常见连续型统计分布的一点注记

第39 卷第5 期 2009 年3 月 数学的实践与认识 MATHEMATICS IN PRACTICE AND THEORY Vol. 39　No. 5　 M arch, 2009　 常见连续型统计分布的一点注记 宗序平,　汪　磊 (扬州大学 数学科学学院, 江苏 扬州　225002) 摘要: 　正态分布是概率论与数理统计中最重要的一个分布,本文讨论了常见的连续型统计分布与 标准 excel标准偏差excel标准偏差函数exl标准差函数国标检验抽样标准表免费下载红头文件格式标准下载 正 态分布间的关系,结果 表 关于同志近三年现实表现材料材料类招标技术评分表图表与交易pdf视力表打印pdf用图表说话 pdf 明:几乎所有的常见连续型统计分布都是标准正态分布的函数. 关键词: 　统计分布;标准正态分布;连续型随机变量 收稿日期: 2008-05-24 基金项目:留学归国人员基金与江苏教育厅资助项目( FK051085) 在概率论与数理统计中,常见的连续型统计分布之间存在着紧密的内在联系, 文献[ 1] 罗列了部分常见分布,笔者在此基础上, 着重讨论了各种常见连续型分布与标准正态分布 N ( 0, 1) 之间的关系, 笔者发现: 几乎所有的常见连续型统计分布都是标准正态分布的函 数,这样的结论给统计应用特别是系统仿真提供了方便. 设随机变量 X 的密度函数为 f X ( x ) = �� (�) x �- 1exp{ - �x } , x > 0 则称X 服从参数为 �, �的 分布,记作 X ～ (�, �) . 定理1　随机变量 X 服从 分布 (�, �) (�= n/ 2, n为正整数) 的充分必要条件为 2�X = ∑n i= 1 X 2 i 其中X 1, X 2, ⋯, X n独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) . 对于上述定理由于X ～ ( �, �) ,令Y = 2�X ,容易导出: Y ～ 12 , � , 当 �= n/ 2时, 1 2 , n 2 = ! 2( n) ( n为正整数) , 结合自由度为 n 的 !2 ( n) 分布定义(参见[ 2] p123) : X 1 , X 2 ,⋯, X n独立同服从 N ( 0, 1) 分布时, 2�X = ∑n i= 1 X 2 i . 详细证明可参考文献[ 4] . 定理2　随机变量 X 服从指数分布 Exp(�, ∀) (�> 0) 的充分必要条件为 2�( X - ∀) = X 21 + X 22 其中X 1, X 2独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) . 因为 X ～ Exp(�, ∀) , 则根据文献[ 1]得: X - ∀～ Exp(�) = (�, 1) , 由定理 1知: 2�( X - ∀) = X 21 + X 22, 其中 X 1 , X 2 独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) . 定理3　随机变量 X 服从均匀分布 U ( 0, 1) 的充分必要条件为 X = exp - 1 2 ( X 21 + X 22 ) 其中X 1, X 2独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) . 证明　因为 X ～ U ( 0, 1) , 则 - 2 log X ～ Exp 1 2 = 1 2 , 1 , 由定理1知: log X = - 1 2 ( X 21 + X 22 ) ,即 X = exp - 1 2 ( X 21 + X 22) ,其中 X 1, X 2独立同服从 N ( 0, 1) . 由定理3可得如下推论: 推论1　随机变量 X ～ U ( a, b) 的充分必要条件为: X = a + ( b - a) exp - 1 2 ( X 21 + X 22 ) , 其中X 1, X 2独立同服从 N ( 0, 1) 分布. 不难证明: 推论2　 X 1 , X 2独立同服从 U ( 0, 1) , 且随机变量 ( U , V ) 满足: U = ( - 2 lo g X 1 ) 1/ 2co s( 2#X 2) V = ( - 2 log X 1) 1/ 2sin( 2#X 2 ) , 则 U , V 独立同服从标准正态分布. 定理4　随机变量 X 服从Cauchy 分布 CA (∀, ∃) 的充分必要条件为 X = ∀+ ∃ X 1 X 2 其中X 1, X 2独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) . 证明　设 X 1, X 2独立同分布于N ( 0, 1) , 则 Y = X 1 X 2 ～CA ( 0, 1) ,其中CA ( 0, 1) 为标准 的Cauchy 分布. 且 CA ( ∀, ∃) = ∀+ ∃CA ( 0, 1) , 故X = ∀+ ∃ X 1 X 2 . 定理5　随机变量 U服从Beta 分布 Beta( �1 , �2) 的充分必要条件为 U = X X + Y , 其中X ～ (�, �1) , Y ～ (�, �2) 且相互独立. 证明　令 U = X X + Y , V = X + Y , 经过随机变量函数变换, 不难得到: U～ Beta(�1 , �2) , V ～ ( �, �1 + �2 ) . 由定理5不难得到如下结论(参见[ 1] P18) : 推论3　随机变量 X 服从Beta 分布 Beta( n, m) 的充分必要条件为 X = ∑2n i= 1 X 2 i ∑2n+ 2m i= 1 X 2 i 其中X 1, X 2, ⋯, X 2n, X 2n+ 1 ,⋯, X 2n+ 2m 独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) . 定理6　随机变量 X 服从Laplace分布 L A (∀, ∃) ( ∃ > 0) 的充分必要条件为 2 �X - ∀�∃ = X 21 + X 22 其中X 1, X 2独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) . 证明　若 X ～L A ( ∀, ∃) ,则 X - ∀～ L A ( 0, ∃) ,且 �X - ∀� ～ Exp( ∃- 1) ( [ 1] P18)结 2215 期 宗序平, 等:常见连续型统计分布的一点注记 合定理2的结论易得 X 1 , X 2独立同分布于 N ( 0, 1) 时, 2 �X - ∀�∃ = X 21 + X 22 . 定理7　随机变量 X 服从对数正态分布 LN (∀, ∃2) 的充分必要条件为 log X = ∀+ ∃Y , 其中Y ～ N ( 0, 1) . 证明　由对数正态分布的性质: X ～LN (∀, ∃2 ) ,有 log X ～N (∀, ∃2 ) ,则( log X - ∀) / ∃ ～ N ( 0, 1) , 若 Y ～ N ( 0, 1) ,则 log X = ∀ + ∃Y . 定理8　随机变量 X 服从Pareto 分布 PR( �, %) (�> 0, %> 0) 的充分必要条件为 2� log X% = X 21 + X 22 其中X 1, X 2独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) . 证明　随机变量 X 服从Par eto 分布 PR (�, %) , 其概率密度函数为 f ( x ; �, %) = �%�x - ( �+ 1) I x > %, 则 log X ～ Exp(�, log %) ( [ 1] P19) ,结合定理2的结论可得: 2� log X% = X 21 + X 22. 定理9　随机变量 X 服从Weibull分布 W ( �, �) ( �> 0, �> 0) 的充分必要条件为 2�X �= X 21 + X 22 其中X 1, X 2独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) . 证明　若 X ～W (�, �) (�> 0, �> 0) , 其密度函数为: f ( x ) = �e- �x��x �- 1I ( x > 0) , 则 Y = X �～ Exp(�) , X 1, X 2独立同分布于 N ( 0, 1) 时,结合定理2的结论可得: 2�X �= X 21 + X 22 . 定理10　随机变量 X 服从极值分布 EV ( �, �) ( �> 0) 的充分必要条件为 2�e- �X = X 21 + X 22 其中X 1, X 2独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) . 证明　 X ～ EV (�, �) (�> 0) , 其密度函数为: f ( x ) = ��exp{ - �e- �x - �x } , 则 Y = e- X ～ W (�, �) , X 1, X 2独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) 时,由定理9的结论可得: 2�( e- X ) �= X 21 + X 22 ,即 2�e- �X = X 21 + X 22. 下面讨论一下Log ist ic分布,这是重要的统计分布之一, 其定义如下: 设随机变量 X 的密度函数为 f X ( x ) = 1∃ exp - x - ∀∃ 1 + exp - x - ∀∃ 2 , 则称X 服从参数为∀, ∃的Log ist ic分布,记作X ～Logistic(∀, ∃) , 标准的Log ist ic分布记为 Logistic( 0, 1) . 定理11　随机变量 X ～ Logistic( 0, 1) 的充分必要条件为: 2 log ( 1 + e - X ) = X 2 1 + X 2 2, 其中X 1, X 2独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) . 222 数　学　的　实　践　与　认　识 39 卷 证明　容易证明: U = 2 log ( 1 + e- X ) ～Exp( 1/ 2) = ( 1/ 2, 1) , 结合定理2即证得结 论. 推论4　随机变量 X 服从 Log ist ic(∀, ∃) 的充分必要条件为 X = ∀ - ∃ lo g exp 1 2 ( X 21 + X 22) - 1 , 其中X 1, X 2独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) . 再来讨论一下著名的瑞利( Rayleigh)分布,它在信号和噪声理论中很重要. 设随机变量 X 的密度函数为 f X ( x ) = x - ∀∃2 exp - 12∃2 ( x - ∀) 2 I ( x > ∀) , 则称 X 服从参数为 ∀, ∃的瑞利( Rayleigh)分布,记作 X ～ Ray (∀, ∃) , 标准的瑞利分布记为 Ray ( 0, 1) , 经过简单的计算,容易得到如下结论. 定理12　随机变量 U服从 Ray( 0, 1) 的充分必要条件为: U = X 21 + X 22 ; 其中 X 1 , X 2 独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) . 推论5　随机变量U～Ray (∀, ∃) 的充分必要条件为: U = ∀+ ∃ X 21 + X 22 ; 其中X 1 , X 2独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) . 最后讨论一下Maxw el l分布,它是统计物理中的重要分布,其定义如下:设随机变量 X 的密度函数为 f X ( x ) = 2# � ( x - ∀) 2 ∃3 exp - ( x - ∀) 2 2∃2 , 则称 X 服从参数为 ∀, ∃的Maxw ell分布, 记作 X ～Maxw ell(∀, ∃) , 标准的Maxw ell分布记 为Maxw ell( 0, 1) .容易证明如下定理. 定理13　随机变量 X ～ Maxw ell( 0, 1) 的充分必要条件为: X = X 21 + X 22 + X 23 , 其中X 1, X 2, X 3独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) . 推论6　随机变量 X 服从 Maxw ell(∀, ∃) 的充分必要条件为 X = ∀ + ∃ X 21 + X 22 + X 23 , 其中X 1, X 2, X 3独立同服从标准正态分布 N ( 0, 1) . 以上两个定理的证明可参见[ 3] ,另外,统计中三大抽样分布: !2分布、F 分布和 t分布, 它们的统计量本身就是以标准正态变量为基石构造的,在此不再赘述,参考[ 4] P269. 以上定理表明: 分布、指数分布、均匀分布、Cauchy 分布、Beta分布、Laplace 分布、对 数正态分布、Pareto 分布、Weibull分布、极值分布、Logist ic 分布、Ray leigh分布和Maxw el l 分布均可表示为标准正态分布的函数, 说明它们之间存在着密切的关系.除此之外,也可以 讨论任意两个分布之间的关系,臂如均匀分布与指数分布之间有下列关系:随机变量 X ～ U ( 0, 1) 的充分必要条件是: Y = - 1�log X ～ Exp( �) . 在此不再一一赘述. 参考文献: [ 1]　韦博成.参数统计教程[ M ] .北京:高等教育出版社, 2006. 2235 期 宗序平, 等:常见连续型统计分布的一点注记 [ 2]　宗序平.概率论与数理统计[ M ] .北京:机械工业出版社, 2006. [ 3]　李贤平,沈崇圣,陈子毅.概率论与数利统计[ M ] .上海:复旦大学出版社, 2003. 141-162. [ 4]　茆诗松,程依明,濮晓龙.概率论与数理统计教程[ M ] .北京:高等教育出版社, 2004. A Note on the Commonly-used Continuous Distribution ZONG Xu-ping ,　WANG Lei ( School o f Mathematics, Yazhou Univ ersity, Yang zhou 225002, China) Abstract: 　Normal dist ribution is one o f the m ost impor tant distributions in P robability and Mathemat ical Stat istics. T his paper discusses the relationship betw een t he commonly-used continuous dist ributions and the st andard normal distr ibution. Our results illust rat e t ha t the commonly-used probability distr ibutions ar e the functions of normal dist ribution. Keywords: 　st atistical distr ibut ion; st andard normal distr ibution; continuous random va riables 224 数　学　的　实　践　与　认　识 39 卷