长江水质的评价和预测模型

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承 诺 书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）： 参赛队员 (打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编 号 专 用 页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 长江水质的评价和预测模型 摘要 本文首先利用逼近理想点的排序法和灰色关联度的 分析 定性数据统计分析pdf销售业绩分析模板建筑结构震害分析销售进度分析表京东商城竞争战略分析 法，对长江的水质状况作出了综合评价。再借助于稳态条件下的一维水质模型和质量守恒定律得到了主要污染的分布区域。然后结合灰色理论和时间序列分析方法，对未来十年里长江的水污染状况作出了预测。最后建立线性回归模型，计算满足约束条件下每年所需处理的污水量。 在问题（1）中，考虑到水质类别差异对综合评价指标权值的影响，构造“S”形的变权函数，对属于不同水质类别的同种污染指标进行“动态加权”。然后建立基于逼近理想点的排序法的评价模型，得到了长江沿岸各观测站在每个月中的综合评价值及排序。在此基础上，取每个月里所有观测站中的最小评价值作为母序列，用灰色关联度的方法计算各观测站的评价值序列与母序列的关联度，根据关联度的大小，给出观测站的综合污染程度值，并进行排序。相应17个观测站的排名依次为{3，2，5，12，4，7，8，16，6，13，1，14，15，10，17，11，9}。 在问题（2）中，根据7个观测站的位置将干流分成8段，并计算出中间6段里每个月的排污量。首先根据一维水质模型，利用每段河道中首观测站浓度的影响值。再将本段内所有污染源都等效为一个段中央的连续稳定源，计算出其对此段段末观测站浓度的影响值。根据质量守恒定律列出方程，得出各段内每个月的排污量。对于每一段计算它在这一年多里的排污量，进行比较得到，高锰酸盐污染源主要分布在第5河段（江西九江—安徽安庆），氨氮的污染源主要分布在第3河段（湖北宜昌—湖南岳阳）。 在问题（3）中，用每年Ⅳ，Ⅴ和劣Ⅴ类水（不可饮用的水）的百分比之和来刻画水质状况，对其进行预测分析。首先将此序列的变化趋势分解为确定性增长趋势和平稳随机变化，分别利用灰色GM（1，1）模型和时间序列分析方法进行预测，然后将确定性增长和平稳随机变化的预测值相加得到百分比序列的预测值。经分析可知，若不采取有效措施，长江水质将逐渐变坏，10年后长江生态将濒临崩溃。 在问题（4）中，将长江总流量和废水排放总量作为自变量，Ⅵ类、Ⅴ类水的百分比之和以及Ⅳ、Ⅴ、劣Ⅴ类水的百分比之和分别作为因变量，建立线性回归模型。利用此模型，在满足约束条件下求出排污量的极限值，用灰色GM（1，1）模型对废水排放总量进行预测。用排污量的预测值减去极限值，即可得到未来十年的污水处理量（单位：亿t）为 {171.42,190,93,211.7,233.8,33,282.37,309.02,337.39,367.39,367.59,399.73}。 最后，结合实际给出了治理污染的切实可行的建议与意见，并对模型作出了评价。 1.问题的重述 水是人类赖以生存的资源，保护水资源是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。” 长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家的高度重视。2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”，并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤。 题目附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上7个观测站近一年多的基本数据。通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般来说，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑0.2（单位：1/天）。题目附件4是“1995~2004长江流域水质 报告 软件系统测试报告下载sgs报告如何下载关于路面塌陷情况报告535n,sgs报告怎么下载竣工报告下载 ”给出的主要统计数据。 请研究下列问题： （1）​ 对长江近两年多的水质情况作出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。 （2）​ 研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区？ （3）​ 假如不采取有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势作出预测分析，比如研究未来10年的情况。 （4）​ 根据你的预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅵ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水，那么每年需要处理多少污水？ （5）​ 你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。 1.​ 问题的分析 2.1 问题（1）的分析 该问题要求对长江近两年多的水质情况作出定量的综合评价。题目给出了28个月内监测得到的17个地区的水质指标。为了得到各观测站两年多来的综合水质情况，应先对一个月内各观测站的水质情况作出评价，然后考虑每个月的情况给出综合评价。 综合评价的方法有很多，诸如模糊综合判断、灰色关联等，对于此种多属性问题，可以从借助“空间距离”概念的角度来解决，这样就可以用“逼近理想解的排序模型”，即TOPSIS法。其过程为：对评价对象的各水质指标均找出最优值，设成理想解；对评价对象的各水质指标找出最劣值设为负理想。分别计算每一个评价与排名。然后还要依据各个月的情况给出综合评价，这时可以从每个城市关于月份的评价值序列提取母序列，这个母序列的每一项都是对应月份中评价最好的，可以计算各序列与母序列关联度作为综合评价值。 这里重要问题是如何确立各项水质指标的权重。因为Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水，Ⅳ、Ⅴ、劣Ⅴ类为污染和严重污染物决定的。所以权重的确定要体现两个特点： （1）体现水质的差异，特别是从Ⅲ类水变到Ⅳ水时，水质发生很大的变化； （2）体现首要污染物的作用，即污染物的评价类别越高，其权重需要越大。所以，权重是在变化的，并要表现出前三类水和后三类水的质的差异，于是想到构造一个“S”形曲线作为变权函数，对属于不同的类别的同种污染指标进行动态赋权。 2.2 问题（2）的分析 问题（2）要求确定出污染物主要来源于哪些区域，因此，可用七个观测站把干流分成八个江段，将每个江段作为一个区域，这里只考虑中间的六个区域。每个区域都可能有污染，每个段的污染物的排放量应该由这个江段两端的观测站来测定，又污染物在河流中的浓度分布可以近似地用一维水质模型来计算。称段的上游方向为段首，下游方向为段尾；相应地，称该江段两端的观测站分别为段首观测站和段尾观测站，也就是说每个江段的段尾观测站就是下一个段的段首观测站，示意图如图16-1所示。 图16-1 各江段的示意图 观测站 排污点 段 显然，段首观测站集中体现了上游污染物向下游排放的情况，而段尾观测站的观测值受上游以及该段污染源的影响，可以考虑用段首观测站的观测值代表上游向下游排放的初始浓度，利用一维水质模型求出其对段尾观测站观测的影响值。 再考虑某一段上的排污对段尾观测站的影响。由于实际的污染源位置，数量乃至排污量都难于得到。因此可以将该段内所有污染源等效为本段的某个位置的一个排污点。这个位置若均取在临近每个段尾观测站的位置，则此污染源对该段尾观测站影响非常大。反之，若接近段首观测站的位置，则影响会非常小。因此假设这个污染源的位置在每段的中点。然后再用一维水质模型，求该污染源对段尾观测站的影响值。 将两个影响值相加就等于段尾观测站的观测值（已知的），得到一个方程，求解每段内排污点的排污量。然后对13个月内污染物排放总量进行比较，就能得到主要污染指标的分布区域。 2.3 问题（3）的分析 问题（3）要求对长江未来水质污染的发展趋势作出预测。 首先，要确定预测水质污染的物理量。因为Ⅳ、Ⅴ和劣Ⅴ类的水属于污染水，不可饮用。所以利用题目附件4的数据，把这三类水质每个时段的评价范围所对应的百分比叠加成一个总量，来刻画水质的污染程度。观察可知。此数据具有确定的增长趋势和平稳的随机波动特性。则用以下方法预测： （1）利用灰色GM（1，1）模型对此序列的确定性增长趋势进行预测； （2）利用时间序列分析法对此序列的平稳随机变化进行预测。 最后对这两种预测值值叠加就能得到污染水含量的预测值，在一定的程度撒谎能够可以体现出水质污染的发展趋势。 2.4 问题（4）的分析 此问题是在满足一定的约束条件（长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣Ⅴ类水）下，求出未来10年每一年所需要处理的污水量。 首先，要在不处理废水的情况下，对未来十年的废水排放量作出预测；然后，在满足约束条件时，求出所允许的废水排放量的极限值，这两个量之差就是每年要处理的污水量。 分析数据可知，污水排放总量随时间呈确定性增长趋势。可以利用灰色GM（1，1）模型预测出未来十年的污水排放总量，总流量随时间的变化相对较小，可以考虑用均值来描述。 每年长江的总流量以及污水的排放总量会对污染物的百分比产生影响。这样，就可以用函数表达式来刻画污水的百分比与排放总量和总水流量的关系。假设是一种线性关系，可以用“线性回归”的方法求出函数关系式。根据约束条件，应该分别求出这两个函数关系式。第一个是以Ⅳ、Ⅴ类所对应的百分比的叠加的百分比作为因变量，污水排放总量和总流量作为自变量。但考虑到线性模拟效果和最终要求解的结果来看，第二个应该用Ⅳ、Ⅴ和劣Ⅴ类之和所对应的百分比作为因变量。 值得注意的是，此问题是对干流进行讨论，而且要反映出全年的整体情况，所以，选取所给的水文年干流中Ⅳ、Ⅴ和劣Ⅴ类水的百分比数据来体现整体的情况。 3.模型的假设及符号的使用 3.1模型的假设 （1）问题中所给出的数据能客观地反映实现情况，值得相信； （2）河道的长度远大于其宽度与深度； （3）相邻观测点间河道中的污染源可等效成稳定的连续点源，且位于该段河道的中央； （4）在短时期内，河道中各观测点间的水流速度保持稳定。 3.2符号的使用及说明 r 表示第i个评价对象（观测站）的第j（i=1,2,3,…，17；j=1,2,3,4）个污染指标的观测值； R表示由rij构成的原始评判矩阵； R*表示极性一质化矩阵； W表示污染指标的权重矩阵； X表示规范化矩阵； Z表示加权规范化矩阵； bi表示第i（i=1,2,3，…，17）个被评价对象的综合评价值； H表示评价值矩阵； Ln表示第n（n=1,2,3，…，6）段河道的长度，即相邻观测站之间的距离； Bn表示第n（n=1,2,3，…，6）段河道中污染源每月的排污量； Cn表示第n（n=1,2,3，…，6）段河道中段首观测站污染物的浓度； Cn+1表示第n（n=1,2,3，…，6）段河道中段尾观测站污染物的浓度； Un表示第n（n=1,2,3，…，6）段河道中首观测站的水流速度； Vn表示第n（n=1,2,3，…，6）段河道中首观测站的水流量； K表示河道中污染物的扩散系数； X0（k）表示历史数据（k=1,2,…，10）； Y0（k）表示确定性增长趋势值； Z0（k）表示平稳随机性趋势值； P1表示一年内干流中IV、V类水百分比之和； P2表示一年内干流中IV、V、劣V类水百分比之和； V表示一年内长江水总流量； m表示一年内的废水排放总量。 4.模型的准备 一维水质模型。依据相关材料[1],流体中的一维水质模型的一般形式为 , 其中C为流体中污染物的浓度分布，ux为水流速度，Dx为扩散系数，K为流体的降解系数，在稳定的条件下，既有 ，则上面的方程变为 Dx= . 如果给定初始条件C（0）=C0时，则方程的解为 C=C0exp{ }. 对于一般的河流而言，推流作用导致的污染物迁移要比扩散作用大的多，所以，在稳定条件下，扩散作用可以忽略，则江河中污染物浓度的变化规律为 C= . 5.模型的建立与求解 5.1 问题（1）的模型建立与求解 5.1.1 四种指标权重的确立 （1）构造变权函数。 针对四种污染物对水质的污染程度分别为Ⅰ、、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、和劣Ⅴ类6个等级，不妨设对应的数值分别为1,2,3,4，5，和6。 由问题的分析可知，当水质的类别从Ⅰ类变化到Ⅲ类时,其权值变化应该较缓慢;从Ⅲ类水变到Ⅳ类水时,其权值变化应该非常大,这体现出水质将发生质的变化(从可饮用到不可引用);而且水质越差,相应的权值也要越大,这样才能突出首要的污染物的影响作用. 依据以上的讨论,我们构造增长的“S”形曲线作为相应的变权函数，即 其图像如图16-2所示。 最后，计算可以得到污染指标的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、劣Ⅴ类水所对应的分类下界量化值分别为0.05，0.12，0.25，0.8，0.92. (2)求权重矩阵.以某一个月的具体情况为例，将17个观测点的4项检测值表的浓度提取出来，构造出原始评判矩阵R=（rij）17*4；再将元素rij的值（参照附表1）变换成污染类别，把类别对应的数值代入变权函数就得到量化矩阵；对量化矩阵中每一行的指标做归一化处理得到权重举证W，对于两年来的每个月能得到一个权重矩阵。 注意到一个事实，由于Ph值（6~9）难以对应确定出具体的水质类别，而且，依据数据分析可知，pH值对水质类别的影响很小，所以，在此问题中队PH值的影响采用固定的权值，不妨设为0.05，而其他三项指标采用上述的动态赋权，其总权值为0.95。 图16-2 变权函数示意图 5.1.2基于TOPSIS方法的评价模型 首先根据某个月内长江沿线17个观测点的水质情况给出量化评比。 （1）评价模型的建立。TOPSIS方法是一种逼近理想解的排序方法，其基本思想是把综合评价的问题转化为各评价对象之间的差异——“距离”，即按照一定的法则先确定理想解和负理想解，然后通过计算每一个被评价对象与理想解和负理想解之间的距离，再加以比较得出综合评价排名。、 步骤1 评价指标的极性处理，得到极性一致化矩阵R*。 溶解氧的指标是极大型（指标越大，水质越好），PH值的指标是居中型的（指标值处于中间水质较理想），其他两种是极小型的（指标越小，水质越好），下面同意对这四项评价指标进行极小型处理。 ①对于极大型指标溶解氧的指标值作极小化变换，即令倒数变换 r = ②对于居中型的指标PH值的指标值作极小化变换，即令 最后，综合四项指标得到评价指标的极性一致化矩阵R*： R*= 步骤2 评价指标的规范化处理 通过极差变换得到规范化矩阵X=（xij）17*4即 x = , i=1,2, …，17；j=1,2,3,4， 其中x 是无量纲的量，且xij∈[0,1]，i=1,2, …，17；j=1, 2, 3, 4. 步骤3 构造加权规范决策矩阵Z . 依据上一节中所得到权重矩阵W，令 z =w ·x ， i=1,2，…，17；j=1, 2, 3, 4. 步骤4 确定正理想解z+及负理想解z-. 设正理想解z 的第j个属性值为z ,负理想解z 的第j个属性值为z ， 则取正理想解为 z = {z },i=1,2, …，17；j=1, 2, 3, 4, 负理想解为 z = {z }，i=1,2, …，17；j=1, 2, 3, 4. 步骤5 计算距离. 被评价对象到正理想解的欧氏距离为 d = ，i=1,2, …，17, 被评价对象到负理想解的距离为 d = , i=1,2, …，17. 步骤6 求综合评价值. 被评价对象的综合评价指标值为 b = , i=1,2, …，17. 此时，各项污染指标越大，被评价对象的状态越接近于负理想解，从而得到的综合评价值越大，其水质污染的程度就越严重；反之则越接近正理想解，综合评价值就越小，其水质污染的程度就越轻. （2）评价模型的求解.依据题目附件三中的数据，利用MATLAB编程求出两年多来每个月中17个观测点水质的综合评价指标值（如表16-1所示），并进行比较得到综合排名（如表16-2所示）. 表16-1 每个月中各观测点的综合评价指标值 地 区 月份 A B C D E F G H I J K L M N O P Q 1 186 235 448 250 252 244 266 570 197 608 117 471 200 208 475 245 196 2 315 77 254 158 139 139 161 430 470 423 47 142 153 306 414 151 467 3 44 72 188 179 225 121 186 491 262 158 199 487 248 262 542 219 251 4 82 75 287 251 206 448 217 374 202 237 209 213 283 227 584 218 300 5 133 54 56 400 189 123 199 336 81 378 80 202 93 158 579 149 120 6 61 24 103 103 78 78 72 426 73 149 81 96 128 224 585 219 31 7 101 20 35 236 70 78 83 340 93 339 71 82 202 103 569 206 38 8 56 19 42 184 52 87 28 337 91 399 60 76 98 114 563 235 16 9 87 31 186 292 114 55 51 396 115 166 74 82 213 193 711 510 126 10 123 104 162 176 88 167 74 548 376 661 91 256 316 128 396 251 66 11 101 143 68 135 125 106 113 515 212 668 36 226 88 96 296 164 92 12 383 148 197 234 201 222 221 475 258 422 85 452 236 154 499 297 324 13 123 125 170 154 159 182 241 257 171 200 32 258 498 276 484 139 193 14 142 166 160 279 160 226 336 423 337 334 62 365 483 283 462 154 188 15 519 152 282 323 284 314 344 400 219 147 214 339 446 319 597 263 473 16 550 311 219 242 214 195 201 304 134 58 144 213 234 169 463 168 352 17 9 46 166 161 89 227 306 174 44 45 70 78 337 195 484 443 138 18 96 66 79 116 76 280 371 210 109 130 38 191 235 165 470 532 71 19 68 41 88 136 112 127 94 207 73 119 64 94 143 240 498 508 232 20 81 77 101 436 147 172 154 284 55 188 86 131 405 182 615 208 197 21 104 111 69 160 179 125 102 395 85 131 73 274 479 165 536 81 130 22 114 246 129 332 104 175 82 403 138 209 82 395 405 182 615 208 197 23 71 410 182 227 124 172 155 575 156 252 104 421 415 163 514 148 275 24 185 342 174 199 205 262 312 438 209 353 121 399 434 374 596 271 369 25 176 61 137 328 210 141 206 217 113 160 90 214 242 593 584 212 408 26 430 192 178 289 254 241 358 456 289 138 53 297 288 369 578 243 173 27 171 178 325 358 132 155 255 428 236 226 73 326 220 301 592 179 295 28 337 235 214 430 167 164 283 165 147 262 102 325 323 176 561 156 238 表16-2 每个月中各观测点水质情况的排名 地区 月份 A B C D E F G H I J K L M N O P Q 1 2 7 13 10 11 8 12 16 4 17 1 14 5 6 15 9 3 2 12 2 10 8 3 4 9 15 17 14 1 5 7 11 13 6 16 3 1 2 7 5 10 3 6 16 13 4 8 15 11 14 17 9 12 4 2 1 13 11 4 16 7 15 3 10 5 6 12 9 17 8 14 5 8 1 2 16 11 7 12 14 4 15 3 13 5 10 17 9 6 6 3 1 10 11 6 7 4 16 5 13 8 9 12 15 17 14 2 7 10 1 2 14 4 6 8 16 9 15 5 7 12 11 17 13 3 8 6 2 4 13 5 9 3 15 10 16 7 8 11 12 17 14 1 9 6 1 11 14 7 3 2 15 8 10 4 5 13 12 17 16 9 10 6 5 8 10 3 9 2 16 14 17 4 12 13 7 15 11 1 11 6 11 2 10 9 7 8 16 13 17 1 14 3 5 15 12 4 12 13 2 4 8 5 7 6 16 10 14 1 15 9 3 17 11 12 13 2 3 7 5 6 9 12 13 8 11 1 14 17 16 16 4 10 14 2 6 4 9 5 8 12 15 13 11 1 14 17 10 16 3 7 15 16 2 6 10 7 8 12 13 4 1 3 11 14 9 17 5 15 16 17 14 10 12 9 6 7 13 2 1 3 8 11 5 16 4 15 17 1 4 10 9 7 13 14 11 2 3 5 6 15 12 17 16 8 18 6 2 5 8 4 14 15 12 7 9 1 11 13 10 16 17 3 19 3 1 5 11 8 10 6 13 4 9 2 7 12 15 16 17 14 20 3 2 5 16 7 10 8 13 1 11 4 6 15 14 17 12 9 21 6 7 1 11 13 8 5 15 4 10 2 14 16 12 17 3 9 22 4 12 5 13 3 7 1 15 6 11 2 14 16 8 17 10 9 23 1 13 9 10 3 8 5 17 6 11 2 15 14 7 16 4 12 24 3 10 2 4 5 7 9 16 6 11 1 14 15 13 17 8 12 25 7 1 4 14 9 5 8 12 3 6 2 11 13 17 16 10 15 26 15 5 4 11 8 6 13 16 10 2 1 12 9 14 17 7 3 27 4 5 13 15 2 3 10 16 9 8 1 14 7 12 17 6 11 28 15 9 8 16 6 4 12 5 2 11 1 14 13 7 17 3 10 5.1.3 基于灰色关联分析的综合评价模型 根据17个观测点的28个评价值，给出这28个月以来各观测点水质的综合评价指标值，从而分析各观测点的污染情况. （1）综合评价模型的建立.灰色关联分析方法的基本思想是：将评价问题转化为求关联度，即按照一定的准则定义出母序列，计算各个子序列与母序列的关联度，再加以比较得到综合评价结果. 步骤1 选定母序列和比较序列. 定义评价值矩阵H，其中的元素h 表示第j（j=1,2，…，17）个观测点在第i（i=1,2，…，28）个月的评价值（如表16-1）. 母序列：令h = { h }，由h （i=1,2，…，28）构成母序列，则此母序列是最理想的评价值序列. 子序列（比较序列）：由h ,h , …,h （i=1,2，…，28）分别构成17个比较序列. 步骤2 计算关联度. 在子序列中，每个数值与母序列中相应数值的关联系数可由以下公式算出： v （i）= ，j=1,2，…，17， 其中a= { （i）}，b= { （i）}， =0.5， （i）=|h -h |， i=1,2，…，28；j=1,2，…，17. 对关联系数取均值就能得到相应的关联度为 u = ，j=1,2，…，17. 关联度表示各观测站评价值序列和最理想评价值序列相关联的程度，其数值越大，表示其观测站的水质情况越好. （2）综合评价模型的求解，利用MATLAB编程计算各关联系数和关联度，可以得到17个观测点水质的综合评价值及排名如表16-3所示. 表16-3 各观测点的综合评价值及排名 观测点 A B C D E F G H I J K L M N O P Q 综合评判值／（ 10 ) 797 850 780 668 790 755 741 533 773 667 925 663 632 685 423 682 725 排名 3 2 5 12 4 7 8 16 6 13 1 14 15 10 17 11 9 由表16-3中的综合评价值和综合排名结果知,湖北丹江口胡家岭的水质情况最好，而江西南昌滁槎的水质情况最差. 5.2 问题（2）的模型建立与求解 依据问题分析可知，由一个月中第n段河道（如图16-3）中的排污量、段首观测站污染物浓度和段尾观测站污染物浓度的关系，列出其方程，求出该江段内排污源的排污量，然后比较13个月内各段污染物的排放总量，从而得到长江干流中主要污染源的位置. B C L C 图16-3 第n段河道的示意图 5.2.1 确定污染物排放量模型的建立 （1）确定江段内的水流速度.对于每一江段内的水流速度，取前后两个观测站水流速度观测值的均值，如第n段得水流速度为 ，n=1,2，…，6. （2）段首观测站上游所有污染源对段尾观测站的影响.段首观测站的污染物浓度观测值集中体现了该段上游多有污染源的作用，可将其等效为一稳定连续的污染点源，根据模型准备中的一维水质模型（16.1），可得段首观测站上游所有污染源对段尾观测站的影响值C ，即C =C exp{- }，n=1,2，…，6. （16.4） （3）段内污染源对段尾观测站的影响.首先，等效污染点的浓度值等于单位时间排污量与水流量的比值，即 ，n=1,2，…，6. 其次，根据一维水质模型（16.4），可得段内污染源对段尾观测站的影响值为C ，即 C = exp{- }，n=1,2，…，6. （16.5） （4）列方程求解污染源排放量B .由质量守恒原理可以知道，一个观测站单位时间内流入的污染物总量等于单位时间内流出的污染物总量，则单位时间内流过该观测站的污染物的总量等于水流量与污染物浓度的乘积.于是可得 C V =C V +C V ，n=1,2，…，6， 即 C =C +C ，n=1,2，…，6. （16.6） 将（16.4）~（16.6）式联立得到 B = . （16.7） 5.2.2 污染物排放量模型的求解 将题目附件3中所给出的数据代入（16.7）式，求出每个月中各河段河道污染源的排放量，如表16-4所示.最后，综合得到13个月内各江段河道污染物的排放总量，如表16-5所示. 表16-4 每个月中各河段河道污染源的排放量（单位：kg） 月份 河段 排污量 1 2 3 4 5 6 1 高锰酸盐 204.59 1121.4 7314.6 10880 10660 6784.9 氨氮 11.801 146.37 575.39 1013.3 790.1 89.274 2 高锰酸盐 20 1898.2 7462.6 8714.9 11889 9406.3 氨氮 19.887 188.12 663.13 618.06 929.05 469.64 3 高锰酸盐 156.82 1543.4 3140.2 3358.9 2575 4394.7 氨氮 14.016 141.51 314.74 191.24 276.41 129.74 4 高锰酸盐 204.48 1174.3 3131.3 3039.2 2357.1 3354 氨氮 15.621 57.999 273.08 184.9 308．94 89.768 5 高锰酸盐 51.86 1109.9 3507.8 3163.9 2675.6 3268.7 氨氮 20.994 66.175 291.16 332.02 224.13 93.712 6 高锰酸盐 102.49 1492.1 4633.3 2965.4 1851 3102.5 氨氮 21.478 171.63 354.07 407.91 151.49 94.449 7 高锰酸盐 117.05 1248 2049.8 1779.3 2455.2 3082.1 氨氮 18.283 71.918 214.71 177.71 197.89 61.713 8 高锰酸盐 46.901 779.87 4349.1 5841.6 7783 9714.3 氨氮 12.538 98.164 602.24 583.95 424.26 269.73 9 高锰酸盐 28.507 947.23 4689.1 5841.6 7783 9714.3 氨氮 19.945 58.683 415.42 396.2 670.06 664.83 10 高锰酸盐 27.121 721.45 14525 12795 18816 26657 氨氮 14.885 80.793 1196.1 1119.6 1447.4 2345.8 11 高锰酸盐 50.309 1909.8 10833 15827 20213 26453 氨氮 16.284 170.66 1455.8 663.58 1347.6 3565.5 12 高锰酸盐 72.531 2918.5 13580 6840.2 16900 17702 氨氮 21.089 262.97 1391.2 417.9 1439.7 196.41 13 高锰酸盐 49．379 1883.1 20117 14836 16213 21770 氨氮 17.432 99.229 2913.5 1038.4 1057.4 2902.9 表16-5 各江段河道污染物的排放总量（单位：kg） 江段 1 2 3 4 5 6 高锰酸盐总排污量 1130 18700 99400 97600 149000 122000 氨氮总排污量 224 1610 11000 7140 9260 10700 进行比较后，得到长江干流河道中高锰酸盐污染源主分布在第5河段（江西九江-安徽安庆），氨氮的污染源主要分布在第3河段（湖北宜昌-湖南岳阳）. 5.3 问题（3）的模型建立与求解 根据问题的分析，可以将河道中Ⅳ类、Ⅴ类和劣Ⅴ类（不可饮用）水的总含量来刻画长江水质情况，对题目附件4中的数据统计后，得到过去10年中各种情况下废水的含量百分比的序列（见附表16-2），而且不难发现其序列有明显的增长趋势，以全流域在枯水期中废水含量百分比为例，即 X ={X （1），X （2），…，X （10）} ={6.9,17.2,32.7,14.3,23，26.8,28.7,32.4,27.5,32.2}. 将序列X 分解为Y 和Z ，其中Y 反映X 的确定性增长趋势，Z 反映X 的平稳随机变化趋势. 5.3.1 利用GM（1，1）模型对X 序列的确定性增长趋势进行预测 对于已知的数据参考序列X 进行一次累加（AGO）为 X （k）= .k=1,2, …，10， 从而得到一组生成序列 X ={ X （1），X （2），…，X （10）}. 相应的白化微分方程为 =u， 引入记号 = ,y = ,B= . 利用最小二乘法求解得到 =（a,u） = . 于是，求解微分方程得 =（X （1）- ）e + . 利用MATLAB编程进行求解得到a=-0.055031，u=19.776.由此可以得到X 序列的确定性增长趋势Y （如图16-4所示）. 图不会画 由原始序列X 容易计算出前10年中所包含的确定性增长趋势的数值为 Y ={ Y （1），Y （2），…，Y （10）}={6,.9,20.721,21.893,23.132,24.44, 25.823,27.284,28.827,30.458,32.181}. 为此，相应地预测未来10年（11~20）确定性增长趋势的数值为 Y ={ Y （11），Y （12），…，Y （20）}={34.002,35.926,37.958,40.105,42.374 44.772, 47.304, 49.981, 52.808, 55.796}. 5.3.2 利用时间序列分析法对序列X 的平稳随机变化趋势进行预测 从原始序列X 中消除确定性增长的趋势Y 的影响，就能得带平稳随机变化的趋势，即相应的过去10年的平稳随机序列为 {Z （1），…，Z （10）}={ X （1），…，X （10）}-{ Y （1）…，Y （10）}.（16.8） 对于此平稳随机变化趋势如图16-5所示，利用时间序列分析法中的ARMA模型对未来10年的变化趋势进行预测. 将此序列（16.8）式作为样本，分别求样本自相关函数 和偏相关函数 ，其图形如图16-6所示. （3）在问题（3）中，考虑到污染指标的变化包括确定性增长趋势和平稳随机性变化，分别采用灰色预测和时间序列分析两种方法进行预测，而且是对三类不可饮用水的比例总和进行的预测，处理方法合理，结果符合实际。 （4）总体来讲，该篇论文考虑问题全面，使用方法得当，模型合理，数据可靠，结果正确。 第17页的图 根据 ^k拖尾， ^kk结尾，则可选择自回归模型AR（p），并通过截尾性的判断，确定出阶数p=5.利用MATLAB中函数AR进行预报，得到随机变化趋势Z的预测值。其变化趋势如图16-7所示。 最后，综合确定性增长趋势Y0的预测值和平稳随机变化趋势Z0的预测值，得到X0序列的预测值，即未来10年的增长趋势变化值为 X/0={X0(11),X0(12),…，X0(20)}={32.086,32.535,39.772,40.709,42.37,44.772,47.304,49.981,52.808,55.796}. 第18页图形 将过去10年的实际数据与预测数据比较结果如图16-8所示，可以看出增长变化基本吻合。 同理，可以得到未来10年中各流域和各水期情况下的不可饮用水含量的百分比预测值（如表16-6所示）。 表16-6 未来10年中各种情况下废水百分比的预测值 水期 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2012年 2013年 2014年 2015年 全流域 枯水期 34.00 35.93 37.96 40.11 42.37 44.77 47.30 49.98 52.81 55.80 丰水期 34.73 43.63 50.19 52.94 53.87 50.36 59.54 60.90 61.62 64.86 水文年 34.41 36.09 38.11 40.34 44.79 48.57 53.76 57.3 62.24 67.60 干流域 枯水期 35.50 36.33 37.21 39.22 46.16 43.07 46.03 53.26 55.58 63.93 丰水期 46.31 42.47 45.17 51.05 56.75 58.63 63.44 66.39 69.41 64.83 水文年 30.67 36.45 47.96 47.90 55.32 56.00 58.21 62.38 68.84 67.93 支流域 枯水期 26.81 26.71 28.61 25.91 28.28 27.51 27.41 27.30 27.20 27.10 丰水期 32.42 38.06 37.77 34.17 39.90 43.10 45.62 48.29 51.11 54.10 水文年 30.13 24.16 34.48 30.23 28.57 31.76 32.58 33.42 34.29 35.17 5.3.3 分析长江未来水质污染的发展趋势 根据预测值分析可知，若不采取任何治理措施，在十年后，长江的非饮用水（IV类、V类和劣V 类水）的含量在一年中的大多数情况下都将超过50%，而且其比例还在逐年增加。正如专家给出的预测：“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃。” 5.4问题（4）的模型建立于求解 5.4.1污水百分比于总流量和排放总量的关系 根据问题的分析可知，一年内污水百分比不仅和废水排放总量有关，而且也与长江的水总流量有关系，并且在小范围内呈线性关系。 （1）建立二元线性回归模型.设第κ年的废水排放总量为m(k),水总流量为v(k),则第k年的污水的百分比p(k)与它们之间的关系为 其中ε为随机误差，且服从于N（0，σ ）。 将题目附件3中给出的前10年内的数据作为观测值，利用最小二乘法对回归系数做出估计得 （2）回归模型的求解。在此问题中，以一年中所有检测数据的平均值来刻画出整体的情况（即水文年中的数据），利用MATLAB编程可分别求得一年内干流中Ⅳ、Ⅴ类水百分比之和P1与总水流量V和总排污量m的函数关系为 P1=- 一年内干流中Ⅳ、Ⅴ与Ⅴ类水的百分比之和P2与总水流量V和总排污量m的函数关系式为 P2=-0.0029283V+0.2059m. 在实际中，长江水总流量的变化并不太大，而也没有明显的规律，同时注意到以上两个函数中水总流量V对应的系数也较小，那么由水总流量的变化所带来的影响也不会太大。所以，在这里可以取前10年水总流量的平均值来代替未来的各年的水总流量，即取V=9894,1亿m3，于是可以得到以下简化的模型如下： P1=0.15497m-20.1926， P2=0.2059m-28.9728. 5.4.2 在满足函数关系约束下废水排放量的极限值 依题意可知，要使各类水的比例控制在一定范围内，废水排放量也应该有一定的限制，要求一年内干流中Ⅳ、Ⅴ类水百分比之和要小于20%，即 P1=0.15497m-20.1919≤0.2. 还要求一年内干流中Ⅴ类水百分比要不大于0.那么Ⅳ、Ⅴ、Ⅴ类水百分比之和应该小于等于Ⅳ、Ⅴ类水百分比之和，即 P2≤P1 取两种约束范围的交集，就可以得到废水排放量的极限值为mmax=131.59亿t. 5.4.3 未来10年内废水排放量的预测值 根据近10年来废水排放总量，利用GM（1,1）模型对其进行预测，很容易得到未来10年内污水排放总量的预测值为 m’={m（11），m（12）,…，m（20）}={303.01,322.52,343.29,365.39,388.92,413.96,440.61,468.98,499.18,531.32}. 5.4.4 未来10年内的污水处理量的预测值 根据5.4.2和5.4.3两节的结果，可以得到未来10年内污水处理量的预测值为 m（k+10）=m（k+10）-mmax，k=1,2，…，10. 即未来在保证满足题目要求的条件下，需要处理的污水量分别为 {171.42,190.93,211.7,233.8,257.33,282.37，309.02,337.39,367.59,399.73},单位为亿t. 5.5 问题（5）的解答 建议与意见 长江作为世界第三大河流，若不及时拯救，其生态系统将在10年内崩溃。 当然，要治理污染就要先找到引起污染的原因，由上面对问题（2）和问题（3）所建立的数学模型可知，排污源是引起污染的根本原因，所以要治理长江水的污染就要标本兼治，对一些排污工厂加大管理力度，污染对治理污染很重要，但如果仅靠提高治污能力，是赶不上污染破坏的速度的，具体措施和建议： （1）为保护长江立法，制定促进循环经济发展的策略与法律法规，鼓励沿江的绿色环保型产业发展，对排污小的工厂进行治理，关闭整顿排污量大的工厂。 （2）建立高效的政府管理系统，对环保部门增加经费，研究治理技术，邀请专家分析治理方向，给出治理措施，还要研究污染检测技术，引进国外先进技术，办绿色党校，在各级干部培训机构设环保课，增强干部环保观念，并把环保作为考核干部指标之一，对给非法排污的企业开后门的干部严肃处理。 （3）加大宣传，让百姓认识到长江的污染现状，注意教育，开设环保教育课，发起爱护长江的决心书，号召全社会尤其是年轻人在爱护长江的决心书上签字。 （4）号召全社会保护植被，在长江沿岸增加植树种草，退耕还林还草，疏通河道，多建污水处理长，邀请民间企业家座谈与投资环保。 （5）将强沿岸农业环保，用可降解无污害的塑料大棚，回收有危害的塑料大棚，建立桑基渔田等好的生态农业结构，少用工业化肥，使用无公害的农药。 因此，管理治理污染是一个长远的涉及多方面的问题，应该统筹兼顾，着眼未来，可以说治理管理长江“功在当代，立在当秋”。 6.模型的评价 6.1 模型的优点 （1）在解决问题（1）中，用逼近理想解的方法，建立了综合评判模型，模型中用到了“动态加权”，通过构造“S”形函数，对水质的类别进行了量化，这样就可以把水质类别的差异较好的表现出来，特别是当水质从Ⅲ类水变化到Ⅳ类水时，水质发生了质的变化，即从饮用水变化到污染水（不可饮用水），据此就可以得到一个突出类别差异的权重矩阵。 （2）在解决问题（3）中，首先利用灰色预测方法，对三类污染物的百分比总和的走势进行了初步预测；在此基础上，对灰色预测的残差即序列的随机性，利用时间序列法进行了分析预测，最后综合两部分得到结果，与实际结果进行比较是非常理性的。 （3）在解决问题（4）中，把污染物的处理量转化为求预测值减去在约束条件下的污染物的排放量的级限制，方法比较简单明了。 6.2模型的缺点 在问题（4）中考虑每年处理得污水量时，只用到了Ⅳ、Ⅴ、Ⅴ类水质的百分比，而把污染物含量较小的前三类水忽略了，虽然反应了问题的本质，但这样会对具体的数值结果造成一定的偏差。 参考文献 [1]郑彤等，环境系统数学型，北京：化学工业出版社，2003. [2]岳超源，决策理论与方法，北京：科学出版社，2003. [3]韩中庚，数学建模方法及其应用，北京：高等教育出版社，2005. [4]张树京，时间序列分析简明教程，北京：清华大学出版社，2003. 简要点评 该篇论文是获全国大学生数学建模竞赛一等奖的论文，所研究的问题是2005年竞赛的A题，此论文被全国竞赛组委会选为优秀论文简要发表于《工程数学学报》2005年第七期上，论文首先利用逼近理想点的排序法和灰色关联度的分析方法，对长江的水质状况作出了综合评价，再借助于稳态条件下的一维水质模型和质量守恒定律得到了主要污染指标的分布区域，然后结合灰色理论和时间序列分析方法，对未来十年里长江的水污染状况作出了预测，最后建立了线性回归模型，计算出满足约束条件下每年所需处理的污水量，较完美地解决了这个问题。 论文首先考虑到水质类别差异对综合评价指标权值的影响，构造“S”形的动态加权函数，对属于不同水质类别的同种污染指标进行“动态加权”。然后建立了基于逼近理想点排序法的评价模型，得到了长江沿岸各观测站中的最小评价值作为母序列，用灰色关联度的方法计算各观测站的评价值序列与母序列的关联度，根据关联度的大小，给出观测站的综合污染程度值并进行排序，针对确定长江干流主要污染源的问题，根据一维水质模型，利用每段河道中段首观测站浓度的观测值，计算每段的上游河道对此段段末观测站浓度的影响值，再将本段内所有污染源都等效为一个段中央的连续稳定源，计算出其对此段段末观测站浓度的影响值，根据质量守恒定律列出方程，计算出了各段内每个月的排污量，经综合比较得到主要的污染源，针对问题（3），用每年Ⅳ、Ⅴ、Ⅴ类这些污染水（不可引用水）的百分比之和来刻画水质状况，将此序列的变化趋势分解为确定性增长趋势和平稳随机变化，分别利用灰色预测模型的预测值相加得到百分比序列的预测值，问题（4）一个水污染的控制问题，降长江总流量和废水排放总量作为自变量，Ⅳ类、Ⅴ类水的百分比之和以及Ⅳ、Ⅴ、Ⅴ类水的百分比之和分别作为因变量，建立线性回归模型，利用此模型，计算在满足约束条件下排污量的极限值，用灰色预测模型对废水排放总量进行预测，用排污量的预测值减去极限值，得到未来十年的污水处理量。 该篇论文之所以获得全国一等奖，并被评为优秀论文，主要是有以下几点： （1）在问题（1）中，综合考虑了各相关因素，并构造出了“S”形动态加权函数和综合评价指标，给出了各观测点的水质评价结果。 （2）在问题（2）中，通过一维水质模型，并考虑到个江段中排污源的作用，确定出了长江干流的主要污染源。