2010年第5期 中学数学教学 37
函数零点问题的求解策略
浙江省上虞市春晖中学 林国夫 (邮编：312353)
随着新课程的不断展开和深入，许多高等数
学中的概念也随之融入高中数学课程，函数的零
点即为其中之一．函数零点由于涉及到化归、分
类讨论、数形结合、函数与方程等重要的数学思
想方法，加之与导数的应用一唱一和，因此自然
成为命题者眼中难以割舍的命题源泉．为此笔者
结合自己的教学实践，就解决函数零点问题的基
本策略作一探讨．供读者参考．
1 图象引领。精彩纷呈
函数厂(z)的零点(即函数厂(z)的图象与z
轴的交点的横坐标)生来就带有明显的几何色
彩．因此用图象来勾勒函数零点的神秘面目成为
我们解决函数零点问题最常用而有效的策略．
1．1 单刀直入，细摹图象
1
例1 设函数厂(z)一÷z3一(1+乜)z2+
0
4ax+24a，其中n>1，若函数厂(z)在(0。+00)
上有且仅有两个零点，求实数n的取值范嗣．
解 由题得厂7(z)一z2—2(1+a)x+4a一
(z一2)(z一2a)，由于口>1，则2<2口。从而当z
∈(一。。，2)U(2a，+。。)时f’(z)>0，当z∈
(2，2a)时。厂(z)<0，故函数．厂(z)的单调递增
区间为(一。。，2)，(2a，+。。)，单调递减区间为(2，
』
2a)，极大值为．厂(2)一28a一÷>0。极小值为
f(2n)=堑盟二鼍笋旦±旦，至此我们不难想像函
舅
．曳}。 一
／0 戈
j=2x'=2a
Ⅳ
影／
r。、
：V i
=2x=2a
图1
数，(z)的图象，其可能情形如图1所示，要使函
数厂(z)在(0，+cx3)上有且仅有两个零点，则其
图象只能为图2所示的图象，由此我们可得
f(2口)=型立产业<呲口n>6．
点评 单刀直入，细摹图
象即通过导数工具，对不加处
理的原函数直接进行函数性质
的分析．借助性质仔细绘制其
草图，依靠草图的走势来分析
零点的位置．对于处理熟悉的
函数(如i次函数，二次函数等
等)或导函数的解析式相对容
∞
。：
i‘
|’}食
}
：V
=2x=2a
图2
易的函数的零点问题，利用该策略求解会显得简
洁而富有实效．
1．2 一分为二，巧化难点
例2 判断函数厂(z)一坠一z2+2ez+m
Z
的零点个数．
解 要分析函数厂(z)的零点，则只要分析函数g(z)一竽(z>o)和^(z)～X22ex
m(x>0)的图象的交点的个数即可．下面我们通
过分析g(z)的性质来画其草图．由于97(z)=
土．z—lnz， ，
三——f—一一L二警>0，解得0
0
万方数据
38 中学数学教学 2010年第5期
(2)当m<一e2一三时，函数厂(z)没有
e
零点；
1 1
(3)当掰>一e2一三，即mo)．若关于z的方程，(z)一2ax有两个相
异的实根，求a的取值范围．
解 方程
厂(z)=2ax即为。：
2a(z+lnx)一
z2，其中z>0．又
已知口>0。从而
1
问题转化为去一
厶“
—x-下4-1nx在(O，-4-
M
1 础)=半
2a 1⋯卜
() ／： 一 一
O
f
1 。
图4
。。)上有两个不同的实根，即函数g(z)=竺专竽，
(z>o)的图象与直线y一磊1有两个不同的交点，
为此我们先画函数g(z)=量专磐(z>o)的图象．
由刊㈤一生垃竽兰尘
：二三±三些，令^(z)：一z+1—2lnz，则
X
h(z)在(O，+oo)单调递减，且^(1)=0，故当z
∈(O，1)时。h(z)>0，97(z)>0；当z∈(1，+
。。)时，h(z)<0。g7(z)<0，从而g(z)的单调递
增区间为(O，1)，单调递减区间为(1，+Cx3)，又
lirag(z)=一∞，limg(z)=0，g(1)=1，则
z一0+
。_．十∞
g(z)的图象大致如图4所示．从图4中可知，要
使得函数g(z)=生±竽(z>o)的图象与直线
Y5麦有两个不同的交点，则麦∈(o，1)，即所
求实数日的取值范围为(去，+。。)．
点评 通过将原函数中的变参最进行分离
后变形成g(n)=^(z)，则原函数的零点问题化
归为与丁轴平行的直线Y=g(a)和函数h(z)图
象的交点问题，而此问题的求解在技术上并不存
在困难，故问题迎刃而解．利用该方法求解零点
问题的显著优势在于既可以回避对参数取值情
况的复杂讨论。又形象直观，一目了然．
2 分门别类。深思熟虑
例4 已知函数厂(z)=(2一盘)(z一1)一2l眦，
g(z)=职h(口∈R)，若对任意给定的％∈(o，e]
在(O，e]上总存在两个不同的丁i。i一1，2，使得厂(Xi)
一g(xo)成立，求实数口的取值范围．
解 令b=g(z)一xe卜7，z∈(o，e]，由于
97(z)=e1一一ze卜。=e卜。(1一T)，则g(z)在
(o，1)上单调递增，在(1，e]上单调递减，且g(o)
=0，g(1)一1，g(e)一e21故b—g(z)∈(o，1]，
故原问题即为：对任意的b∈(o，1]，方程，(z)
一b在(0，e]总有两个不同的实根，显然函数
，(z)在(o，e]上不可能为单调函数，否则方程
厂(z)=b在(o。e]上至多有一个零点．下面我们
对函数厂(z)在(0，e]的性质作一探究．
由于／(z)：(2--a)z一～2一垒三二垒窒!，
Z Z
下面对a的不同取值进行讨论：
(1)当口≥2时，函数f7(z)<0，故函数
厂(z)在(o，e]上为单调减函数，不符合题意；
(2)当a<2时，f7(z)>0，解得z>
广—广．／士，为了使函数厂(z)在(o，e]上不单调，则
V‘一“
广—F o必须使得．／士0，判断／(z)一lnx一{+
C
jL的零点个数，则只需判断函数g(z)一xlnx
C
oZ
一丢+旦的零点个数即可．由于Y—e，在R上为
C C
下凸函数。则Y=F的图象整体在在其丁一1处
的切线(即直线Y=e(x一1)+e=ex)的上方，
则我们得不等式∥≥ez．由此我们有g(z)≥
xlnx一土+旦(当且仅当z一1时取到等号)．而
e e
对于^(z)=zlnx--土+旦，我们可以得^(z)≥
C C
， 1 1
0，事实上h(z)=l眦+1，则h(z)在(0，土I上单
、 c．J
r1
调递减，在l土，+o。1上单调递增。故h(z)≥
hf上1：⋯1—1+旦≥o(当且仅当z一土时
、c， C C e e
取等号)．故g(z)≥h(z)≥0，上述两个不等式
至少有一个取不到等号，从而g(z)>0．
综合上述g(z)在(0，+∞)上无零点，也即
函数厂(z)=lnz一{+旦的零点个数为0．
e eo■
点评 本例求解的关键策略为等价变形和
放缩替换．通过这两种策略的使用，使问题多次
进行等价“偷换”。最终将原函数，(z)复杂的结
构(之所以称之为复杂，因为我们无法直接利用
导数来分析其单调性)转化为h(z)相对简单的
结构，简洁而利索。可谓妙哉．笔者希望读者对这
两种求解策略也能有所留意．
综合上述，解决函数零点问题不仅需要我们
具备扎实的基础知识和熟练的变形技巧，而且更
需要我们具备灵活的数学思维，不断变换观察问
题的角度，化难为易，化繁为简．最后笔者再列举
两例，供读者练习和体会．
练习1 已知函数／(z)一-『a2‘一z一』(n∈
e Z
R)在(0，+co)上有两个零点，求n的取值范围．
(参考
答案
八年级地理上册填图题岩土工程勘察试题省略号的作用及举例应急救援安全知识车间5s试题及答案
：口∈(2e，+。。))
练习2 已知Ⅱ∈R，函数厂(T)=2ax2+2x
一3一n在[一1，1]上有零点，求实数n的取值
范围．
(参考答案：n∈(一。。，一生孥坦fu[1，
、
厶 一
+co))
(收稿日期：2010一08—05)
万方数据
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