几个经典有趣著名的悖论

几个经典有趣著名的悖论 几个经典有趣著名的悖论 1－1 谎言者悖论 公元前六世纪，哲学家克利特人艾皮米尼地斯（Epimenides）：“所有克利特 人都说谎，他们中间的一个诗人这么说。”这就是这个著名悖论的来源。 《圣经》里曾经提到：“有克利特人中的一个本地中先知说：‘克利特人常说谎话，乃是 恶兽，又馋又懒’”（《提多书》第一章）。可见这个悖论很出名，但是保罗对于它的逻 辑解答并没有兴趣。 人们会问：艾皮米尼地斯有没有说谎？这个悖论最简单的形式是： 1－2 “我在说谎” 如果他在说谎，那么“我在说谎”就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话， 他又在说谎。矛盾不可避免。它的一个翻版： 1－3 “这句话是错的” 这类悖论的一个 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 形式是：如果事件A发生，则推导出非A，非A发生则推导出A，这 是一个自相矛盾的无限逻辑循环。拓扑学中的单面体是一个形像的表达。 哲学家罗素曾经认真地思考过这个悖论，并试图找到解决的办法。他在《我的哲学的发展 》第七章《 数学 数学高考答题卡模板高考数学答题卡模板三年级数学混合运算测试卷数学作业设计案例新人教版八年级上数学教学计划 原理》里说道：“自亚里士多德以来，无论哪一个学派的逻辑学家，从他 们所公认的前提中似乎都可以推出一些矛盾来。这表明有些东西是有毛病的，但是指不出 纠正的方法是什么。在1903年的春季，其中一种矛盾的发现把我正在享受的那种逻辑 蜜月打断了。” 他说：谎言者悖论最简单地勾画出了他发现的那个矛盾：“那个说谎的人说：‘不论我说 什么都是假的’。事实上，这就是他所说的一句话，但是这句话是指他所说的话的总体。 只是把这句话包括在那个总体之中的时候才产生一个悖论。” （同上） 罗素试图用命 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题 分层的办法来解决：“第一级命题我们可以说就是不涉及命题总体的那些 命题；第二级命题就是涉及第一级命题的总体的那些命题；其余仿此，以至无穷。”但是 这一方法并没有取得成效。“1903年和1904年这一整个时期，我差不多完全是致 力于这一件事，但是毫不成功。”（同上） 《数学原理》尝试整个纯粹的数学是在纯逻辑的前提下推导出来的，并且使用逻辑术语说 明概念，回避自然语言的歧意。但是他在书的序言里称这是：“发表一本包含那么许多未 曾解决的争论的书。”可见，从数学基础的逻辑上彻底地解决这个悖论并不容易。 接下来他指出，在一切逻辑的悖论里都有一种“反身的自指”，就是说，“它包含讲那个 总体的某种东西，而这种东西又是总体中的一份子。”这一观点比较容易理解，如果这个 悖论是克利特以为的什么人说的，悖论就会自动消除。但是在集合论里，问题并不这么简 单。 1－4 理发师悖论 在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村里所有那些不给自己理发的人理发。”有 人问他：“你给不给自己理发？”理发师顿时无言以对。 这是一个矛盾推理：如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人。有言在先， 他应该给自己理发。 反之，如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言，他只给村中不 给自己理发的人理发，他不能给自己理发。 因此，无论这个理发师怎么回答，都不能排除内在的矛盾。这个悖论是罗素在一九○二年 提出来的，所以又叫“罗素悖论”。这是集合论悖论的通俗的、有故事情节的表述。显然 ，这里也存在着一个不可排除的“自指”问题。 1－5 集合论悖论 “R是所有不包含自身的集合的集合。” 人们同样会问：“R包含不包含R自身？”如果不包含，由R的定义，R应属于R。如果 R包含自身的话，R又不属于R。 继罗素的集合论悖论发现了数学基础有问题以后，1931年歌德尔（Kurt Godel ，19 06－1978，捷克人）提出了一个“不完全定理”，打破了十九世纪末数学家“所有 的数学体系都可以由逻辑推导出来”的理想。这个定理指出：任何公设系统都不是完备的 ，其中必然存在着既不能被肯定也不能被否定的命题。例如，欧氏几何中的“平行线公理 ”，对它的否定产生了几种非欧几何；罗素悖论也表明集合论公理体系不完备。 1－6 书目悖论 一个图书馆编纂了一本书名词典，它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。那么它 列不列出自己的书名？ 这个悖论与理发师悖论基本一致。 1－7 苏格拉底悖论 有“西方孔子”之称的雅典人苏格拉底（Socrates，公元前470－前399） 是古希腊的大哲学家，曾经与普洛特哥拉斯、哥吉斯等著名诡辩家相对。他建立“定义” 以对付诡辩派混淆的修辞，从而勘落了百家的杂说。但是他的道德观念不为希腊人所容， 竟在七十岁的时候被当作诡辩杂说的代表。在普洛特哥拉斯被驱逐、书被焚十二年以后， 苏格拉底也被处以死刑，但是他的学说得到了柏拉图和亚里斯多德的继承。 苏格拉底有一句名言：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。” 这是一个悖论，我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。古代中 国也有一个类似的例子： 1－7 “言尽悖” 这是《庄子·齐物论》里庄子说的。后期墨家反驳道：如果“言尽悖”，庄子的这个言难 道就不悖吗？我们常说： 1－7 “世界上没有绝对的真理” 我们不知道这句话本身是不是“绝对的真理”。 1－8 “荒谬的真实” 有字典给悖论下定义，说它是“荒谬的真实”，而这种矛盾修饰本身也是一种“压缩的悖 论”。悖论（paradox）来自希腊语“para＋dokein”，意思是“多想一想”。 这些例子都说明，在逻辑上它们都无法摆脱概念自指所带来的恶性循环。有没有进一步的 解决办法？在下面一节的最后一部份还将继续探讨。 （二）引进无限带来的悖论 《墨子·经说下》中有一句话：“南方有穷，则可尽；无穷，则不可尽。”如果在有限中 引进无限，就可能引起悖论。 2－1 阿基里斯悖论 稍晚于毕达哥拉斯的古希腊数学家芝诺（Zeno of Elea），曾经提出过一些著名的悖论， 对以后数学、物理概念产生了重要影响，阿基里斯悖论是其中的一个。 阿基里斯（Achilles）是希腊神话中善跑的英雄。芝诺讲：阿基里斯在赛跑中不 可能追上起步稍微领先于他的乌龟，因为当他要到达乌龟出发的那一点，乌龟又向前爬动 了。阿基里斯和乌龟的距离可以无限地缩小，但永远追不上乌龟。 方励之先生曾经用物理语言描述过这个问题：在阿基里斯悖论中使用了两种不同的时间度 量。一般度量方法是：假设阿基里斯与乌龟在开始时的距离为S，速度分别为V1和V2 。当时间T＝S／（V1－V2）时，阿基里斯就赶上了乌龟。 但是芝诺的测量方法不同：阿基里斯将逐次到达乌龟在前一次的出发点，这个时间为T’ 。对于任何T’，可能无限缩短，但阿基里斯永远在乌龟的后面。关键是这个T’无法度 量T＝S／（V1－V2）以后的时间。 2－2 二分法悖论 这也是芝诺提出的一个悖论：当一个物体行进一段距离到达D，它必须首先到达距离D的 二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一、以至可以无穷地划分下去。因此， 这个物体永远也到达不了D。 这些结论在实践中不存在，但是在逻辑上无可挑剔。 芝诺甚至认为：“不可能有从一地到另一地的运动，因为如果有这样的运动，就会有‘完 善的无限’，而这是不可能的。”如果阿基里斯事实上在T时追上了乌龟，那么，“这是 一种不合逻辑的现象，因而决不是真理，而仅仅是一种欺骗”。这就是说感官是不可靠的 ，没有逻辑可靠。 他认为：“穷尽无限是绝对不可能的”。根据这个运动理论，芝诺还提出了一个类似的运 动佯谬： 2－3 “飞矢不动” 在芝诺看来，由于飞箭在其飞行的每个瞬间都有一个瞬时的位置，它在这个位置上和不动 没有什么区别。那么，无限个静止位置的总和就等于运动了吗？或者无限重复的静止就是 运动？中国古代也有类似的说法，如： 2－4 “飞鸟之景，未尝动也” 这是中国名家惠施的命题，与“飞矢不动”同工异曲。这就是不可抗拒的推理和不可回避 的实事相冲突。 德国哲学家尼采在《希腊悲剧时代的哲学》里有一章《可疑的悖论》，称芝诺的悖论为“ 否定感官的悖论”。尽管阿基里斯在赛跑中追上起步领先的乌龟完全合乎事实，但为什么 “不合逻辑”？因为芝诺运用了“无限”这个概念，这是一种逻辑上的假设，而现实世界 里是不可能有无限者存在的，这就出现了假设与现实的矛盾。 尼采说道：在这两个悖论里，“无限”被利用来作为化解现实的硝酸。如果无限是决不可 能成为完善的，静止决不可能变为运动，那么，真相是箭完全没有飞动，它完全没有移位 ，没有脱离静止状态，时间并没有流逝。 换句话讲，在这个所谓的、终究只是冒牌的现实中，既没有时间、空间，也没有运动。最 后，连箭本身也是一个虚象，因为它来自多样性，来自由感官唤起的非一的幻象。 下面是尼采的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 ： 假定箭拥有一种存在，那么，它就是不动的、非时间的、非造而有的、固定的、永恒的。 这是一个荒谬的观念！ 假定运动是真正的实在，那么，就不存在静止。因而，箭没有位置、没有空间。又是一个 荒谬的观点！ 假定时间是实在的，那么，它就不可能被无限地分割。箭飞行所需要的时间必定由一个有 限数目的瞬间组成，其中每个瞬间都必定是一个原子。仍然是一个荒谬的观念！ 尼采得出这样的结论：我们的一切观念，只要其经验所与的、汲自这个直观世界的内容被 当作“永恒真理”，就会陷入矛盾。如果有绝对运动，就不会有空间；如果有绝对空间， 就不会有运动；如果有绝对存在，就不会有多样性；如果有绝对的多样性，就不会有统一 性。 事实上，这两个悖论中提到的这个“动与不动”的对立统一，今天都已经得到了完美的解 决，这就是极限理论的诞生。牛顿在运动学研究时，初创微积分，但由于没有巩固的理论 基础，出现了历史上的“第二次数学危机”。十九世纪初，法国科学家以柯西为首建立了 极限理论，后来又经过德国数学家维尔斯特拉斯进一步的严格化，使极限理论成为微积分 的坚定基础，运动问题也得到了合理的解释。 可以想见，在微积分和极限理论发明或被接受以前，人们很难解释这一运动佯谬。感官不 同于思维，当希腊人用概念来判决现实的时候，如果逻辑与现实发生矛盾，芝诺指责感官 为“欺骗”。当思维找不到合理解释的时候，直观的形式、象征或比喻都无济于事。尼采 的分析虽然详细、精辟，但他无法把它们综合起来。 2－5 “一尺之捶，日取其半，万世不竭” 这是《庄子·天下》中惠施的一句名言。二千多年前中国古人同样运用了无限的概念。 战国名家宋国人惠施（约公元前370－前310）曾任梁国的宰相，论辩奇才，是庄子 的朋友，和公孙龙并列为名家的代表人物。他的著作多已亡佚，只能从其他诸家的论述中 看到他的言行片段。 惠施的学说强调万物的共相，因而事物之间的差异只是一种相对的概念，现存与惠施有关 的奇怪命题，例如，“山与泽平”、“卵有毛”、“鸡三足”、“犬可以为牛”、“火不 热”、“矩不方”、“白狗黑”、“孤驹未尝有母”等，都可以说是悖论，但是大部份没 有留下具体的争辩过程。惠施的悖论在西方也很有影响。 毛泽东从辩证法的角度基本接受惠施无限可分的观点。一九六四年八月十八日，他同哲学 工作者谈话时说：“列宁讲过，凡事可分。举原子为例，不但原子可分，电子也可分。” 又说：“电子本身到现在还没有分裂，总有一天能分裂的。‘一尺之捶，日取其半，万世 不竭’，这是个真理。不信，就试试看。如果有竭就没有科学了。” 有人注意到，毛泽东十分偏爱这句话，如五十年代中期对家钱三强，一九六四年八月同周 培源、于光远，一九七三年、一九七四年接见杨振宁、李政道，等等，都提到这句话。 2－6 “1厘米线段内的点与太平洋面上的点一样多” 多少哲学家、数学家都唯恐陷入悖论而退避三舍。二十三岁获博士学位的德国数学家康托 尔（1845－1918）六年以后向无穷宣战。他成功地证明了：一条直线上的点能够 和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。由于无限，1厘米长的线段内 的点，与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多”。 然而，康托尔的“无穷集合”与传统的数学观念发生冲突，遭到谩骂。直到一八九七年第 一次国际数学家会议，他的成果才得到承认，几乎全部数学都以集合论为基础。罗素称赞 他的工作“可能是这个时代所能夸耀的最巨大的工作。” 同时，集合论中也出现了一些自相矛盾的现象，尤其是罗素的理发师悖论，以极为简明的 形式震撼了数学的基础，这就是“第三次数学危机”。此后，数学家们进行了不懈地探讨 。 例如，一九九六年英国剑桥大学出版社出版了亨迪卡的《数学原理的重新考察》，这本书 以罗素的《数学原理》（1903）为蓝本的，试图完善逻辑和数学基础。它主要阐述了 亨迪卡和桑朵新创的IF（Independence-Friendly First-Order Logic）逻辑及其可能产 生的影响。它挑战了许多公认的观念，如公理集合论作为数学理论的适当框架，对说谎者 悖论也作了进一步的探讨。它是否将引 起一场逻辑和数学基础的革命？我们还将拭目以待。 1．​ 由自指引发的悖论 苏格拉底悖论：“我只知道一件事，那就是什么都不知道。”我们无法从这句话中推论出苏格拉底是否对这件事本身也不知道。 理发师悖论：在萨维尔村，理发师挂出一块招牌：“我只给村子里那些不给自己理发的人理发。”如果理发师不给自己理发，他就属于招牌上的那一类人，有言在先，他应该给自己理发。反之如果这个理发师给他自己理发，根据招牌所言他不能给自己理发。 2。 2．​ 引进无限带来的悖论 二分法悖论：当一个物体行进一段路程到达D，它必须先到达距离D的二分之一，然后是四分之一、八分之一、十六分之一，一直可以无限地分下去。因此这个物体永远也到达不了D。 “1厘米的线段内的点与太平洋面上的点一样多。”德国数学家康托尔成功证明了：一条直线上的点能够和一个平面上的点一一对应，也能和空间中的点一一对应。由于无限，1厘米长的线段内的点，与太平洋面上的点，以及整个地球内部的点都“一样多” 部分小于整体？ 在一个盒子里，装着黑白两种围棋棋子，哪种颜色的棋子更多一些呢？有人说，数一数不就完了吗？不错，分别数出两种颜色棋子的数目，然后比较数字大小，这是一种办法；还有一种更简单的方法，那就是对应，每一次从盒子里取出一黑一白两种棋子，放到另一个盒子里，一直取下去，最后剩下哪种棋子，就判定这种颜色的棋子多，如果刚好数完，就说明两种颜色的棋子一样多． 前面说的都是盒子里的棋子数有限的情形，若盒子里的棋子数是无限的．那么，至少有一种颜色的棋子数是无限的．这样，我们就无法确切数出这样颜色的棋子数，因而前一种方法在这儿行不通．后一种方法适用吗？如果若干次之后，只剩下某种颜色的棋子，说明这种棋子多，并且是无数多个，如果每拿出一个黑的，总能拿出一个白的，并且每拿出一个白的，也能拿出一个黑的，那么就说明棋子数一样多了，并且都是无数多个． 整体大于部分，这是一条古老而令人感到无可置疑的真理．哲学是如此，事物内部总是存在千丝万缕的联系，为了精确地分析万物的本质，我们通通先割裂它们．分别对事物的各个部分进行考察，但整体大于部分，它甚至大于各部分之和．从数学上来看，这一条真理真的和它看起来一样吗？17世纪的科学家伽利略发现，从数量上考察，涉及到数目无限时，情形就不一样了． 伽利略在《对话》中有这样的注解："平方数的个数不小于所有的总数，所有数的总数也不大于平方数的个数"，表面上看起来，平方数的集合是所有数的集合的一个子集，属于明显的整体与部分的关系，伽利略的注解认为，它们的个数是一样多的，不妨用对应的思想来解释一下： …1 2 3 4 5 6 7 8 9 … n … …1 4 9 16 25 36 49 64 81… n2 … 每一个自然数，总能找到一个平方数与之对应，相反，每一个平方数也一定能找到一个自然数与之对应，那么这两个数的集合是一一对应的，也就是说自然数和平方数的个数是一样多的． 像这样的情形还有许多，整数和偶数是一样多的，整数与奇数也是一样多的，只要部分和整体的元素之间能建立一一对应的关系，那么它们含有同样多的元素． 在这个思想的启发下，19世纪后期德国数学家康托尔创立了集合论．它揭示出部分可以和整体之间建立起一一对应关系，这正是含有无穷多个元素的集合的本质属性之一．它告诫人们：不要随便把有限的情形下得到的定理应用到无限情形中去． ================================================== 理发师悖论 萨维尔村理发师给自己订了一条规则："他给村子里不给自己刮胡子的人刮胡子，也只给这样的人刮胡子．于是有人问他：您自己的胡子由谁来刮呢？"理发师顿时哑口无言． 因为，如果他给自己刮胡子，那么他就属于自己给自己刮胡子的那类人．但是，招牌上说明他不给这类人刮胡子，因此他不能自己给自己刮．如果由另外一个人给人刮，他就是不给自己刮胡子的人，而招牌上明明说他要给所有不自己刮胡子的男人刮胡子，因此，他应该自己为自己刮胡子．由此可见，不管作怎样的推论，理发师所说的话总是自相矛盾的． 这就是著名的理发师悖论，是由英国哲学家罗素提出来的，这个通俗的故事表述了集合论中的一个著名的悖论——罗素悖论．罗素悖论还有其它一些通俗化问题，其中有一个是这么叙述的：假定有一个图书馆管理员，要给他的图书馆编辑一本参考书目：仅列入所有那些在他的图书馆里不把它们自己列入的参考书目的参考书目． ================================================== 强盗的难题 强盗抢劫了一个商人，他将商人捆在树上，预备在杀掉他之前，先戏弄一番．强盗头子对他说："我本想立即杀掉你，但在临死之前，再给你一个机会．你说我会不会杀掉你，如果你说对了，我就放了你，决不反悔！如果说错了．我就杀掉你．" 强盗以为，商人已逃不了一死，他怎么也没有想到，商人凭着自己的聪明才智逃过了这一劫．聪明的商人仔细一想，便说："你会杀掉我．"这下，轮到强盗发呆了，"如果我把你杀了，你就说对了，那么就应该放了你；如果把你放了，你就说错了，却又应该把你杀掉．"强盗想不到自己陷入了进退两难的境地，心下对商人顿生佩服的感情，于是将商人放了． 这是古希腊哲学家嘴边常讲的故事．商人的一句："你会杀掉我的．"立马解除了眼前的困境，他是多么地聪明．假如他说："你会放了我的．"这样，强盗就说法，让强盗无论怎么做，都必定与许下的诺言自相矛盾． 像这样有趣的问题还有许多．比如，上帝是万能的，你说上帝能创造一块他也举不起来的大石头吗？ ================================================== 说谎者悖论 公元前6世纪，古希腊克里特岛的哲学家伊壁门尼德斯有如此断言："所有克里特人所说的每一句话都是谎话．"如果这句话是真实的，那么也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了一句真话，但是断言却说：克里特人是不会说真话的．如果这句话是不真的，也就是说，克里特人伊壁门尼德斯说了句谎话，同时断言表明：克里特岛也有人不说谎．那么，他说的话又是真话．所以，怎样也难以自圆其说．这就是著名的说谎者悖论． 公元前4世纪，希腊哲学家也提出了这个悖论："我现在正在说的这句话是谎话．"因为你说的话若是真话，按话的内容分析，那么它又应是一句谎话；反之，若你说的话是谎话，那么你的话又应是真话．说谎者悖论至今仍困扰着数学家和逻辑学家． 说谎者悖论有许多形式．比如，我预言："你下面要讲的话是'不'，对不对？用'是'或者'不'来回答！"如果你说："不"那表明你不同意我的预言．也就是说你应说"是"，这样与你的本意相矛盾．如果你回答说："是！"这意味着你同意我的预言，那么你要的话就应当"不"，于是又产生矛盾．