当兵考军校军队复习资料（简单的三角恒等变换）

北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导 第三章 三角恒等变换  3．2  简单的三角恒等变换 练习 飞向蓝天的恐龙练习非连续性文本练习把字句和被字句的转换练习呼风唤雨的世纪练习呼风唤雨的世纪课后练习 （155页）  1．求证：  sin 1 cos tan  2 1 cos sin a a a a a - = = + ．  1．证明：∵  2 2  2sin cos 2sin cos sin sin  2 2 2 2 2  tan  1 cos 2 1 2cos 1 2cos cos  2 2 2 a a a a a a a a a a a = = = = + + - ， ∴  sin tan  2 1 cos a a a = + ； 而  2 2 sin 1 cos (1 cos )(1 cos ) a a a a = - = - + ， 得  sin 1 cos  1 cos sin a a a a - = + ， 即  sin 1 cos tan  2 1 cos sin a a a a a - = = + ．  2．求证： （1）  1 cos sin [sin( ) sin( )]  2 a b a b a b × = + - - ； （2）  1 cos cos [cos( ) cos( )]  2 a b a b a b × = + + - ； （3）  1 sin sin [cos( ) cos( )]  2 a b a b a b × = - + - - ．  2．证明：（1）∵sin( ) sin( ) a b a b + - -  sin cos cos sin (sin cos cos sin ) a b a b a b a b = + - -  2cos sin a b = ， 即sin( ) sin( ) 2cos sin a b a b a b + - - = ， ∴  1 cos sin [sin( ) sin( )]  2 a b a b a b × = + - - ； （2）∵cos( ) cos( ) a b a b + + -  cos cos sin sin cos cos sin sin a b a b a b a b = - + +  2cos cos a b = ， 即cos( ) cos( ) 2cos cos a b a b a b + + - = ， 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导 ∴  1 cos cos [cos( ) cos( )]  2 a b a b a b × = + + - ； （3）∵cos( ) cos( ) a b a b + - -  cos cos sin sin (cos cos sin sin ) a b a b a b a b = - - +  2sin sin a b = - ， ∴  1 sin sin [cos( ) cos( )]  2 a b a b a b × = - + - - ．  3．求证： （1）sin sin 2cos sin  2 2 q j q j q j + - - = ； （2）cos cos 2cos cos  2 2 q j q j q j + - + = ； （3）cos cos 2sin sin  2 2 q j q j q j + - - = - ．  3．证明：（1）由  1 cos sin [sin( ) sin( )]  2 a b a b a b × = + - - ， 得sin( ) sin( ) 2cos sin a b a b a b + - - = × ， 令  , a b q a b j + = - = ，则  ,  2 2 q j q j a b + - = = ， 即sin sin 2cos sin  2 2 q j q j q j + - - = ； （2）由  1 cos cos [cos( ) cos( )]  2 a b a b a b × = + + - ， 得cos( ) cos( ) 2cos cos a b a b a b + + - = × ， 令  , a b q a b j + = - = ，则  ,  2 2 q j q j a b + - = = ， 得cos cos 2cos cos  2 2 q j q j q j + - + = ； （3）由  1 sin sin [cos( ) cos( )]  2 a b a b a b × = - + - - ， 得cos( ) cos( ) 2sin sin a b a b a b + - - = - × ， 令  , a b q a b j + = - = ，则  ,  2 2 q j q j a b + - = = ， 得cos cos 2sin sin  2 2 q j q j q j + - - = - ．  4．求下列函数的最小正周期，递增区间及最大值： （1）  sin 2 cos 2 y x x = ； 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导 （2）  2 2cos 1  2  x  y = + ； （3）  3 cos 4 sin 4 y x x = + ．  4．解：（1）  1 sin 2 cos 2 sin 4  2  y x x x = = ， 最小正周期：  2  4 2  T p p = = ，即最小正周期  2  T p = ； 递增区间：  2 4 2 , ( )  2 2  k x k k Z p p p p - + £ £ + Î ， 得  , ( )  8 2 8 2  k k  x k Z p p p p - + £ £ + Î ， 得递增区间为[ , ] ( )  8 2 8 2  k k  k Z p p p p - + + Î ； 由sin 4 1 x £ ，得  1 1  sin 4  2 2  y x = £ ，即最大值为 1  2  ． （2）  2 2 2cos 1 2cos 1 2 cos 2  2 2  x x  y x = + = - + = + ， 最小正周期：  2 T p = ， 递增区间：2 2 , ( ) k x k k Z p p p £ £ + Î ， 得递增区间为[2 , 2 ] ( ) k k k Z p p p + Î ， 由cos 1 x £ ，得  cos 2 3 y x = + £ ，即最大值为3． （3）  3 1  3 cos4 sin 4 2( cos 4 sin 4 ) 2sin(4 )  2 2 3  y x x x x x p = + = + = + 最小正周期：  2  4 2  T p p = = ， 递增区间：  2 4 2 , ( )  2 3 2  k x k k Z p p p p p - + £ + £ + Î ， 得  5  , ( )  24 2 24 2  k k  x k Z p p p p - + £ £ + Î ， 即递增区间为  5 [ , ] ( )  24 2 24 2  k k  k Z p p p p - + + Î ， 由sin(4 ) 1  3  x p + £ ，得 2sin(4 ) 2  3  x p + £ ， 得最大值为2． 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导 习 题 快递公司问题件快递公司问题件货款处理关于圆的周长面积重点题型关于解方程组的题及答案关于南海问题  3．2（156­157 页）  A 组  1．求证： （1）  2 (sin 2 cos 2 ) 1 sin 4 a a a - = - ； （2）  1 2 tan  2 tan tan  2 q q q - = - ； （3） tan( ) tan( ) 2 tan  2 4 2 4  x x  x p p + + - = ； （4）  1 sin 2  cos sin  cos sin j j j j j + = + + ； （5）  2 2  1 2sin cos 1 tan  cos sin 1 tan a a a a a a - - = - + ； （6）  2 1 cos2 2sin 2 q q + + = ； （7）  2 1 cos 2  tan  1 cos 2 q q q - = + ； （8） 1 sin 2 cos 2  tan  1 sin 2 cos 2 q q q q q + - = + + ．  1．证明：（1）∵  2 2 2 2 (sin 2 cos2 ) sin 2 2sin 2 cos2 cos 2 a a a a a a - = - +  1 2sin 2 cos 2 a a = -  1 sin 4a = - ， ∴  2 (sin 2 cos 2 ) 1 sin 4 a a a - = - ； （2）∵  2 2 tan tan 1 1 1 2 2 tan  2  tan tan tan tan  2 2 2 2 q q q q q q q - - = - =  2 2 tan 1 1 tan  2 2 2 2  2 tan 2 tan  2 2 q q q q - - = ´ = - ´  2  1 2  2  tan 2 tan  2  1 tan  2 q q q = - ´ = - - ， 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导 ∴  1 2 tan  2 tan tan  2 q q q - = - ； （3）∵  tan 1 tan 1  2 2 tan( ) tan( )  2 4 2 4  1 tan 1 tan  2 2  x x  x x  x x p p + - + + - = + - +  2 2  2  (tan 1) (tan 1)  2 2  1 tan  2  x x  x + - - = -  2  4 tan  2  2 tan  1 tan  2  x  x  x = = - ， ∴ tan( ) tan( ) 2 tan  2 4 2 4  x x  x p p + + - = ； （4）∵  2 2 1 sin 2 cos sin 2sin cos  cos sin cos sin j j j j j j j j j + + + = + +  2 (cos sin )  cos sin  cos sin j j j j j j + = = + + ， ∴  1 sin 2  cos sin  cos sin j j j j j + = + + ； （5）∵  2 2  2 2 2 2  1 2sin cos cos sin 2sin cos  cos sin cos sin a a a a a a a a a a - + - = - -  2  2 2  (cos sin ) cos sin  cos sin cos sin a a a a a a a a - - = = - +  sin  1  1 tan cos  sin  1 tan 1  cos a a a a a a - - = = + + ， ∴  2 2  1 2sin cos 1 tan  cos sin 1 tan a a a a a a - - = - + ； （6）∵  2 2 2 1 cos2 2sin 1 2cos 1 2sin q q q q + + = + - +  2 2 2cos 2sin 2 q q = + = ， ∴  2 1 cos2 2sin 2 q q + + = ； 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导 （7）∵  2 2  2  2 2  1 cos 2 1 (1 2sin ) 2sin  tan  1 cos2 1 (2cos 1) 2cos q q q q q q q - - - = = = + + - ， ∴  2 1 cos 2  tan  1 cos 2 q q q - = + ； （8）∵  2  2  1 sin 2 cos 2 sin 2 2sin  1 sin 2 cos2 sin 2 2cos q q q q q q q q + - + = + + +  2  2  2sin cos 2sin  2sin cos 2cos q q q q q q + = +  2sin (cos sin )  tan  2cos (cos sin ) q q q q q q q + = = + ， ∴ 1 sin 2 cos 2  tan  1 sin 2 cos 2 q q q q q + - = + + ．  2．已知  1 sin( )  2 a b + = ，  1 sin( )  3 a b - = ； （1）求证：sin cos 5cos sin a b a b = ； （2）求证： tan 5 tan a b = ．  2．证明：（1）由  1 sin( )  2 a b + = ，得  1 sin cos cos sin  2 a b a b + = ， 由  1 sin( )  3 a b - = ，得  1 sin cos cos sin  3 a b a b - = ， 两式相加得：  5 sin cos  12 a b = ， 两式相减得：  1 cos sin  12 a b = ， 所以sin cos 5cos sin a b a b = ； （2）由（1）得sin cos 5cos sin a b a b = ， 即  sin cos 5cos sin  cos cos cos cos a b a b a b a b = ， 所以 tan 5 tan a b = ．  3．已知 1 tan  1  2 tan q q - = + ，求证： tan 2 4 tan( ) 4 p q q = - + ．  3．证明：由 1 tan  1  2 tan q q - = + ，得1 tan 2 tan q q - = + ，即  1  tan  2 q = - ， 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导 而  2  2 tan 1 4  tan 2  1 1 tan 3 1  4 q q q - = = = - - - ，  1  1 tan 4 2 4 tan( ) 4 4  3 4 1 tan 3  2 p q q q + - + = - ´ = - ´ = - - ， 所以 tan 2 4 tan( ) 4 p q q = - + ．  4．已知  2 sin( ) 4  x y p q + = + ，  2 sin( ) 4  x y p q - = - ，求证：  2 2  1 x y + = ．  4．证明：由  2 sin( ) 4  x y p q + = + ，得  sin cos x y q q + = + ； 由  2 sin( ) 4  x y p q - = - ，得  sin cos x y q q - = - ， 得  sin , cos x y q q = = ， 所以  2 2  1 x y + = ．  5．求函数  ( ) sin( 4 ) cos(4 )  3 6  f x x x p p = + + - 的最小正周期和递减区间．  5．解：  ( ) sin( 4 ) cos(4 )  3 6  f x x x p p = + + -  sin cos 4 cos sin 4 cos 4 cos sin 4 sin  3 3 6 6  x x x x p p p p = + + +  sin 4 3 cos 4 x x = +  2(sin 4 cos cos 4 sin )  3 3  x x p p = +  2sin(4 ) 3  x p = + ， 最小正周期  2  4 2  T p p = = ， 递减区间：  3 2 4 2 , ( )  2 3 2  k x k k Z p p p p p + £ + £ + Î ， 即  7  , ( )  24 2 24 2  k k  x k Z p p p p + £ £ + Î ， 得递减区间  7 [ , ] ( )  24 2 24 2  k k  k Z p p p p + + Î ． 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导  B 组  1．求证： （1）  4 3 cos 4 4cos 2 8sin a a a + - = ； （2）  2 2 tan tan 2  3(sin cos ) 2sin(2 )  tan 2 tan 3 a a p a a a a a + - = - - ．  1．证明：（1）∵  2 3 cos 4 4cos 2 3 2cos 2 1 4cos2 a a a a + - = + - -  2 2(cos 2 2cos2 1) a a = - +  2 2(cos 2 1) a = -  2 2 2(2sin ) a =  4 8sin a = ， ∴  4 3 cos 4 4cos 2 8sin a a a + - = ； （2）∵  2 2 tan tan 2  3(sin cos )  tan 2 tan a a a a a a + - -  tan tan 2 cos cos 2  3 cos2  (tan 2 tan ) cos cos 2 a a a a a a a a a = - -  sin sin 2  3 cos 2  sin 2 cos sin cos 2 a a a a a a a = - -  sin sin 2  3 cos 2  sin a a a a = -  sin 2 3 cos 2 a a = -  2(sin 2 cos cos 2 sin )  3 3 p p a a = -  2sin(2 ) 3 p a = - ， ∴  2 2 tan tan 2  3(sin cos ) 2sin(2 )  tan 2 tan 3 a a p a a a a a + - = - - ．  2．若sin 76  m = o ，试用含m的式子 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 示cos7 o ．  2．解：由sin 76  m = o ，得cos14  m = o ， 即  2 2cos 7 1  m - = o ，得  2  1 cos 7  2  m + = o ， 而cos7 0 > o ，即  1  cos7  2  m + = o ． 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导  3．是否存在锐角a ，b ，使  2 2  3 p a b + = ， tan tan 2 3  2 a b = - 同时成立？若存在， 求出a 、b 的度数；若不存在，请说明理由．  3．解：假设存在这样的锐角a ，b ， 由  2 2  3 p a b + = ，得  2 3 a p b + = ， 则  tan tan  2 tan( ) 3  2  1 tan tan  2 a b a b a b + + = = - ，而 tan tan 2 3  2 a b = - ， 得 tan tan 3 3  2 a b + = - ，再联合 tan tan 2 3  2 a b = - ， 可以把 tan , tan  2 a b 看作方程  2  (3 3) 2 3 0 x x - + + - = 的两个解， 而 ( 1)( 2 3) 0 x x - - + = ，而若 tan 1  2 a = ，则与锐角a 矛盾， 所以 tan 2 3, tan 1  2 a b = - = ， 即  2  2 tan  3 2 tan  3 1 tan  2 a a a = = - ， 得  3  tan , tan 1  3 a b = = ，而a ，b 为锐角， 则  , 6 4 p p a b = = ．  4．你能利用右图，给出下列两个等式的一个证明吗？  1  (sin sin ) sin cos  2 2 2 a b a b a b + - + = × ；  1  (cos cos ) cos cos  2 2 2 a b a b a b + - + = × ． 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导  4．解：线段 AB 的中点M 的坐标为  1 1 ( (cos cos ), (sin sin ))  2 2 a b a b + + ， 过M 作  1 MM  垂直于 x轴，交 x轴于  1 M  ，  1  1 1  ( ) ( )  2 2  MOM b a a a b Ð = - + = + ， 在Rt OMA D 中，  cos cos  2 2  OM OA b a a b - - = = ， 在  1 Rt OM M D 中，  1 1 cos cos cos 2 2  OM OM MOM a b a b + - = Ð = ，  1 1 sin sin sin 2 2  M M OM MOM a b a b + - = Ð = ， 所以 1 (sin sin ) sin cos  2 2 2 a b a b a b + - + = × ；  1  (cos cos ) cos cos  2 2 2 a b a b a b + - + = × ．  5．设  ( ) sin cos x x f a a a = + ，  { | 2 , } x n n k k N + Î = Î ．利用三角变换，估计  ( ) f a 在  2,4,6 x = 时的取值情况，进而对 x取一般值时  ( ) f a 的取值范围作出一个猜想．  5．解：当  2 x = 时，  2 2 ( ) sin cos 1 f a a a = + = ； 当  4 x = 时，  4 4 2 2 2 2 2 ( ) sin cos (sin cos ) 2sin cos f a a a a a a a = + = + -  2 2 2 1 1 2sin cos 1 sin 2  2 a a a = - = - ，即 1  ( ) 1  2  f a £ £ ； 当  6 x = 时，  6 6 2 2 3 2 2 2 2 ( ) sin cos (sin cos ) 3sin cos (sin cos ) f a a a a a a a a a = + = + - + ， 北京崔爱功军考教学团队版权所有，全国唯一，专攻军考，资料精良，系统辅导  2 2 2 3 1 3sin cos 1 sin 2  4 a a a = - = - ，即 1  ( ) 1  4  f a £ £ ， 猜测当  * 2 , x k k N = Î 时，  1  1  ( ) 1  2 k  f a - £ £ ．  6． （1）求函数  3sin 4cos y x x = + 的最大值与最小值． （2）你能用  , a b表示函数  sin cos y a x b x = + 的最大值和最小值吗？  6．解：（1）  3 4 3sin 4cos 5( sin cos ) 5sin( )  5 5  y x x x x x j = + = + = + ， 其中  3 4 cos ,sin  5 5 j j = = ， 而  1 sin( ) 1 x j - £ + £ ，得  5 5 y - £ £ ， 所以 y 的最大值为5，最小值为  5 - ． （2）  2 2  2 2 2 2  sin cos ( sin cos )  a b  y a x b x a b x x  a b a b = + = + + + + ， 即  2 2  sin( ) y a b x j = + + ，其中  2 2 2 2  cos ,sin  a b  a b a b j j = = + + ， 而  1 sin( ) 1 x j - £ + £ ，得  2 2 2 2 a b y a b - + £ £ + ， 所以 y 的最大值为  2 2 a b + ，最小值为  2 2 a b - + ．