MATLAB与概率统计

MATLAB6.0 数学手册 134 第 4 章 概率统计 本章介绍 MATLAB 在概率统计中的若干命令和使用格式，这些命令存放于 MatlabR12\Toolbox\Stats 中。 4.1 随机数的产生 4.1.1 二项分布的随机数据的产生 命令 参数为 N，P 的二项随机数据 函数 binornd 格式 R = binornd(N,P) %N、P 为二项分布的两个参数，返回服从参数为 N、P 的二 项分布的随机数，N、P 大小相同。 R = binornd(N,P,m) %m 指定随机数的个数，与 R 同维数。 R = binornd(N,P,m,n) %m,n 分别 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示 R 的行数和列数 例 4-1 >> R=binornd(10,0.5) R = 3 >> R=binornd(10,0.5,1,6) R = 8 1 3 7 6 4 >> R=binornd(10,0.5,[1,10]) R = 6 8 4 6 7 5 3 5 6 2 >> R=binornd(10,0.5,[2,3]) R = 7 5 8 6 5 6 >>n = 10:10:60; >>r1 = binornd(n,1./n) r1 = 2 1 0 1 1 2 >>r2 = binornd(n,1./n,[1 6]) r2 = 0 1 2 1 3 1 4.1.2 正态分布的随机数据的产生 命令 参数为μ 、σ 的正态分布的随机数据 函数 normrnd 格式 R = normrnd(MU,SIGMA) %返回均值为 MU，标准差为 SIGMA 的正态分布的 第 4 章 概率统计 135 随机数据，R 可以是向量或矩阵。 R = normrnd(MU,SIGMA,m) %m 指定随机数的个数，与 R 同维数。 R = normrnd(MU,SIGMA,m,n) %m,n 分别表示 R 的行数和列数 例 4-2 >>n1 = normrnd(1:6,1./(1:6)) n1 = 2.1650 2.3134 3.0250 4.0879 4.8607 6.2827 >>n2 = normrnd(0,1,[1 5]) n2 = 0.0591 1.7971 0.2641 0.8717 -1.4462 >>n3 = normrnd([1 2 3;4 5 6],0.1,2,3) %mu 为均值矩阵 n3 = 0.9299 1.9361 2.9640 4.1246 5.0577 5.9864 >> R=normrnd(10,0.5,[2,3]) %mu 为 10，sigma 为 0.5 的 2 行 3 列个正态随机数 R = 9.7837 10.0627 9.4268 9.1672 10.1438 10.5955 4.1.3 常见分布的随机数产生 常见分布的随机数的使用格式与上面相同 表 4-1 随机数产生函数表 函数名 调用形式 注 释 Unifrnd unifrnd ( A,B,m,n) [A,B]上均匀分布(连续) 随机数 Unidrnd unidrnd(N,m,n) 均匀分布（离散）随机数 Exprnd exprnd(Lambda,m,n) 参数为 Lambda 的指数分布随机数 Normrnd normrnd(MU,SIGMA,m,n) 参数为 MU，SIGMA 的正态分布随机数 chi2rnd chi2rnd(N,m,n) 自由度为 N 的卡方分布随机数 Trnd trnd(N,m,n) 自由度为 N 的 t 分布随机数 Frnd frnd(N1, N2,m,n) 第一自由度为 N1,第二自由度为 N2的 F 分布随机数 gamrnd gamrnd(A, B,m,n) 参数为 A, B 的  分布随机数 betarnd betarnd(A, B,m,n) 参数为 A, B 的分布随机数 lognrnd lognrnd(MU, SIGMA,m,n) 参数为 MU, SIGMA 的对数正态分布随机数 nbinrnd nbinrnd(R, P,m,n) 参数为 R，P 的负二项式分布随机数 ncfrnd ncfrnd(N1, N2, delta,m,n) 参数为 N1，N2，delta 的非中心 F 分布随机数 nctrnd nctrnd(N, delta,m,n) 参数为 N，delta 的非中心 t 分布随机数 ncx2rnd ncx2rnd(N, delta,m,n) 参数为 N，delta 的非中心卡方分布随机数 raylrnd raylrnd(B,m,n) 参数为 B 的瑞利分布随机数 weibrnd weibrnd(A, B,m,n) 参数为 A, B 的韦伯分布随机数 binornd binornd(N,P,m,n) 参数为 N, p 的二项分布随机数 geornd geornd(P,m,n) 参数为 p 的几何分布随机数 hygernd hygernd(M,K,N,m,n) 参数为 M，K，N 的超几何分布随机数 Poissrnd poissrnd(Lambda,m,n) 参数为 Lambda 的泊松分布随机数 4.1.4 通用函数求各分布的随机数据 命令 求指定分布的随机数 MATLAB6.0 数学手册 136 函数 random 格式 y = random('name',A1,A2,A3,m,n) %name 的取值见表 4-2；A1，A2，A3 为分 布的参数；m，n 指定随机数的行和列 例 4-3 产生 12（3 行 4 列）个均值为 2，标准差为 0.3 的正态分布随机数 >> y=random('norm',2,0.3,3,4) y = 2.3567 2.0524 1.8235 2.0342 1.9887 1.9440 2.6550 2.3200 2.0982 2.2177 1.9591 2.0178 4.2 随机变量的概率密度计算 4.2.1 通用函数计算概率密度函数值 命令 通用函数计算概率密度函数值 函数 pdf 格式 Y=pdf(name，K，A) Y=pdf(name，K，A，B) Y=pdf(name，K，A，B，C) 说明 返回在 X=K 处、参数为 A、B、C 的概率密度值，对于不同的分布，参数个数是 不同；name 为分布函数名，其取值如表 4-2。 表 4-2 常见分布函数表 name 的取值 函数说明 'beta' 或 'Beta' Beta 分布 'bino' 或 'Binomial' 二项分布 'chi2' 或 'Chisquare' 卡方分布 'exp' 或 'Exponential' 指数分布 'f' 或 'F' F 分布 'gam' 或 'Gamma' GAMMA 分布 'geo' 或 'Geometric' 几何分布 'hyge' 或 'Hypergeometric' 超几何分布 'logn' 或 'Lognormal' 对数正态分布 'nbin' 或 'Negative Binomial' 负二项式分布 'ncf' 或 'Noncentral F' 非中心 F 分布 'nct' 或 'Noncentral t' 非中心 t 分布 'ncx2' 或 'Noncentral Chi-square' 非中心卡方分布 'norm' 或 'Normal' 正态分布 'poiss' 或 'Poisson' 泊松分布 'rayl' 或 'Rayleigh' 瑞利分布 't' 或 'T' T 分布 'unif' 或 'Uniform' 均匀分布 'unid' 或 'Discrete Uniform' 离散均匀分布 'weib' 或 'Weibull' Weibull 分布 例如二项分布：设一次试验，事件 A 发生的概率为 p，那么，在 n 次独立重复试验中， 事件 A 恰好发生 K 次的概率 P_K 为：P_K=P{X=K}=pdf('bino'，K，n，p) 第 4 章 概率统计 137 例 4-4 计算正态分布 N（0，1）的随机变量 X 在点 0.6578 的密度函数值。 解：>> pdf('norm',0.6578,0,1) ans = 0.3213 例 4-5 自由度为 8 的卡方分布，在点 2.18 处的密度函数值。 解：>> pdf('chi2',2.18,8) ans = 0.0363 4.2.2 专用函数计算概率密度函数值 命令 二项分布的概率值 函数 binopdf 格式 binopdf (k, n, p) %等同于 )p,n,Kobin(pdf  ， p — 每次试验事件 A 发生的概 率；K—事件 A 发生 K 次；n—试验总次数 命令 泊松分布的概率值 函数 poisspdf 格式 poisspdf(k, Lambda) %等同于 )Lamda,K,spois(pdf  命令 正态分布的概率值 函数 normpdf(K,mu,sigma) %计算参数为μ =mu，σ =sigma 的正态分布密度函数在 K 处的值 专用函数计算概率密度函数列表如表 4-3。 表 4-3 专用函数计算概率密度函数表 函数名 调用形式 注 释 Unifpdf unifpdf (x, a, b) [a,b]上均匀分布(连续)概率密度在 X=x处的函数值 unidpdf Unidpdf(x,n) 均匀分布（离散）概率密度函数值 Exppdf exppdf(x, Lambda) 参数为 Lambda 的指数分布概率密度函数值 normpdf normpdf(x, mu, sigma) 参数为 mu，sigma 的正态分布概率密度函数值 chi2pdf chi2pdf(x, n) 自由度为 n 的卡方分布概率密度函数值 Tpdf tpdf(x, n) 自由度为 n 的 t 分布概率密度函数值 Fpdf fpdf(x, n1, n2) 第一自由度为 n1,第二自由度为 n2的 F 分布概率密度函数值 gampdf gampdf(x, a, b) 参数为 a, b 的  分布概率密度函数值 betapdf betapdf(x, a, b) 参数为 a, b 的分布概率密度函数值 lognpdf lognpdf(x, mu, sigma) 参数为 mu, sigma 的对数正态分布概率密度函数值 nbinpdf nbinpdf(x, R, P) 参数为 R，P 的负二项式分布概率密度函数值 Ncfpdf ncfpdf(x, n1, n2, delta) 参数为 n1，n2，delta 的非中心 F 分布概率密度函数值 Nctpdf nctpdf(x, n, delta) 参数为 n，delta 的非中心 t 分布概率密度函数值 ncx2pdf ncx2pdf(x, n, delta) 参数为 n，delta 的非中心卡方分布概率密度函数值 raylpdf raylpdf(x, b) 参数为 b 的瑞利分布概率密度函数值 weibpdf weibpdf(x, a, b) 参数为 a, b 的韦伯分布概率密度函数值 binopdf binopdf(x,n,p) 参数为 n, p 的二项分布的概率密度函数值 geopdf geopdf(x,p) 参数为 p 的几何分布的概率密度函数值 hygepdf hygepdf(x,M,K,N) 参数为 M，K，N 的超几何分布的概率密度函数值 poisspdf poisspdf(x,Lambda) 参数为 Lambda 的泊松分布的概率密度函数值 例 4-6 绘制卡方分布密度函数在自由度分别为 1、5、15 的图形 >> x=0:0.1:30; MATLAB6.0 数学手册 138 >> y1=chi2pdf(x,1); plot(x,y1,':') >> hold on >> y2=chi2pdf(x,5);plot(x,y2,'+') >> y3=chi2pdf(x,15);plot(x,y3,'o') >> axis([0,30,0,0.2]) %指定显示的图形区域 则图形为图 4-1。 4.2.3 常见分布的密度函数作图 1．二项分布 例 4-7 >>x = 0:10; >>y = binopdf(x,10,0.5); >>plot(x,y,'+') 2．卡方分布 例 4-8 >> x = 0:0.2:15; >>y = chi2pdf(x,4); >>plot(x,y) 0 2 4 6 8 1 0 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5 0 .2 0 .2 5 0 5 1 0 1 5 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5 0 .2 图 4-2 3．非中心卡方分布 例 4-9 >>x = (0:0.1:10)'; >>p1 = ncx2pdf(x,4,2); >>p = chi2pdf(x,4); >>plot(x,p,'--',x,p1,'-') 4．指数分布 例 4-10 >>x = 0:0.1:10; >>y = exppdf(x,2); >>plot(x,y) 0 2 4 6 8 1 0 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5 0 .2 0 2 4 6 8 1 0 0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 .5 图 4-1 第 4 章 概率统计 139 图 4-3 5．F 分布 例 4-11 >>x = 0:0.01:10; >>y = fpdf(x,5,3); >>plot(x,y) 6．非中心 F 分布 例 4-12 >>x = (0.01:0.1:10.01)'; >>p1 = ncfpdf(x,5,20,10); >>p = fpdf(x,5,20); >>plot(x,p,'--',x,p1,'-') 0 2 4 6 8 1 0 0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 0 2 4 6 8 1 0 1 2 0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 图 4-4 7．Γ 分布 例 4-13 >>x = gaminv((0.005:0.01:0.995),100,10); >>y = gampdf(x,100,10); >>y1 = normpdf(x,1000,100); >>plot(x,y,'-',x,y1,'-.') 8．对数正态分布 例 4-14 >>x = (10:1000:125010)'; >>y = lognpdf(x,log(20000),1.0); >>plot(x,y) >>set(gca,'xtick',[0 30000 60000 90000 120000]) >>set(gca,'xticklabel',str2mat('0','$30,000','$60,000',„ '$90,000','$120,000')) 7 0 0 8 0 0 9 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 2 0 0 1 3 0 0 0 1 2 3 4 5 x 1 0 -3 0 $ 3 0 , 0 0 0 $ 6 0 , 0 0 0 $ 9 0 , 0 0 0 $ 1 2 0 , 0 0 0 0 0 . 5 1 1 . 5 2 2 . 5 3 3 . 5 x 1 0 -5 MATLAB6.0 数学手册 140 图 4-5 9．负二项分布 例 4-15 >>x = (0:10); >>y = nbinpdf(x,3,0.5); >>plot(x,y,'+') 10．正态分布 例 4-16 >> x=-3:0.2:3; >> y=normpdf(x,0,1); >> plot(x,y) 0 2 4 6 8 1 0 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5 0 .2 -3 -2 -1 0 1 2 3 0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 图 4-6 11．泊松分布 例 4-17 >>x = 0:15; >>y = poisspdf(x,5); >>plot(x,y,'+') 12．瑞利分布 例 4-18 >>x = [0:0.01:2]; >>p = raylpdf(x,0.5); >>plot(x,p) 0 5 1 0 1 5 0 0 .0 5 0 .1 0 .1 5 0 .2 0 0 . 5 1 1 . 5 2 0 0 . 5 1 1 . 5 图 4-7 13．T 分布 例 4-19 >>x = -5:0.1:5; >>y = tpdf(x,5); >>z = normpdf(x,0,1); 第 4 章 概率统计 141 >>plot(x,y,'-',x,z,'-.') 14．威布尔分布 例 4-20 >> t=0:0.1:3; >> y=weibpdf(t,2,2); >> plot(y) -5 0 5 0 0 .1 0 .2 0 .3 0 .4 0 5 1 0 1 5 2 0 2 5 3 0 3 5 0 0 .5 1 1 .5 图 4-8 4.3 随机变量的累积概率值(分布函数值) 4.3.1 通用函数计算累积概率值 命令 通用函数 cdf 用来计算随机变量 KX  的概率之和（累积概率值） 函数 cdf 格式 )A,K,enam(cdf  )B,A,K,enam(cdf  )C,B,A,K,enam(cdf  说明 返回以 name 为分布、随机变量 X≤K 的概率之和的累积概率值，name 的取值见 表 4-1 常见分布函数表 例 4-21 求标准正态分布随机变量 X 落在区间(-∞，0.4)内的概率（该值就是概率统计 教材中的附表：标准正态数值表）。 解： >> cdf('norm',0.4,0,1) ans = 0.6554 例 4-22 求自由度为 16 的卡方分布随机变量落在[0，6.91]内的概率 >> cdf('chi2',6.91,16) ans = 0.0250 4.3.2 专用函数计算累积概率值（随机变量 KX  的概率之和） 命令 二项分布的累积概率值 函数 binocdf 格式 binocdf (k, n, p) %n 为试验总次数，p 为每次试验事件 A 发生的概率，k 为 n MATLAB6.0 数学手册 142 次试验中事件 A发生的次数，该命令返回 n 次试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率。 命令 正态分布的累积概率值 函数 normcdf 格式 normcdf( sigma,mu,x ) %返回 F(x)=   x dt)t(p 的值，mu、sigma 为正态分布的 两个参数 例 4-23 设 X~N（3, 22） （1）求 }3X{P},2X{P},10X4{P},5X2{P  （2）确定 c，使得 }cX{P}cX{P  解（1） p1= }52{  XP p2= }104{  XP p3= }2{1}2{  XPXP p4= }3X{P1}3X{P  则有： >>p1=normcdf(5,3,2)-normcdf(2,3,2) p1 = 0.5328 >>p2=normcdf(10,3,2)-normcdf(-4,3,2) p2 = 0.9995 >>p3=1-normcdf(2,3,2)-normcdf(-2,3,2) p3 = 0.6853 >>p4=1-normcdf(3,3,2) p4 = 0.5000 专用函数计算累积概率值函数列表如表 4-4。 表 4-4 专用函数的累积概率值函数表 函数名 调用形式 注 释 unifcdf unifcdf (x, a, b) [a,b]上均匀分布(连续)累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} unidcdf unidcdf(x,n) 均匀分布（离散）累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} expcdf expcdf(x, Lambda) 参数为 Lambda 的指数分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} normcdf normcdf(x, mu, sigma) 参数为 mu，sigma 的正态分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} chi2cdf chi2cdf(x, n) 自由度为 n 的卡方分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} tcdf tcdf(x, n) 自由度为 n 的 t 分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} fcdf fcdf(x, n1, n2) 第一自由度为 n1,第二自由度为 n2的 F 分布累积分布函数值 gamcdf gamcdf(x, a, b) 参数为 a, b 的  分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} betacdf betacdf(x, a, b) 参数为 a, b 的分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} logncdf logncdf(x, mu, sigma) 参数为 mu, sigma 的对数正态分布累积分布函数值 nbincdf nbincdf(x, R, P) 参数为 R，P 的负二项式分布概累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} ncfcdf ncfcdf(x, n1, n2, delta) 参数为 n1，n2，delta 的非中心 F 分布累积分布函数值 nctcdf nctcdf(x, n, delta) 参数为 n，delta 的非中心 t 分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} ncx2cdf ncx2cdf(x, n, delta) 参数为 n，delta 的非中心卡方分布累积分布函数值 raylcdf raylcdf(x, b) 参数为 b 的瑞利分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} weibcdf weibcdf(x, a, b) 参数为 a, b 的韦伯分布累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} binocdf binocdf(x,n,p) 参数为 n, p 的二项分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 第 4 章 概率统计 143 geocdf geocdf(x,p) 参数为 p 的几何分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} hygecdf hygecdf(x,M,K,N) 参数为 M，K，N 的超几何分布的累积分布函数值 poisscdf poisscdf(x,Lambda) 参数为 Lambda 的泊松分布的累积分布函数值 F(x)=P{X≤x} 说明 累积概率函数就是分布函数 F(x)=P{X≤x}在 x 处的值。 4.4 随机变量的逆累积分布函数 MATLAB 中的逆累积分布函数是已知 }xX{P)x(F  ，求 x。 逆累积分布函数值的计算有两种方法 4.4.1 通用函数计算逆累积分布函数值 命令 icdf 计算逆累积分布函数 格式 )a,a,a,P,enam(icdf 321 说明 返回分布为 name，参数为 321 a,a,a ，累积概率值为 P 的临界值，这里 name 与前 面表 4.1 相同。 如果 )a,a,a,x,enam(cdfP 321 ，则 )a,a,a,P,enam(icdfx 321 例 4-24 在标准正态分布表中，若已知 )x( =0.975，求 x 解：>> x=icdf('norm',0.975,0,1) x = 1.9600 例 4-25 在 2 分布表中，若自由度为 10， =0.975，求临界值 Lambda。 解：因为表中给出的值满足  }{P 2 ，而逆累积分布函数 icdf 求满足  }{P 2 的临界值 。所以，这里的取为 0.025，即 >> Lambda=icdf('chi2',0.025,10) Lambda = 3.2470 例 4-26 在假设检验中，求临界值问题： 已知： 05.0 ，查自由度为 10 的双边界检验 t 分布临界值 >>lambda=icdf('t',0.025,10) lambda = -2.2281 4.4.2 专用函数-inv 计算逆累积分布函数 命令 正态分布逆累积分布函数 函数 norminv 格式 X=norminv(p,mu,sigma) %p 为累积概率值，mu 为均值，sigma 为标准差，X 为临界值，满足：p=P{X≤x}。 例 4-27 设 )2,3(N~X 2 ，确定 c 使得 }cX{P}cX{P  。 解：由 }cX{P}cX{P  得， }cX{P}cX{P  =0.5，所以 >>X=norminv(0.5, 3, 2) X= 3 MATLAB6.0 数学手册 144 关于常用临界值函数可查下表 4-5。 表 4-5 常用临界值函数表 函数名 调用形式 注 释 unifinv x=unifinv (p, a, b) 均匀分布(连续)逆累积分布函数（P=P{X≤x}，求 x） unidinv x=unidinv (p,n) 均匀分布（离散）逆累积分布函数，x为临界值 expinv x=expinv (p, Lambda) 指数分布逆累积分布函数 norminv x=Norminv(x,mu,sigma) 正态分布逆累积分布函数 chi2inv x=chi2inv (x, n) 卡方分布逆累积分布函数 tinv x=tinv (x, n) t 分布累积分布函数 finv x=finv (x, n1, n2) F 分布逆累积分布函数 gaminv x=gaminv (x, a, b)  分布逆累积分布函数 betainv x=betainv (x, a, b) 分布逆累积分布函数 logninv x=logninv (x, mu, sigma) 对数正态分布逆累积分布函数 nbininv x=nbininv (x, R, P) 负二项式分布逆累积分布函数 ncfinv x=ncfinv (x, n1, n2, delta) 非中心 F 分布逆累积分布函数 nctinv x=nctinv (x, n, delta) 非中心 t 分布逆累积分布函数 ncx2inv x=ncx2inv (x, n, delta) 非中心卡方分布逆累积分布函数 raylinv x=raylinv (x, b) 瑞利分布逆累积分布函数 weibinv x=weibinv (x, a, b) 韦伯分布逆累积分布函数 binoinv x=binoinv (x,n,p) 二项分布的逆累积分布函数 geoinv x=geoinv (x,p) 几何分布的逆累积分布函数 hygeinv x=hygeinv (x,M,K,N) 超几何分布的逆累积分布函数 poissinv x=poissinv (x,Lambda) 泊松分布的逆累积分布函数 例 4-28 公共汽车门的高度是按成年男子与车门顶碰头的机会不超过 1% 设计 领导形象设计圆作业设计ao工艺污水处理厂设计附属工程施工组织设计清扫机器人结构设计 的。设男 子身高 X（单位：cm）服从正态分布 N（175，36），求车门的最低高度。 解：设 h 为车门高度，X 为身高 求满足条件 01.0}hX{P  的 h，即 99.0}hX{P  ，所以 >>h=norminv(0.99, 175, 6) h = 188.9581 例 4-29 卡方分布的逆累积分布函数的应用 在 MATLAB 的编辑器下建立 M 文件如下： n=5; a=0.9; %n 为自由度，a 为置信水平或累积概率 x_a=chi2inv(a,n)； %x_a 为临界值 x=0:0.1:15; yd_c=chi2pdf(x,n)； %计算 )5(2 的概率密度函数值，供绘图用 plot(x,yd_c,'b'), hold on %绘密度函数图形 xxf=0:0.1:x_a; yyf=chi2pdf(xxf,n)； %计算[0，x_a]上的密度函数值，供填色用 fill([xxf,x_a], [yyf,0], 'g') %填色，其中：点(x_a, 0)使得填色区域封闭 text(x_a*1.01,0.01, num2str(x_a)) %标注临界值点 text(10,0.10, ['\fontsize{16}X~{\chi}^2(4)']) %图中标注 text(1.5,0.05, '\fontsize{22}alpha=0.9' ) %图中标注 结果显示如图 4-9。 图 4-9 第 4 章 概率统计 145 4.5 随机变量的数字特征 4.5.1 平均值、中值 命令 利用 mean 求算术平均值 格式 mean(X) %X 为向量，返回 X 中各元素的平均值 mean(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列元素的平均值构成的向量 mean(A,dim) %在给出的维数内的平均值 说明 X 为向量时，算术平均值的数学含义是    n 1i ix n 1x ，即样本均值。 例 4-30 >> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A = 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 >> mean(A) ans = 1.3333 3.0000 3.0000 5.3333 >> mean(A,1) ans = 1.3333 3.0000 3.0000 5.3333 命令 忽略 NaN 计算算术平均值 格式 nanmean(X) %X 为向量，返回 X 中除 NaN 外元素的算术平均值。 nanmean(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列除 NaN 外元素的算术平均值向量。 例 4-31 >> A=[1 2 3;nan 5 2;3 7 nan] A = 1 2 3 NaN 5 2 3 7 NaN >> nanmean(A) ans = 2.0000 4.6667 2.5000 命令 利用 median 计算中值（中位数） 格式 median(X) %X 为向量，返回 X 中各元素的中位数。 median(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列元素的中位数构成的向量。 median(A,dim) %求给出的维数内的中位数 例 4-32 >> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A = 1 3 4 5 2 3 4 6 MATLAB6.0 数学手册 146 1 3 1 5 >> median(A) ans = 1 3 4 5 命令 忽略 NaN 计算中位数 格式 nanmedian(X) %X 为向量，返回 X 中除 NaN 外元素的中位数。 nanmedian(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列除 NaN 外元素的中位数向量。 例 4-33 >> A=[1 2 3;nan 5 2;3 7 nan] A = 1 2 3 NaN 5 2 3 7 NaN >> nanmedian(A) ans = 2.0000 5.0000 2.5000 命令 利用 geomean 计算几何平均数 格式 M=geomean(X) %X 为向量，返回 X 中各元素的几何平均数。 M=geomean(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列元素的几何平均数构成的向量。 说明 几何平均数的数学含义是 n 1 )x(M n 1i i   ，其中：样本数据非负，主要用于对数正 态分布。 例 4-34 >> B=[1 3 4 5] B = 1 3 4 5 >> M=geomean(B) M = 2.7832 >> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A = 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 >> M=geomean(A) M = 1.2599 3.0000 2.5198 5.3133 命令 利用 harmmean 求调和平均值 格式 M=harmmean(X) %X 为向量，返回 X 中各元素的调和平均值。 M=harmmean(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列元素的调和平均值构成的向量。 说明 调和平均值的数学含义是    n 1i ix 1 nM ，其中：样本数据非 0，主要用于严重偏斜 分布。 例 4-35 >> B=[1 3 4 5] B = 第 4 章 概率统计 147 1 3 4 5 >> M=harmmean(B) M = 2.2430 >> A=[1 3 4 5;2 3 4 6;1 3 1 5] A = 1 3 4 5 2 3 4 6 1 3 1 5 >> M=harmmean(A) M = 1.2000 3.0000 2.0000 5.2941 4.5.2 数据比较 命令 排序 格式 Y=sort(X) %X 为向量，返回 X 按由小到大排序后的向量。 Y=sort(A) %A 为矩阵，返回 A 的各列按由小到大排序后的矩阵。 [Y,I]=sort(A) % Y 为排序的结果，I 中元素表示 Y 中对应元素在 A 中位置。 sort(A,dim) %在给定的维数 dim 内排序 说明 若 X 为复数，则通过|X|排序。 例 4-36 >> A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0] A = 1 2 3 4 5 2 3 7 0 >> sort(A) ans = 1 2 0 3 5 2 4 7 3 >> [Y,I]=sort(A) Y = 1 2 0 3 5 2 4 7 3 I = 1 1 3 3 2 2 2 3 1 命令 按行方式排序 函数 sortrows 格式 Y=sortrows(A) %A 为矩阵，返回矩阵 Y，Y 按 A 的第 1 列由小到大，以 行方式排序后生成的矩阵。 Y=sortrows(A, col) %按指定列 col 由小到大进行排序 [Y,I]=sortrows(A, col) % Y为排序的结果，I 表示 Y 中第 col列元素在 A 中位置。 说明 若 X 为复数，则通过|X|的大小排序。 例 4-37 MATLAB6.0 数学手册 148 >> A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0] A = 1 2 3 4 5 2 3 7 0 >> sortrows(A) ans = 1 2 3 3 7 0 4 5 2 >> sortrows(A,1) ans = 1 2 3 3 7 0 4 5 2 >> sortrows(A,3) ans = 3 7 0 4 5 2 1 2 3 >> sortrows(A,[3 2]) ans = 3 7 0 4 5 2 1 2 3 >> [Y,I]=sortrows(A,3) Y = 3 7 0 4 5 2 1 2 3 I = 3 2 1 命令 求最大值与最小值之差 函数 range 格式 Y=range(X) %X 为向量，返回 X 中的最大值与最小值之差。 Y=range(A) %A 为矩阵，返回 A 中各列元素的最大值与最小值之差。 例 4-38 >> A=[1 2 3;4 5 2;3 7 0] A = 1 2 3 4 5 2 3 7 0 >> Y=range(A) Y = 3 5 3 4.5.3 期望 命令 计算样本均值 函数 mean 格式 用法与前面一样 例 4-39 随机抽取 6 个滚珠测得直径如下：（直径：mm） 14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32 第 4 章 概率统计 149 试求样本平均值 解：>>X=[14.70 15.21 14.90 14.91 15.32 15.32]； >>mean(X) %计算样本均值 则结果如下： ans = 15.0600 命令 由分布律计算均值 利用 sum 函数计算 例 4-40 设随机变量 X 的分布律为： X -2 -1 0 1 2 P 0.3 0.1 0.2 0.1 0.3 求 E (X) E(X2-1) 解：在 Matlab 编辑器中建立 M 文件如下： X=[-2 -1 0 1 2]; p=[0.3 0.1 0.2 0.1 0.3]; EX=sum(X.*p) Y=X.^2-1 EY=sum(Y.*p) 运行后结果如下： EX = 0 Y = 3 0 -1 0 3 EY = 1.6000 4.5.4 方差 命令 求样本方差 函数 var 格式 D=var(X) %var(X)=      n 1i 2 i 2 )Xx( 1n 1s ,若X为向量，则返回向量的样本方差。 D=var(A) %A 为矩阵，则 D 为 A 的列向量的样本方差构成的行向量。 D=var(X, 1) %返回向量（矩阵）X 的简单方差（即置前因子为 n 1 的方差） D=var(X, w) %返回向量（矩阵）X 的以 w 为权重的方差 命令 求标准差 函数 std 格式 std(X) %返回向量（矩阵）X 的样本标准差（置前因子为 1n 1  ）即：      n 1i i Xx 1n 1std std(X,1) %返回向量（矩阵）X 的标准差（置前因子为 n 1 ） std(X, 0) %与 std (X)相同 MATLAB6.0 数学手册 150 std(X, flag, dim) %返回向量（矩阵）中维数为 dim 的标准差值，其中 flag=0 时，置前因子为 1n 1  ；否则置前因子为 n 1 。 例 4-41 求下列样本的样本方差和样本标准差，方差和标准差 14.70 15.21 14.90 15.32 15.32 解： >>X=[14.7 15.21 14.9 14.91 15.32 15.32]; >>DX=var(X,1) %方差 DX = 0.0559 >>sigma=std(X,1) %标准差 sigma = 0.2364 >>DX1=var(X) %样本方差 DX1 = 0.0671 >>sigma1=std(X) %样本标准差 sigma1 = 0.2590 命令 忽略 NaN 的标准差 函数 nanstd 格式 y = nanstd(X) %若 X 为含有元素 NaN 的向量，则返回除 NaN 外的元素的标准 差，若 X 为含元素 NaN 的矩阵，则返回各列除 NaN 外的标准差 构成的向量。 例 4-42 >> M=magic(3) %产生 3 阶魔方阵 M = 8 1 6 3 5 7 4 9 2 >> M([1 6 8])=[NaN NaN NaN] %替换 3 阶魔方阵中第 1、6、8 个元素为 NaN M = NaN 1 6 3 5 NaN 4 NaN 2 >> y=nanstd(M) %求忽略 NaN 的各列向量的标准差 y = 0.7071 2.8284 2.8284 >> X=[1 5]; %忽略 NaN 的第 2 列元素 >> y2=std(X) %验证第 2 列忽略 NaN 元素的标准差 y2 = 2.8284 命令 样本的偏斜度 函数 skewness 格式 y = skewness(X) %X 为向量，返回 X 的元素的偏斜度；X 为矩阵，返回 X 各 列元素的偏斜度构成的行向量。 y = skewness(X,flag) %flag=0 表示偏斜纠正，flag=1（默认）表示偏斜不纠正。 说明 偏斜度样本数据关于均值不对称的一个测度，如果偏斜度为负，说明均值左边的 第 4 章 概率统计 151 数据比均值右边的数据更散；如果偏斜度为正，说明均值右边的数据比均值左边的数据更散， 因而正态分布的偏斜度为 0；偏斜度是这样定义的： 3 3)x(E y    其中：μ 为 x 的均值，σ 为 x 的标准差，E(.)为期望值算子 例 4-43 >> X=randn([5,4]) X = 0.2944 0.8580 -0.3999 0.6686 -1.3362 1.2540 0.6900 1.1908 0.7143 -1.5937 0.8156 -1.2025 1.6236 -1.4410 0.7119 -0.0198 -0.6918 0.5711 1.2902 -0.1567 >> y=skewness(X) y = -0.0040 -0.3136 -0.8865 -0.2652 >> y=skewness(X,0) y = -0.0059 -0.46