等比数列的通项公式 等比数列的通项公式 例1 已知{an}为等比数列， 求证：当m＋n=p＋l时 am·an=ap·al 证明： 设等比数列的首项a1，公比为q， ∵m＋n=p＋l ∴am·an=ap·al得证． 评注： 本
题
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证明过程并不难，但结论：等比数列中，下标之和相等则对应项之积相等，这在解决有关等比数列的问题时常使解决的过程变得很简捷． 例2 在等比数列{an}中 (1)已知：a1＋a2＋a3=6，a2＋a3＋a4=－3，求a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8的值； (2)已知a1＋a2＋a3＋a4＋a5=31，a2＋a3＋a4＋a5＋a6=62，求通项an．
分析
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：利用等比数列的定义和性质整体观察． 解 (1)不难看出a1＋a2＋a3，a2＋a3＋a4，a3＋a4＋a5，a4＋a5＋a6，a5＋a6＋a7，a6＋a7＋a8成等比数列，且公比为q(即数列{an}的公比)． 设为{An}，即A1=6，A2=－3， (2)由已知可以看到 ∴a1(1＋2＋4＋8＋16)＝31，a1=1 ∴an=2n-1． 评注： 以上二题均可用列方程和方程组解决，但掌握等比数列有关性质整体考虑问题会使运算更简捷． 例3 在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a6=9，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10= [ ] A．12 B．10 C．8 D．2＋log35 解： 根据等比中项的性质， a5a6=a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=9． ∴a1a2…a9a10＝(a5a6)5=95． ∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10 =log3(a1a2…a10) =log395 =5log39 =10． 故正确
答案
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为(B)． 评注： (1)应用等比中项求解某些等比数列问题，简便快捷． (2)对等比数列{an}，有以下结论： 例4 若{an}为等比数列，且an＞0，已知a5a6=128 则log2a1＋log2a2＋…＋log2a10的值为 [ ] A．5 B．28 C．35 D．40 分析： 利用等比数列项间相等的性质不难求得 解： 原式=log2(a1a2a3…a10) 由等比数列数列性质 a1·a10=a2·a9=a3·a8=…=a5·a6 ∴原式=log2(a5·a6)5 =5log2128 =5×7 =35．所以选(C) 例5 在3和9之间插入两个正数，使前三数成等比数列，后三数成等差数列， 求这两个数之和． 分析： 欲求这两数之和，只须求得此二数，可依条件列方程、方程组解决． 解： 设插入的两个数分别为x、y 评注： (1)此题亦可改设为：3，3q，3q2，9或3，9－2d，9－d，9．这样利用等差或等比的条件设，方程少，计算简单． 三数成等差 知和a 可设为：x－d，x，x＋d 四数成等差 知和a 可设为：x－3d，x－d，x＋d，x＋3d，此时公差为2d 例6 分析： 等比数列中，an，a2n，a3n，a4n仍成等比数列，利用该性质不难解出 解： ∴{an}成等比数列． 由等比数列的性质an，a2n，a3n，a4n仍成等比 设公比为G ∴a4n=an·G3=8×83=4096 评注： {an}成等比数列，则ak，a2k，a3k，a4k仍成等比，且它们的公比是原公比q的k次方． 例7 {an}为等比数列，且an＞0，a2·a4＋a4·a6＋2a3a5=25 求a3＋a5 分析： 注意到下标特点，等比中项及等比数列有关性质不难得到结论 解： ∴由原式有：(a3＋a5)2=25 又an＞0 ∴a3＋a5=5．
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