排列与组合问题的应用与分析 排列与组合问题的应用与分析 摘要：排列与组合问题是高考常考题型，明确分类与分步，辨别有序与无序以及元素与位置的区别，灵活应用各种方法，是正确有效解决问题的关键。 关键词：排列与组合，分类与帆布，有序与无序，元素与位置，方法 1. 引言与约定 1.1 引言 排列与组合问题是高中数学教学中的一个重要部分，也是高考常考题型。其中，明确问题是分类还是分布，辨别其中的元素排列是有序还是无序，界定事物是元素还是位置，对于正确解答问题相当重要；而灵活运用各种思想方法，如“分类讨论思想”“等价转化思想”“捆绑法”“插空法”“插板法”，能使得问题解答得更快速便捷；直接法与间接法的正确运用，也能使疑难迎刃而解。 1.2 约定 = =n*(n-1)*(n-2)*…*(n-m+1) = =n*(n-1)*(n-2)*…*（n-m+1） m!=n! m!(n-m)! 2. 基本概念和原理 两个基本原理 （1） 分类基数原理 做一件事，完成它可以有n类方法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在二类办法种有m2种不同方法，…，在n类办法中有 种不同办法，那么完成这件事共有N= 种不同的方法。 （2） 分布计数原理 做一件事，完成它需要分成n个
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，做第一步有m1种不同方法，做第二有m2种不同方法，……，做第n步有 种不同的方法。 3. 排列组合问题中须明确区别的几个常见问题、解题步骤及解题方法 3.1 须明确区别的几个问题 3.1.1 分类与分布 （1） 分类：“做一件事，完成它可以有n类方法” 复杂事件A的排列与组合问题，需要对A在一个
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下分类讨论，把A分解为n类简单问事件A1,A2,A3,…,An。分类的原则是：A= Ai Aj = (i j,i.j=1,2,…,n)。在这样的原则下对事件A分类，能够确保使分类不重不漏，把A分为A1、A2、…、An的同时，对应的办法S也随之被分为n类办法S1,S2,…,Sn且S=S1∪S2∪…∪Sn，Si∩Sj≠ (i≠j,i.j=1,2,… ,n)，其结果用分类计数原理计算。 （2） 分步：“做一件事，完成它需要分成n个步骤” 事件A完成分类以后，对每一类要进行分步，分步要做到“步骤连续” “步骤独立”，这样就可以确保对每一类事件不漏不重。事件的分步对应方法的分步。如，A1分为n步 ，对应的S1被分为n种方法S11,S12,……，S1n.。其结果用乘法原理计算。 3.1.2 有序与无序 界定排列与组合问题是排列？还是组合？惟一的标准是“顺序”，“有序”是排列问题，“无序”是组合问题。排列与组合问题并存的时候，解答排列与组合问题，一般采用先组合与排列的方法解答。 3.1.3 元素与位置 解答排列与组合问题，界定哪些事物是位置至关重要，有没有惟一的定势标准，所以要辩证地去看待元素与位置。解题过程中，要优先安排有限制条件的特殊元素和特殊位置，并灵活运用各种方法。 3.2 排列组合问题的解题步骤 在求解排列组合应用问题是，应按如下步骤进行： （1） 把具体问题转化或归结为排列或组合 （2） 通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理 （3） 分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏 （4） 列出式子计算和作答 3.3 排列组合问题的常用问题和方法 3.3.1 常用思想 （1）分类讨论思想 （2）等价转换思想 3.3.2 常用方法 捆绑法，插板法，插空法，直接穷举法，间接法 4. 排列组合问题的应用与例题分析 4.1 分类讨论思想的应用 例：6名旅客，安排在3个客房中，每个客房至少一名旅客，则不同的安排方法有多少种？ 解析：按要求，有如下3种不同的分类： (1)4，1，1 N1= =90 (2)3，2，1 N2= *3！=360 (3)2，2，2 N3= =90 则 N=N1+N2+N3=90+360+90=540 4.2 等价转化思想在排列组合中的应用 例：以圆 内横坐标与纵坐标均为整数的点为顶点的三角形个数。 解析：本题是个综合问题，首先求出圆内的整数点个数，然后求组合数。 如下图，圆内有9个整数点，组成三角形的个数为 其中，8表示9个整数点中三点共线的情形。 4.3 捆绑法在 排列组合中的应用 例：现有《红楼梦》、《三国演义》、《水浒传》、《西游记》四大名著一套，其中《红楼梦》有上、中、下三册，《三国演义》有上下两册，要求同名书放在一起排列在书架上，则有多少种放置方式？ 解析：题目要求将同名书放在一起，则可将三册《红楼梦》捆绑在一起，两册《三国演义》捆绑在一起，作为两个整体参与排列，这两个整体内部也要进行排列。则放置方式为： =288 种 4.4 插板法在排列组合中的应用 例：现将9个相同的小球放入编号为1、2、3的箱子中，要求每个箱子中球数不小于编号，则放入方法有多少种？ 解析：因为球相同而箱子有区别，即元素相同而位置不同。又要求球数不小于编号，可以先将与编号数相等的球树放入相应的箱子中，还余三个球。将余下的三个球排成一列，考虑前后共有四个空隔，茶入两个隔板将其分成三个部分，则每个隔板前球的个数即为再次加入到相应位置球箱中的球数。 (1) 当两插板插入一个空隔时（即2号箱不加球），有 (2) 当两插板插入两个空隔时（即2号箱中加球），有 故 N=N1+N2=10 4.5 插空法在排列组合的应用 例：一次文艺演出中，需要给舞台上方安装一排完全相同的彩灯共5只，以不同的点亮方式增加舞台效果。设计者按照每次点亮时恰好有6只是关的，且相邻的灯不能同时被关掉，两端的灯必须点亮的要求进行设计。那么点亮方式有多少种？ 解析：15只灯6只关，则9只亮，又首尾灯要求是亮的，关灯不相邻。故可以把9只点亮的灯排成一列，在中间的8个空隔中插入6个（代表6个关的灯）。 所以 N= =28 4.6 直接穷举法 例：某电脑用户
计划
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使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘，根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式有多少种？ 解析：依题意有： x=3, y=2,3,4; x=4, y=2,3; x=5, y=2; x=6, y=2. 共 7种
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。 4.7 间接法在排列组合中的应用 例：从正方体的6个面中选取3个面，其中有2个面不相邻的选法的种数。 解析：要考虑三个面有两个面不相邻用穷举法比较麻烦，可考虑用间接法。因为有公共顶点的三个面两两相邻，故可从6个面中任选3个面，再除去8个顶分别所决定的三个面。所以 N= 。 上述讨论了排列与组合问题的应用于分析中常见的方法。要很好的解决这类问题，必须 熟练掌握上面的原理、思想及方法，将他们融会贯通，注重根据需要有机选择不同的思想进 行解答。 【参考文献】 【1】全日制普通高级中学教科书 数学第二册 人民教育出版社中学数学室编著 【2】历年高考真题和模拟题
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