
kaB
kaA
A 和 B 不能同时为零,否则解无意义。 0A ,则必有
,6,4,2,0
2
sin n
a
nkka n
0B ,则必有
,5,3,1,0
2
cos n
a
nkka n
由此可得方程的解为
,6,4,2,sin
,5,3,1,cos
)(
nx
a
nA
nx
a
nB
xn
由归一化条件
1dxnn
可知
12/sin
2/
2/
2
2
2
aAdxxanA
a
a
12/cos
2/
2/
2
2
2
aBdxxanB
a
a
解得
aBA /2
故在阱内的波函数为
,6,4,2,sin2
,5,3,1,cos2
)(
nx
a
n
a
nx
a
n
axn
粒子的能量
,4,3,2,1,
22
2
2
2222
nn
a
kEn
波函数的两个表达式还可统一为一个表达式
,3,2,1),
2
(sin2)( nax
a
n
a
xn
书
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中例题与习题的不同是将坐标原点取在势阱的左边界上,其解为
,3,2,1,sin2)( nx
a
n
a
xn
因此只要作坐标平移代换
21
axx ,将坐标原点移到势阱中心,立即可得到习题的结果。
4.带电荷 q的一维谐振子在外电场 E 作用下运动, xqxxU E )2/()( 22 ,试证明
粒子的能量和波函数分别为
2
22
22
1
EqnEn
2112
1
),()(
2
1
2
EqxxxHeNx n
x
nn
证明:势函数与时间无关,是定态问题。定态薛定谔方程为
)()(
2
1)(
2
22
2
xExxqxx
u
E
上式可改写为
)()(
2
)()2(
2
1)(
2 2
22
42
22
2
22
2
xExqxqxqxx
u
EEE
即
)(
2
)(
2
1)(
2 2
22
2
2
2
2
xqEqxx
u
EE
作代换 21
Eqxx , 2
22
2
EqEE ,则方程化为
标准
excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载
的一维谐振子方程
)(
2
1)(
2 1
2
1
2
1
2
xExx
u
其解为
)()( 12
1
1
2
1
2
xHeNx n
x
nn
能量为
2
1nE n
代换回去得能量
2
22
2
22
22
1
2
EE qnqEE n
波函数
2112
1
),()(
2
1
2
EqxxxHeNx n
x
nn
我们看一下谐振子所受的力
122
22 )()( xqxqx
dx
xdUF
EE
由 F=0 可知谐振子的平衡点不再是
0x
而是平移到
2
Eqx
作代换 21
Eqxx ,无非是将坐标原点移到新的平衡点 2
Eq ,移到新的平衡点后,与标
准谐振子的力函数表达式完全相同。
5.有一维势垒如下图所示,自由粒子沿 x 方向向势垒运动, 0UE ,求粒子的透
射系数 D。提示:写出 )(xU 表达式;令 ExU )( ,解出积分限 b;利用(2-104)式得 D,
并注意简化运算。
解:
axx
axaxU
xU
,0,0
0),/1(
)( 0
U0
U(x)
0 a x b
E
2/3
0
2/3
0
0
0
0
00
0
0
0
0
0
0 0
0
3
24
0
)(
22
0
22
0
])/1([22
0
])([22
0
EUb
a
U
EU
U
a
x
a
U
dx
a
U
EU
U
a
dxx
a
U
EU
dxEaxU
dxExU
eD
eD
eD
eD
eDD
b
b
b
b
由 b
a
UUabUE 000 )/1(
可得 000 ba
UEU
故
2/30
03
24
0
EU
U
a
eDD
6.粒子在三维无限深势阱
)2/||,2/||,2/|(|,
)2/||,2/||,2/|(|,0
),,(
czbyax
czbyax
zyxU
中运动,求粒子的波函数和能量。
解:势能不含时间是定态问题。在阱外,波函数
2/||,2/||,2/||,0),,( czbyaxzyx
在阱内,波函数满足定态薛定谔方程
2/||,2/||,2/||),,(),,(
2
2
2
czbyaxzyxEzyx
令 2
2 2
Ek ,则方程可化为标准形式
0),,(),,( 22 zyxkzyx
令
)()()(),,( zZxYxXzyx
代入方程有
022
2
2
2
2
2
XYZkZ
dz
dXYY
dy
dXZX
dx
dYZ
除以 XYZ,可得
0111 22
2
2
2
2
2
kZ
dz
d
Z
Y
dy
d
Y
X
dx
d
X
要使上式成立,必然有
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
1
1
z
y
x
kZ
dz
d
Z
kY
dy
d
Y
kX
dx
d
X
即
0
0
0
2
2
2
2
2
2
2
2
2
ZkZ
dz
d
YkY
dy
d
XkX
dx
d
z
y
x
由波函数的连续性可知在边界上
0)2/()2/(
0)2/()2/(
0)2/()2/(
cZcZ
bYbY
aXaX
由方程和边界条件可得
,6,4,2,sin
,5,3,1,cos
)(
nx
a
nA
nx
a
nA
xX n
,6,4,2,sin
,5,3,1,cos
)(
mx
b
mB
mx
b
mB
yYm
,6,4,2,sin
,5,3,1,cos
)(
lx
c
lC
lx
c
lC
xZl
由归一化条件可得
a
AA 2 ;
b
BB 2 ;
c
CC 2
,6,4,2,sin2
,5,3,1,cos2
)(
nx
a
n
a
nx
a
n
axX n
,6,4,2,sin2
,5,3,1,cos2
)(
mx
b
m
b
mx
b
m
byYm
,6,4,2,sin2
,5,3,1,cos2
)(
lx
c
l
c
lx
c
l
cxZl
或
,3,2,1),
2
(sin2)( nax
a
n
a
xX n
,3,2,1),
2
(sin2)( mby
b
m
b
yYm
,3,2,1),
2
(sin2)( lcz
c
l
c
zZl
波函数
,2,1;,2,1;,2,1
),
2
(sin)
2
(sin)
2
(sin8),,(
lmn
cz
c
lby
b
max
a
n
abc
zyxnml
能量
)(
2
)(
22 2
2
2
2
2
222
222
22
2
2
c
l
b
m
a
nkkkkE zyxnml
第四章
1.试证 33sin)(),,( ierfr 为 2Lˆ 和 zLˆ 的共同本征函数,并求出相应
的本征值。
证明:
33sin)(),,(ˆ iz erfirL
),,(3
sin)(3 33
r
erf i
满足 zLˆ 的本征方程,是 zLˆ 的本征函数,本征值是 3 。
33
2
2
2
22 sin)(
sin
1)(sin
sin
1),,(ˆ ierfrL
332 sin9)cossin3(
sin
1)( ierf
34222 sin9)sin3cossin9(
sin
1)( ierf
3322 )sin9sin3cossin9)(( ierf
3322 }sin3)1(cossin9){( ierf
3322 }sin3)sin(sin9){( ierf
332 sin)(12 ierf
),,(12 2 r
满足 2Lˆ 的本征方程,也是 2Lˆ 的本征函数,本征值是 212 。故 ),,( r 为 2Lˆ 和 zLˆ 的共同
本征函数。
2.设粒子在被限制在半径为a 的球内运动,其势能函数为
ar
ar
rU
0
)(
求粒子角动量为零时的波函数和能量。提示:利用(4-50)式,注意到 0ˆ2 L ,令
rrf /)( 。
解:在球外,波函数
0
在球内,波函数满足定态薛定谔方程
ELrrrrr
22222
2
ˆ1)(1
2
因角动量为零,即 0ˆ2 L ,方程变为常微分方程
Edr
dr
dr
d
r
)(1
2
2
2
2
上式可改写为
Erdr
rd 2
22 )(
2
令 rrf )( ,代入得
)()(
2 2
22
rEf
dr
rfd
进一步改写为
0)(2)( 22
2
rfE
dr
rfd
令 2
2 2
Ek ,代入得标准二阶常微分方程
0)()( 22
2
rfk
dr
rfd
方程的通解为
)cos()sin()( krBkrArf
在球心,由波函数 有限性可知 0)0( f (注意 0)0( ),即
0)0cos()0sin( kBkA
得 0B
在边界上,由波函数连续性可知
0)( a
即 0)sin( kaA
得 ,2,1 n
a
nk
,2,1sin)( nr
a
nArf
波函数 ,2,1sin1)( nr
a
n
r
Ar
由归一化条件
12sin4sin|| 2
0
22
0
2
0
2
0
2 aAdrarnAdddrr
aa
可得
a
A 2
1
波函数
r
r
a
n
a
r
sin
2
1)(
,2,1sin
2
1
sin
2
1
n
a
rnc
n
a
a
r
a
n
r
a
n
n
a
a
能量 2
222
2 a
nE
在球心 0r 处,波函数
n
a
a
a
rnc
n
a
a r
2
1
sinlim
2
1)0(
0
3.氢原子处于基态,求电子出现在距离氢核二倍玻尔轨道半径 0a 以外的几率。
解: drrRrP
a
2
2
2
1010
0
||)(
drer
a
ar
a
0
0
/2
2
2
3
0
4
dea
a
4
2
3
0
3
0 2
4
42 )22(2
1 eee
42 }2)4(2)4{(
2
1 e
413 e
4.分别求出氢原子处于 2s 态 )0,2( ln 和 2p 态 )1,2( ln 时,电子径向分布几率
取最大值时的 r 值。这两个 r 值是否等于相应的波尔轨道半径?
解:2s 态径向分布几率
02
2
0
3
0
22
2020 22
1||)( a
r
er
a
r
a
rRrP
令 020
dr
dP
即 0)46)(2(462 00 0020
00
2
0
2
0
a
r
a
r
eararra
a
rer
aa
rr
a
r
得 01 r
02 2ar
03 )53( ar
04 )53( ar
5r
因 0)()()( 520220120 rPrPrP
所以 1r 、 2r 和 3r 不是最大点。
因 0)(,0)( 420320 rPrP
3r 和 4r 是极大值点,但 )()( 420320 rPrP ,所以 03 )53( ar 是最大值点。
5.求出氢原子 p 态电子(l=1)当 m=1 时的角分布几率,所得结果与旧量子论关于电子
沿确定轨道运动的概念是否一致?
解:
2
2
2
1111 sin8
3sin
8
3|),(|)( ieYP
若电子沿确定轨道运动,即沿确定空间曲线运动,则电子只应出现在该曲线上。但上式
表明角分布几率与无关,电子不是分布在曲线上,而是分布在空间一个相当宽的区域。故
电子不是沿确定轨道运动,与旧量子论概念不一致。
第五章
1. 一维非线性谐振子处于势场 2/,2/)( 243432 kxcxbxcxbxkxxU ,求该
非线性谐振子基态的一级近似能量。
解: HHH ˆˆˆ 0
无微扰项
2/ˆ 20 kxH
为线性谐振子,其基态波函数
22
2
1
0 )(
x
ex
微扰项
43ˆ cxbxH
基态的一级近似能量
dxHHE 0
*
0000
ˆ
dxexcdxexb xx
2222 43
因被积函数是奇函数,第一项积分
0
223 dxexb x
因被积函数是偶函数,第二项积分
dxexcdxexc xx
2222
0
44 2
dec
2
0
4
4
2
8
32
4
c
44
3
c
即 40 4
3
cE
3. 有两个谐振子组成的耦合谐振子,其能量算符
21
2
2
2
1
2
0
2
2
2
1 )(2
1)ˆˆ(
2
1ˆ xxxxppH
式中 21xx 为两谐振子的相互作用能量,可视为 Hˆ 。试证:
(1)此耦合谐振子的零级近似能量
0021
0 )1()1( NnnE
,2,1;,2,1,0, 2121 nnNnn
(2)此耦合谐振子第一激发态(N = 1)能量的一级修正
)2/( 0E
证明:
(1) HHH ˆˆˆ 0
微扰项
21ˆ xxH
无微扰项
0201
2
2
2
0
2
2
2
1
2
0
2
1
2
2
2
1
2
0
2
2
2
1
0
ˆˆ
)
2
1ˆ
2
1()
2
1ˆ
2
1()(
2
1)ˆˆ(
2
1ˆ
HH
xpxpxxppH
无微扰时的定态薛定谔方程
),(),(ˆ),(ˆ),(ˆ 21
0
21
02
21
01
21
0 xxExxHxxHxxH
因算符 01Hˆ 仅与 x1 有关、 02Hˆ 仅与 x2 有关,可分离变量,令
)()(),( 2121 xxxx
则前述方程可分离为两个独立的方程
)()(ˆ 1
01
1
01 xExH
)()(ˆ 2
02
2
02 xExH
02010 EEE
每一个独立的方程描述了一独立的一维谐振子,其能量
2,1,0,)
2
1(
2,1,0,)
2
1(
202
02
101
01
nnE
nnE
总能量
2,1,0,)1()1( 21002102010 nnNNnnEEE
(2)N =1 时,耦合谐振子有两种状态,即谐振子 1 处于第一激发态,谐振子 2 处于基态
)()(),( 20112111 xxxx
谐振子 2 处于第一激发态,谐振子 1 处于基态
)()(),( 21102112 xxxx
两种状态具有同样的能量,是简并的。微扰矩阵元
22
2
0211
2
112111
*
1111 )()(ˆ dxxxdxxxdxdxHH
由于被积函数是奇函数,在对称区间上积分为 0,故
011 H
同理
0ˆ 2112
*
1222 dxdxHH
2
10
2212021101112112
*
1112
)()(
)()()()(ˆ
dxxxx
dxxxxdxxxxdxdxHH
积分
22222)()( 3
2
2
2
10
22
dxexdxxxx x
故
0
212 22
H
同理
0
21 2
H
代入久期方程有
0
2
2
0
0
E
E
即
0
2
2
0
2
E
解得
02
E
5.一体系的 k 能级为二度兼并,对应的本征函数为 1k 、 2k ,试证此体系有微扰 H ˆ 作用
时,体系能量的一级修正
]4)()[(
2
1
2112
2
22112211 HHHHHHE
并写出各 jiH 的表达式。
证明:由久期方程
0
2221
1211
EHH
HEH
可得
0))(( 21122211 HHEHEH
展开化简得
0)( 2112221122112 HHHHEHHE
代入二次方程求根公式有
])(4)()[(
2
1
21122211
2
22112211 HHHHHHHHE
]4)()[(
2
1
2112
2
22112211 HHHHHH
式中
dHH kk 1*111 ˆ ; dHH kk 2*112 ˆ
dHH kk 1*221 ˆ ; dHH kk 2*222 ˆ
6. 对有兼并情况,当零级近似波函数为 0 ,已知。试证能量的一级修正
dHE 0*0 ˆ 。
证明 1: 000 ˆˆ EHH k
两边乘 *0 并积分
dEddHdH k 0*0*00*00*0 ˆˆ
由厄米算符的性质,积分
dddHdH kk *0*0*000*0 )ˆ(ˆ
故有
dEdEdH 0*00*00*0 ˆ
由零级近似波函数为 0 的正交归一性
10*0 d
得
dHE 0*0 ˆ
证明 2:
dcHcdH
f
j
f
i
kiikjj
1 1
)0()0(0*0 ˆˆ
f
j
f
i
kikjij dHcc
1 1
)0()0( ˆ
f
j
f
i
jiij Hcc
1 1
)0()0(
因
f
i
jii EHc
1
)0( 0)ˆ(
故 ji
f
j
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