《高等数学学习指导》 第二章 导数与微分 重点：导数以及微分的概念、运算。 难点：复合函数求导、隐函数求导、参数式函数求导。 （一） 导数概念是由具体问题抽象产生的。自然科学中有关函数变化率的问题，经常涉及到导数概念。不论是求瞬时速度，还是求曲线的切线的斜率等，从数学角度看这些问题的解决
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都一样。都是经过以下三个计算步骤得出的： 第一步：求出对应于自变量改变量 的函数改变量 ，即求出 ； 第二步：作改变量 与 之比， ； 第三步：求出以下极限 ， 称此极限为函数 在 点处的导数。 由 可知导数是一种特定形式的极限，具体地说是函数的改变量 与自变量的改变量 之比，当 时的极限。因此，可用不同的形式来
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示。 如： 、 。 导数是个局部性的概念。若在一个区间 上的每一点处，函数 均有导数，就得到了定义于区间 上的一个以 为自变量的新的函数。这个新函数的对应关系就是求 的导数，称这个新函数为 ，这时 就是 在 处的值。 “函数 在 处可微的充要条件是 在 处可导”，这个结论是针对函数 在 处的可微性和可导性而言的，而不是对微分和导数的值而言的。事实上，从导数的定义以及微分的定义易知导数 仅与 有关，而 不仅与 有关，也与自变量的增量 有关，这一点从下面图形中也易看出。 函数在某点可导必在该点连续，但在某点连续的函数不一定在该点可导。 （二） 复合函数求导法则在求导数的运算中起着重要的作用，从法则易知，复合函数的导数的计算是利用基本初等函数导数的计算得到的。因此，应用这个法则的难点在于找准复合关系，找复合关系时应注意： ①从外层入手，逐步深入到内层找复合关系； ②将函数分解成几个函数复合而成，这几个函数都应是基本初等函数。 例：设 ，求 解：设 ， ， ， ， 根据复合函数求导法则，得 注意以上①、②在解题过程中的应用。由于 直接可得出。因此，常将 直接看成 的函数，即 ，不再设中间变量 。 。因此 与 的含义不同。 表示函数 关于变量 的导数，而 表示函数 关于中间变量 的导数。 求幂指函数以及分子分母都是因式连乘积的分式函数的导数时，可尽量利用对数求导法。 求隐函数的导数关键是明确对哪个变量求导，这样，另一个变量就是方程所确定的隐函数。 例：求方程 确定的函数的导数 。
分析
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：这里 是自变量， 是 的函数 解：在方程两边对 求导，即得 解出 ，得到 注意：在 的表达式中一般含有 和 ，其中的 由方程所确定的隐函数。不能期望将 用 的某个式子来表达，事实上隐函数不一定能表示成显函数的形式。 对参数式函数求导，实质上是对复合函数求导。 设参数式函数 ，实际上这里 是中间变量， 是 的复合函数，它由 ， 复合而成，在求这复合函数 的各阶导数 ， 时，最重要的一点就是要记住这是复合函数，以求 为例，由复合函数求导法则知： (*) （三） 求参数式函数 的高阶导数，仍是求复合函数的导数。在 中我们已明确了 是 的函数，中间变量是 ，在求二阶导数 时，由于 ，注意到 是 的函数， 又是 的函数。 因此 即 对参数式求更高阶导数，均可如此处理，一般地 ， (*) 求参数式函数的高阶导，初学者容易误认为 ，这是错误的。事实上，从上面的公式易知： ，而不等于 。为免于记忆太多的公式，求高阶导时，建议直接应用上面方法来求。 导数的一阶微分形式不变性是指若 在点 处可微， 在对应点 处可微，则复合函数 的微分 可成或 。 这里的不变性是指：无论 是自变量还是另一变量的可微函数，微分形式 不变，用此性质求复合函数的微分较易。 例：求 的微分。 解：令 ， ， 应注意到在利用微分将一些复杂的计算公式改用简单的近似公式来代替时，在 很小时，才有价值。
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